基本初等函数讲义(超级全).docx
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一、一次函数
一次
函数
,
符号
图象
性质
随的增大而增大
随的增大而减小
二、二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式:
②顶点式:
③两根式:
(2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式.
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式.
③若已知抛物线与轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求更方便.
(3)二次函数图象的性质
图像
定义域
对称轴
顶点坐标
值域
单调区间
递减
递增
递增
递减
①.二次函数的图象是一条抛物线,对称轴方程为顶点坐标是
②当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增,当时,;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减,当时,.
三、幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数叫做幂函数,其中为自变量,是常数.
(2)幂函数的图象
过定点:
所有的幂函数在都有定义,并且图象都通过点.
四、指数函数
(1)根式的概念:
如果,且,那么叫做的次方根.
(2)分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:
且.0的正分数指数幂等于0.
②正数的负分数指数幂的意义是:
且.0的负分数指数幂没有意义.
(3)运算性质
①②
③
(4)指数函数
函数名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点,即当时,.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内,越大图象越高;在第二象限内,越大图象越低.
五、对数函数
(1)对数的定义
①若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数,叫做真数.
②负数和零没有对数.
③对数式与指数式的互化:
.
(2)几个重要的对数恒等式
,,.
(3)常用对数与自然对数
常用对数:
,即;自然对数:
,即(其中…).
(4)对数的运算性质如果,那么
①加法:
②减法:
③数乘:
④
⑤
⑥换底公式:
(5)对数函数
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
0
1
0
1
定义域
值域
过定点
图象过定点,即当时,.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对 图象的影响
在第一象限内,越大图象越靠低;在第四象限内,越大图象越靠高.
(6)反函数的概念
设函数的定义域为,值域为,从式子中解出,得式子.如果对于在中的任何一个值,通过式子,在中都有唯一确定的值和它对应,那么式子表示是的函数,函数叫做函数的反函数,记作,习惯上改写成.
(7)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式中反解出;
③将改写成,并注明反函数的定义域.
(8)反函数的性质
①原函数与反函数的图象关于直线对称.
②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
③若在原函数的图象上,则在反函数的图象上.
④一般地,函数要有反函数则它必须为单调函数.
例题
一、求二次函数的解析式
例1.抛物线的顶点坐标是()
A.(2,0)B.(2,-2)C.(2,-8)D.(-2,-8)
例2.已知抛物线的顶点为(1,2),且通过(1,10),则这条抛物线的表达式为()
A.B.
C.D.
例3.抛物线y=的顶点在第三象限,试确定m的取值范围是()
A.m<-1或m>2B.m<0或m>-1C.-1<m<0D.m<-1
例4.已知二次函数同时满足条件:
(1);
(2)的最大值为15;(3)的两根立方和等于17求的解析式
二、二次函数在特定区间上的最值问题
例5.当时,求函数的最大值和最小值.
例6.当时,求函数的取值范围.
例7.当时,求函数的最小值(其中为常数).
三、幂函数
例8.下列函数在上为减函数的是()
A. B. C. D.
例9.下列幂函数中定义域为的是()
A. B. C. D.
例10.讨论函数y=的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图.
例10.已知函数y=.
(1)求函数的定义域、值域;
(2)判断函数的奇偶性;
(3)求函数的单调区间.
四、指数函数的运算
例11.计算的结果是()
A、B、C、—D、—
例12.等于()
A、B、C、D、
例13.若,则=___________
五、指数函数的性质
例14.,则M∩P()
A.B.C.D.
例15.求下列函数的定义域与值域:
(1)
(2)
例16.函数的图像必经过点()
A.(0,1)B.(1,1)C.(2,3) D.(2,4)
例17求函数y=的定义域和值域,并讨论函数的单调性、奇偶性.
五、对数函数的运算
例18.已知,那么用表示是()
A、B、C、D、
例19.,则的值为()
A、B、4C、1D、4或1
例20.已知,那么等于()
A、B、C、D、
例21.,则的取值范围是()
A、B、C、D、
五、对数函数的性质
例22.下列函数中,在上为增函数的是()
A、B、
C、D、
例23.函数的图像关于()
A、轴对称B、轴对称C、原点对称D、直线对称
例23.求证函数是(奇、偶)函数。
课下作业
1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的()
2.对抛物线y=-3与y=-+4的说法不正确的是()
A.抛物线的形状相同B.抛物线的顶点相同
C.抛物线对称轴相同D.抛物线的开口方向相反
3.二次函数y=图像的顶点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.如图所示,满足a>0,b<0的函数y=的图像是()
5.如果抛物线y=的顶点在x轴上,那么c的值为()
A.0B.6C.3D.9
6.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )
7.在下列图象中,二次函数y=ax2+bx+c与函数y=()x的图象可能是 ()
8.若函数f(x)=(a-1)x2+(a2-1)x+1是偶函数,则在区间[0,+∞)上f(x)是( )
A.减函数
B.增函数
C.常函数
D.可能是减函数,也可能是常函数
9.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.[0,2]C.[1,2]D.(-∞,2]
10、使x2>x3成立的x的取值范围是( )
A、x<1且x≠0 B、0<x<1
C、x>1 D、x<1
11、若四个幂函数y=,y=,y=,y=在同一坐标系中的图象如右图,则a、b、c、d的大小关系是( )
A、d>c>b>a
B、a>b>c>d
C、d>c>a>b
D、a>b>d>c
12.若幂函数在(0,+∞)上是减函数,则()
A.>1 B.<1 C.=l D.不能确定
13.若点在幂函数的图象上,那么下列结论中不能成立的是
A.B.C.D.
14.若函数f(x)=log(x2-6x+5)在(a,+∞)上是减函数,则a的取值范围是( )
A.(-∞,1]B.(3,+∞)
C.(-∞,3)D.[5,+∞)
15、设集合,则是()
A、B、C、D、有限集
16、函数的值域为()
A、B、C、D、
17、设,则()
A、B、C、D、
18、在中,实数的取值范围是()
A、B、C、D、
19、计算等于()
A、0B、1C、2D、3
20、已知,那么用表示是()
A、B、C、D、
21、已知幂函数f(x)过点(2,),则f(4)的值为()
A、B、1C、2D、8
二、填空题
1.抛物线y=8x2-(m-1)x+m-7的顶点在x轴上,则m=________.
2.函数的定义域为___________.
3.设,如果是正比例函数,则m=____,如果是反比例函数,则m=______,如果f(x)是幂函数,则m=____.
4.若有意义,则___________.
5.当时,___________.
6.若,则的最小值为___________.
7、若。
8、函数的定义域是。
9、。
10.不等式的解集是__________________________.
11.不等式的解集是__________________________.
12.若,则__________________________.
13、已知函数的值为
14、函数恒过定点
三、简答题
1.求下列各式中的x的值
2、已知幂函数f(x)=(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域内是偶函数,求p的值,并写出相应的函数f(x)、
3.已知函数,
(1)求的定义域;
(2)判断的奇偶性。
4.设,,试确定的值,使为奇函数。
5.已知函数,
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论函数f(x)的增减性。
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