高中数学 34 函数的应用教学设计 新人教版必修1.docx

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高中数学34函数的应用教学设计新人教版必修1

2019-2020年高中数学3.4函数的应用教学设计新人教版必修1

教学目标:

1.知识目标：

能够运用指数函数，对数函数、幂函数的性质解决某些简单的实际问题．

（1）能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义．

（2）能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题．

　（3）能处理有关人口增长率、经济、物理等方面的实际问题．

2.能力目标：

通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．

3.情感目标：

通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．

教学重点、难点：

重点是培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识。

难点是根据实际问题建立相应的数学模型

教学方法：

启发式、讨论式、诱思探究的教学方法

教学用具：

多媒体、实物展台

教学过程：

一、创设情景，设置问题：

课前组织学生观看地球的人口的录像纪录片.

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．

问题一：

例1：

1995年我国人口总数是12亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿？

首先让学生搞清自然年增长率的含义，所以问题转化为已知年增长率为，利用指数函数求经过几年我国人口数将超过14亿？

解：

设x年后人口总数为14亿，由题意，得　

即

两边取对数，得　

答：

13年后，即xx年我国人口总数将超过14亿。

问题解决后由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤：

（1）阅读理解；

（2）建立目标函数；（3）按要求解决数学问题．

问题二：

例2：

按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。

如果你父亲存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到0.01元）？

（注：

复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。

）

分析：

已知本金为a元，让学生逐步说出各期后的本利和。

一期后的本利和为：

；

二期后的本利和为：

三期后的本利和为：

……

x期后的本利和为：

将

，代入上式得　

（元）

最后让学生板书解题过程，教师再一次强调解题步骤。

点评：

关于平均增长率问题，如果原来的产量或产量的基础数为N，平均增长率为P,则对于时间x的总产量y，可以用表示。

这个公式的应用广泛，P>0，视为增长率，可以用来计算储蓄本利用，人口数量，工农业总产量等，当P<0时表示递减或折旧，可以用来计算降价等到问题，已知N，P，x,y中的任意三个量，可求第4个量，然后让学生举生活中的实例。

问题三：

例3：

设在海拔xm处的大气压强是y　Pa，y与x之间的函数关系式是，其中c,k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为Pa,1000m高空的大气压为Pa，求600m高空的大气压强（结果保留三个有效数字）。

分析：

这是物理方面内容，给出函数关系式，根据已知条件确定参数c,k

解：

将

，分别代入函数式得

将代入，得

.

由计算器算得,

将x=600代入上述函数式得

由计算器算得Pa

答：

在600m高空的大气压约为Pa

二、沟通、巩固、发展

结合例题，1、让学生自己做练习P123第1题，

2、练习：

一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10％衰减。

（1）求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式;

（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（精确到0.1）.

此问题让学生自己分析解答，进一步体会利用函数解决应用问题的关键（建立数学模型）以及解题步骤。

解：

1）因为最初的质量为500克，

经过1年，

；

经过2年，；

由此推出，经过t年，.

2）由题意知，即

两边取对数，得

即

所以

所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年。

三、课后小结

指数函数、对数函数、幂函数在社会学、经济学和和物理学等领域中有着广泛的应用。

解决实际问题的步骤：

实际问题（读懂问题、抽象概括）→建立数学模型（演算、推理）→数学模型的解（还原说明）→实际问题的解。

其中读懂问题是指读出新概念、新字母，读出相关制约，这是解决问题的基础；建立数学模型是指在抽象、简化、明确变量和参数的基础上建立一个明确的数学关系，这是解决问题的关键。

四、作业

教材P124习题A第4题，习题B第2题。

板书设计

§3.4  函数的应用（II）

例1

（由教师板书）

 例2

（学生板书）

例3

（由学生分析并解答）

练习2

小结

作业

教学设计说明

建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体.也就是以学生为主体,强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。

本节课的整体设计和处理方法正是基于此理论的体现.

（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．所以处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．

（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题（或其它数学问题）解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．

（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．而本节课重点在于指、对、幂函数的应用，所以在选题时以增长率和物理方面的问题为主．

（4）在教学过程中，从学生身边的事情（人口、存款）开始提出问题，引起学生的兴趣，体会所学知识的应用和重要性，很大程度上提高学生学习数学的兴趣，培养学生分析问题和解决问题的能力。

2019-2020年高中数学3.4基本不等式教案新人教A版必修5

授课类型：

新授课

【教学目标】

1．知识与技能：

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：

当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：

通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：

通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；

【教学难点】

基本不等式等号成立条件

【教学过程】

1.课题导入

基本不等式的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：

。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。

2．得到结论：

一般的，如果

3．思考证明：

你能给出它的证明吗？

证明：

因为

当

所以，，即

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b，可得，

通常我们把上式写作：

2）从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：

要证

（1）

只要证a+b

（2）

要证

（2），只要证a+b-0（3）

要证（3），只要证（-）（4）

显然，（4）是成立的。

当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

3）理解基本不等式的几何意义

探究：

课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。

过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。

你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB

即ＣD＝.

这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

因此：

基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”

评述：

1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：

两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

[补充例题]

例1已知x、y都是正数，求证：

（1）≥2；

（2）（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

分析：

在运用定理：

时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形.

解：

∵x，y都是正数∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0

（1）＝2即≥2.

（2）x＋y≥2＞0x2＋y2≥2＞0x3＋y3≥2＞0

∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3

即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

3.随堂练习

1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：

对于此类题目，选择定理：

（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.

解：

∵a，b，c都是正数

∴a＋b≥2＞0

b＋c≥2＞0

c＋a≥2＞0

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

4.课时小结

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：

ab≤，ab≤（）2.

5.评价设计

课本第113页习题[A]组的第1题

【板书设计】

课题:

§3.4基本不等式

第2课时

授课类型：

新授课

【教学目标】

1．知识与技能：

进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题

2．过程与方法：

通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

基本不等式的应用

【教学难点】

利用基本不等式求最大值、最小值。

【教学过程】

1.课题导入

1．重要不等式：

如果

2．基本不等式：

如果a,b是正数，那么

我们称的算术平均数，称的几何平均数

成立的条件是不同的：

前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。

2.讲授新课

例1

（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？

（2）段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

解：

（1）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m。

由，

可得，。

等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

（2）解法一：

设矩形菜园的宽为x　m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜，其面积S＝x（36－2x）＝·2x（36－2x）≤

当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9m时菜园面积最大为81m2

解法二：

设矩形菜园的长为xm.,宽为ym,则2（x+y）=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xym。

由

，可得

当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m

归纳：

1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.

例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：

此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：

设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

当

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：

此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

归纳：

用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

（4）正确写出答案.

3.随堂练习

1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小?

最小值是多少?

2．课本第113页的练习1、2、3、4

4.课时小结

本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。

在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：

（1）函数的解析式中，各项均为正数；

（2）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：

一正二定三取等。

5.评价设计

课本第113页习题[A]组的第2、4题

【板书设计】

课题:

§3.4基本不等式

第3课时

授课类型：

习题课

【教学目标】

1．知识与技能：

进一步掌握基本不等式；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：

通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

掌握基本不等式，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值

【教学难点】

利用此不等式求函数的最大、最小值。

【教学过程】

1.课题导入

1．基本不等式：

如果a,b是正数，那么

2．用基本不等式求最大（小）值的步骤。

2.讲授新课

1）利用基本不等式证明不等式

例1已知m>0,求证。

[思维切入]因为m>0,所以可把和分别看作基本不等式中的a和b,直接利用基本不等式。

[证明]因为m>0,，由基本不等式得

当且仅当=，即m=2时，取等号。

规律技巧总结注意：

m>0这一前提条件和=144为定值的前提条件。

3.随堂练习1

[思维拓展1]已知a,b,c,d都是正数，求证

.

[思维拓展2]求证

.

例2求证:

.

[思维切入]由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边

.这样变形后,在用基本不等式即可得证.

[证明]

当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.

规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.

2）利用不等式求最值

例3

（1）若x>0,求的最小值;

（2）若x<0,求的最大值.

[思维切入]本题

（1）x>0和=36两个前提条件;

（2）中x<0,可以用-x>0来转化.

解☹1）因为x>0由基本不等式得

当且仅当即x=时,取最小值12.

（2）因为x<0,所以-x>0,由基本不等式得:

所以.

当且仅当即x=-时,取得最大-12.

规律技巧总结利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

随堂练习2

[思维拓展1]求（x>5）的最小值.

[思维拓展2]若x>0,y>0,且,求xy的最小值.

4.课时小结

用基本不等式证明不等式和求函数的最大、最小值。

5.评价设计

１．证明：

２．若，则为何值时有最小值，最小值为几？

【板书设计】

Ⅳ.课时小结

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。

特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。

Ⅴ.课后作业

课本第23页练习第12、14、15题

●板书设计

●授后记