高中数学第一章常用逻辑用语单元质量评估新人教A版选修.docx
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高中数学第一章常用逻辑用语单元质量评估新人教A版选修
2019-2020年高中数学第一章常用逻辑用语单元质量评估新人教A版选修
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1.（xx·宜昌高二检测）下列命题:
①面积相等的三角形是全等三角形;
②若xy=0,则|x|+|y|=0;
③若a>b,则ac2>bc2;
④矩形的对角线互相垂直.
其中假命题的个数是 （ ）
A.1B.2C.3D.4
【解析】选D.①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;②当x,y中一个为零,另一个不为零时,|x|+|y|≠0;③当c=0时不成立;④菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定垂直.
【补偿训练】下列命题是真命题的是 （ ）
A.y=tanx的定义域是R
B.y=的值域为R
C.y=的递减区间为（-∞,0）∪（0,+∞）
D.y=sin2x-cos2x的最小正周期是π
【解析】选D.当x=kπ+,k∈Z时,y=tanx无意义,A错;
函数y=的定义域为[0,+∞）,且为增函数,则y=≥0,B错;
函数y=的定义域为（-∞,0）∪（0,+∞）,且在区间（-∞,0）和区间（0,+∞）都递减,但当x=-1时,y=-1,当x=1时,y=1,故C错;
由y=sin2x-cos2x=-cos2x,得其周期为T==π,故D正确.
2.（xx·浙江高考）命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 （ ）
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得nB.∀x∈R,∀n∈N*,使得nC.∃x∈R,∃n∈N*,使得nD.∃x∈R,∀n∈N*,使得n【解题指南】根据量词的否定判断.
【解析】选D.∀的否定是∃,∃的否定是∀,n≥x2的否定是n3.（xx·焦作高二检测）给出命题p:
3>1,q:
4∈{2,3},则在下列三个命题:
“p∧q”“p∨q”“p”中,真命题的个数为 （ ）
A.0B.3C.2D.1
【解析】选D.因为p真q假,所以“p∧q”为假,“p∨q”为真,“p”为假.
4.（xx·广州高二检测）下列说法正确的是 （ ）
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.命题“∀x≥0,x2+x-1<0”的否定是“∃x0<0,+x0-1<0”
C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题
D.若“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题
【解析】选D.“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错;否命题既否定条件,又否定结论;而命题的否定只否定命题的结论.“∀x≥0,x2+x-1<0”的否定是“∃x0≥0,+x0-1≥0”,故B错;
命题“若A,则B”的逆否命题是“若B,则A”,因此“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinx≠siny,则x≠y”,这是一个真命题;“p∨q”为真命题时,p与q中至少有一个为真命题.
【补偿训练】（xx·资阳模拟）给出以下四个判断,其中正确的判断是 （ ）
A.若“p或q”为真命题,则p,q均为真命题
B.命题“若x≥4且y≥2,则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y<6,则x<4且y<2”
C.若x≠300°,则cosx≠
D.命题“∃x0∈R,≤0”是假命题
【解析】选D.若“p或q”为真命题,则p,q至少一个为真命题,故A错误;命题“若x≥4且y≥2,则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y<6,则x<4或y<2”,故B错误;若x≠300°,则cosx≠错误,如x=60°≠300°,但cos60°=,故C错误;由指数函数的值域可知,命题“∃x0∈R,≤0”是假命题,故D正确.
5.（xx·珠海高二检测）命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为 （ ）
A.存在x0∈R,使得<0
B.对任意x∈R,使得x2<0
C.存在x0∈R,都有≥0
D.不存在x0∈R,使得<0
【解析】选A.根据全称命题的否定是特称命题可得命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得<0”.
【补偿训练】命题“存在x0∈R使得≤0”的否定是 （ ）
A.不存在x0∈R使得>0
B.对任意x∈R,ex>0
C.对任意x∈R,ex≤0
D.存在x0∈R,使得>0
【解析】选B.命题“存在x0∈R,使得≤0”的否定是对任意x∈R,ex>0.
6.若关于命题p:
A∪∅=A,命题q:
A∩∅=A,则下列说法正确的是 （ ）
A.（p）∨（q）为假B.（p）∧（q）为真
C.（p）∨q为假D.（p）∧q为真
【解析】选C.命题p是真的;命题q是假的.则p是假的,q为真的,则（p）∨q为假.
7.（xx·宿州高二检测）若存在x0∈R,使a+2x0+a<0,则实数a的取值范围
是 （ ）
A.a<1B.a≤1
C.-1【解析】选A.当a≤0时,显然存在x0∈R,使a+2x0+a<0;当a>0时,必需
Δ=4-4a2>0,解得-1综上所述,实数a的取值范围是a<1.
8.命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 （ ）
A.1B.2C.3D.4
【解析】选D.原命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”是真命题;逆命题“对于正数a,若lga>0,则a>1”是真命题;否命题“对于正数a,若a≤1,则lga≤0”是真命题;逆否命题“对于正数a,若lga≤0,则a≤1”是真命题.
9.（xx·郓城高二检测）等差数列{an}中,“a1A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】利用等差数列的公差进行判断.
【解析】选C.等差数列中,由a10,
所以an+1=an+d>an,即an反过来,由an0,
所以a3=a1+2d>a1,即a1等差数列{an}中,“a110.给出如下四个命题:
①若“p∨q”为真命题,则p,q均为真命题;
②“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;
③“∀x∈R,x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R,+x0≤1”;
④“x>0”是“x+≥2”的充要条件.
其中不正确的命题是 （ ）
A.①②B.②③C.①③D.③④
【解题指南】①“p∨q”为真命题,p,q二者中只要有一真即可;
②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论;
③直接写出全称命题的否定;
④利用基本不等式,可得结论.
【解析】选C.①“p∨q”为真命题,p,q二者中只要有一真即可,故不正确;
②“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,
则2a≤2b-1”,正确;
③“∀x∈R,x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R,+x0<1”,故不正确;
④x>0时,x+≥2,若x+≥2,则x>0,所以“x>0”是“x+≥2”的充要条件,故正确.
11.（xx·眉山高二检测）“a>1”是“对任意的正数x,不等式2x+≥1成立”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.2x+≥1,x>0,则a≥-2x2+x对x>0恒成立,而-2x2+x=-2+,所以a≥,“对任意的正数x,不等式2x+≥1成立”的充要条件是“a≥”,故“a>1”是“对任意的正数x,不等式2x+≥1成立”的充分不必要条件,故选A.
12.使不等式x2-3x<0成立的一个必要不充分条件是 （ ）
A.0C.03
【解析】选B.x2-3x<0⇔00000x<0或x>303;
x<0或x>0是不等式x2-3x<0成立的既不充分又不必要条件.故选B.
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上）
13.（xx·衡阳高二检测）命题“存在x0>-1,+x0-xx>0”的否定是 .
【解析】特称命题的否定是全称命题,故命题“存在x0>-1,+x0-xx>0”的否定是“对任意x>-1,x2+x-xx≤0”.
答案:
对任意x>-1,x2+x-xx≤0
14.（xx·宝鸡高二检测）已知q:
不等式x2-mx+4≥0对x∈R恒成立,若q为假,则实数m的范围是 .
【解题指南】由q为假,可知q为真命题,从而得出二次不等式恒成立,利用判别式满足的条件可求.
【解析】q为假,即q为真命题.q:
不等式x2-mx+4≥0对x∈R恒成立,即（-m）2-16≤0,-4≤m≤4,故实数m的范围是[-4,4].
答案:
[-4,4]
【拓展延伸】完美解决参数问题
通过已知条件,探索命题的真假,然后求解参数的取值范围,是逻辑用语部分常见的、基本的题型.解决此类问题要从三个方面入手:
（1）熟练掌握真值表,判断单个命题p,q的真假.
（2）具备丰富的基础知识储备,求解单个命题成立的参数范围.
（3）辅助应用集合的运算确定参数的最后范围.
15.（xx·徐州高二检测）已知命题p:
≤1,命题q:
x2-2x+1-m2<0（m>0）,若p是q的充分不必要条件,则实数m的范围是 .
【解析】命题p首先化简为-1≤x≤3,命题q是二次不等式,p是q的充分不必要条件说明当-1≤x≤3时不等式x2-2x+1-m2<0恒成立,故
又m>0,故可解得m>2.
答案:
（2,+∞）
16.给出下列命题:
①数列,3,,,3…的一个通项公式是;
②当k∈（-3,0）时,不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立;
③函数y=sin2-sin2是周期为π的奇函数;
④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.
其中,真命题的序号是 .
【解析】①数列,3=,,,3=…的被开方数构成一个以3为首项,以6为公差的等差数列,故它的一个通项公式是,故①正确;
②当k∈（-3,0）时,因为Δ=k2+3k<0,故函数y=2kx2+kx-的图象开口朝下,且与x轴无交点,
故不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,故②正确;
③函数y=sin2-sin2=sin2-cos2=
-cos=sin2x,是周期为π的奇函数,故③正确;
④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内,故④正确.
故真命题的序号是①②③④.
答案:
①②③④
【补偿训练】下列正确命题有 .
①“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件;
②如果命题“（p或q）”为假命题,则p,q中至多有一个为真命题;
③设a>0,b>1,若a+b=2,则+的最小值为3+2;
④函数f（x）=3ax+1-2a在（-1,1）上存在x0,使f（x0）=0,则a的取值范围是a<-1或a>.
【解析】①由θ=30°可得sinθ=,反之不成立,因此“sinθ=”是“θ=30°”的必要不充分条件;
②命题“（p或q）”为假命题,则p,q都是假命题;
③a+b=2,所以a+b-1=1,+=（a+b-1）=3++≥3+2,最小值为3+2;
④由题意得f（-1）f
（1）<0,所以（-5a+1）（a-1）<0,所以a<-1或a>.
答案:
③④
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
（1）对数函数都是单调函数.
（2）至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除.
（3）∀x∈{x|x>0},x+≥2.
（4）∃x0∈Z,log2x0>2.
【解析】
（1）本题隐含了全称量词“所有的”,其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,且为真命题.
（2）命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.
（3）命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题.
（4）命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题.
18.（12分）已知f（x）=x2,g（x）=-m,若对∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],有f（x1）≥g（x2）,求实数m的取值范围.
【解析】根据题意知,f（x1）min≥g（x2）min,
当x1∈[-1,3]时,f（x1）min=0.
当x2∈[0,2]时,g（x2）=-m的最小值为g
（2）=-m.
因此0≥-m,解之得m≥.
故实数m的取值范围是.
19.（12分）（xx·马鞍山高二检测）已知曲线C:
x2+y2+Gx+Ey+F=0（G2+E2-4F>0）,求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件,证明你的结论.
【解题指南】先求出必要条件,再证明其充分性.
【解析】必要性:
令y=0,则x2+Gx+F=0.
设x1,x2为此方程的根,
若|x1-x2|==1,则G2-4F=1.
充分性:
若G2-4F=1,x2+Gx+F=0
有两根为x1,x2,且x1+x2=-G,x1·x2=F,
|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1·x2=G2-4F=1.
故所求的充要条件是G2-4F=1.
20.（12分）（xx·汕头高二检测）已知p:
-2≤1-≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0（m>0）,且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
【解题指南】先解不等式求出p真和q真的条件.p真:
-2≤x≤10;q真:
1-m≤x≤1+m,然后利用p是q的必要不充分条件,根据集合之间的包含关系建立关于m的不等式,求出m的取值范围.
【解析】由x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m,
所以q:
A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.
由-2≤1-≤2,得-2≤x≤10.
所以p:
B={x|x>10或x<-2},
因为p是q的必要不充分条件,
所以AB,所以
21.（12分）（xx·聊城高二检测）设命题p:
函数f（x）=lg的定义域为R:
命题q:
3x-9x【解析】要使函数f（x）=lg的定义域为R,则不等式ax2-x+>0对于一切x∈R恒成立,
若a=0,则不等式等价为-x>0,解得x<0,不满足恒成立.
若a≠0,则满足条件
即解得即a>2,所以p:
a>2.
因为g（x）=3x-9x=-+≤,
所以要使3x-9x,即q:
a>.
要使p且q为假,则p,q至少有一个为假命题.
当p,q都为真命题时,满足即a>2,
所以p,q至少有一个为假命题时有a≤2,
即实数a的取值范围是a≤2.
22.（12分）（xx·福州高二检测）已知a>0,b>0,函数f（x）=ax-bx2.
（1）求证:
∀x∈R均有f（x）≤1是a≤2的充分条件.
（2）当b=1时,求f（x）≤1,x∈[0,1]恒成立的充要条件.
【解析】
（1）f（x）=ax-bx2=-b+,
因为∀x∈R,f（x）≤1,
所以≤1,又a>0,b>0,
所以a≤2,
所以∀x∈R均有f（x）≤1是a≤2的充分条件.
（2）因为b=1,所以f（x）=ax-x2,
当x=0时,f（x）=0≤1成立,
当x∈（0,1]时,f（x）≤1恒成立,
即a≤x+在（0,1]上恒成立,又=2,此时x=1,
所以0当0所以f（x）≤1在（0,1]上恒成立,
所以f（x）≤1,x∈（0,1]上恒成立的充要条件为0
2019-2020年高中数学第一章常用逻辑用语本章测评新人教B版选修
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1.命题“若AB，则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）
A.0B.2C.3D.4
答案：
B
2.在下列结论中，正确的结论为（ ）
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件 ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件 ③“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件 ④“p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件
A.①②B.①③C.②④D.③④
解析：
利用p∧q、p∨q,p之间的关系.
答案：
B
3.已知命题p：
若实数x、y满足x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：
若a＞b，则.给出下列四个命题：
①p∧q；②p∨q；③p；④q.其中真命题的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
答案：
B
4.下列全称命题为真命题的是（ ）
A.所有的素数是奇数
B.x∈R,x2+1≥1
C.对每一个无理数x，x2也是无理数
D.所有的平行向量均相等
答案：
B
5.对下列命题的否定说法错误的是（ ）
A.p：
能被3整除的整数是奇数，p：
存在一个能被3整除的整数不是奇数
B.p：
每一个四边形的四个顶点共圆；p：
存在一个四边形的四个顶点不共圆
C.p：
有的三角形为正三角形；p：
所有的三角形都不是正三角形
D.p：
x∈R，x2+2x+2≤0；p：
当x2+2x+2＞0时，x∈R
答案：
D
6.设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且lα，mβ，有如下两个命题：
①若a∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β.那么（ ）
A.①是真命题，②是假命题
B.①是假命题，②是真命题
C.①②都是真命题
D.①②都是假命题
解析：
本题考查线面的位置关系，是一道基础题，易判断①②都是假命题，故选D.
答案：
D
7.证明命题“如果a＞b，那么”的逆否命题时，条件应是（ ）
A.B.
C.D.
答案：
D
8.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：
依题意有pr,rs,sq,∴prsq.但由于rp,∴qp.
答案：
A
9.给出下列三个命题，其中假命题的个数为（ ）
①若a≥b＞-1，则 ②若正整数m和n满足m≤n，则 ③设P（x1,y1）为圆O1：
x2+y2=9上任一点，圆O2以Q（a,b）为圆心且半径为1，当（a-x1）2+（b-y1）2=1时，圆O1与圆O2相切（ ）
A.0B.1C.2D.3
解析：
本题共给出三个命题，要求确定假命题的个数，涉及到的知识点是不等式性质、有关不等式的定理以及解析几何中圆的位置关系等.对命题①，在a≥b＞-1,∴a+1≥b+1＞0,∴
≥0,结论正确，对②，∵正整数m、n满足m≤n,∴
也是正确的，对③，圆O1上的点到O2的圆心距离为1，两圆不一定相切.
答案：
B
10.（xx福建高考，理7文10）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是（ ）
A.若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B.若m∥α，n∥α，则m∥n
C.若mα，n∥α，则m∥n
D.若m、n与α所成的角相等，则m∥n
解析：
A错，因为n可能为a上的一直线.
B错，因为平行于同一平面的两直线可能平行，可能相交，也可能异面.
D错，和同一平面所成角相等的两直线可能平行、异面、相交.
答案：
C
11.设集合A、B是全集U的两个子集，则AB是（UA）∪B=U的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：
AB（UA）∪B=U.反之，（UA）∪B=UAB，（UA）∪B=U也成立，故选A.
答案：
A
12.已知命题p：
函数y=loga（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（-1,1）；命题q：
如果函数y=f（x-3）的图象关于原点对称，那么函数y=f（x）的图象关于点（3,0）对称，则（ ）
A.“p且q”为真B.“p或q”为假
C.p真q假 D.p假q真
解析：
解决本题的关键是判定p、q的真假.
由于p真，q假（可举反例y=x+3）,因此正确答案为C.
答案：
C
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
13.a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a-1）y=a-7平行且不重合的_________.
解析：
当a=3时，l1:
3x+2y+9=0,l2:
3x+2y+4=0,
∴l1∥l2,反之若l1∥l2，则a（a-1）=6,即a=3或a=-2,但a=-2时，l1与l2重合.
答案：
充要条件
14.“相似三角形的面积相等”的否命题是，它的否定是_________.
答案：
若两个三角形不相似，则它们的面积不相等 相似三角形的面积不一定相等
15.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题为真命题的是_________.（把符合要求的命题序号都填上）
解析：
我们熟知原命题为真，其逆命题不一定为真，故须将逆命题写出来再做定论.①的逆命题是：
若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，此命题为假.②的逆命题是：
若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，由异面直线的定义知此命题为真.故答案为②.
答案：
②
16.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数f（x）=3+log2x的图象与g（x）的图象关于_______对称，则函数g（x）=_______.（注：
填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
解析：
本题考查两函数的对称性、函数解析式的求法等，答案不唯一.
答案：
①x轴，-3-log2x;或②y轴，3+log2（-x）；或③原点，-3-log2（-x）；或④直线y=x,等.
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（12分）写出下列命题的非（否定）：
（1）满足条件C的点都在直线l上；
（2）线段AB与CD平行且相等；
（3）设集合M={1，2，3，4}，n是质数，n∈M.
答案：
（1）满足条件C的点不都在直线l上.
（2）线段AB与CD不平行或不相等.
（3）设集合M={1,2,3,4},n是质数，nM.
18.（12分）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
（1）若a=b，则a2=b2；
（2）若|2x+1|≥1，则x2+x＞0；
（3）若△ABC≌△PQR，则S△ABC=S△PQR.
解析：
（1）的逆命题为：
若a2=b2，则a=b.该命题是假命题，否命题为：
若a≠b,则a2≠b2,该命题是假命题.逆否命题为：
若a2≠b2,则a≠b.该命题是真命题.
（2）的逆命题为：
或x2+x＞0,则|2x+1|≥1.这是真命题.否命题为：
若|2x+1|＜1,则x2+x≤0.这是真命
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