三年高考(2017-2019)高考数学真题分项汇编专题20不等式选讲理(含解析)Word格式文档下载.docx

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=24．

【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围．

（2）

（1）当a=1时，．

当时，；

当时，．

所以，不等式的解集为．

（2）因为，所以．

当，时，．

所以，的取值范围是．

【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．

3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设，且．

（1）求的最小值；

（2）若成立，证明：

或．

（2）见详解．

（1）由于

，

故由已知得，

当且仅当x=，y=–，时等号成立．

所以的最小值为．

（2）由于

故由已知，

当且仅当，，时等号成立．

因此的最小值为．

由题设知，解得或．

【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．

4．【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式．

【答案】．

【解析】当x<

0时，原不等式可化为，解得x<

；

当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>

2，即x<

–1，无解；

当x>

时，原不等式可化为x+2x–1>

2，解得x>

1．

综上，原不等式的解集为．

【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．

5．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知．

（2）若时不等式成立，求的取值范围．

（1）当时，，即

故不等式的解集为．

（2）当时成立等价于当时成立．

若，则当时；

若，的解集为，所以，故．

综上，的取值范围为．

6．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设函数．

（2）若，求的取值范围．

（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．

7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设函数．

（1）画出的图像；

（2）当，，求的最小值．

（1）图像见解析；

（2）的最小值为．

（1）的图像如图所示．

（2）由

（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．

8．【2018年高考江苏卷数学】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．

【答案】的最小值为4．

【解析】由柯西不等式，得．

因为，所以，

当且仅当时，不等式取等号，此时，

所以的最小值为4．

9．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，．

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．

（1）当时，不等式等价于．①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而．

所以的解集为．

（2）当时，．

所以的解集包含，等价于当时．

又在的最小值必为与之一，所以且，得．

所以的取值范围为．

【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：

（1）分段讨论法：

利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

（2）图像法：

作出函数和的图像，结合图像求解．

10．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知．证明：

（1）证明略；

（2）证明略．

（1）

（2）因为

所以，因此．

【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．

11．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．

（1），

当时，无解；

当时，由得，，解得；

当时，由解得．

（2）由得，而

且当时，．

故m的取值范围为．

【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：

法一：

利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：

利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：

通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

12．【2017年高考江苏卷数学】已知为实数，且证明：

【答案】见解析

【解析】由柯西不等式可得，

因此．

【名师点睛】柯西不等式的一般形式：

设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则（）（）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2，当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi（i＝1，2，…，n）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得，代入即得结论．