广东张静中学高考数学单元训练及答案.docx

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广东张静中学高考数学单元训练及答案

广东2014年张静中学高考数学单元训练及答案

（120分钟150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是（　　）

（A）（0，）（B）（0，π）

（C）[－，]（D）[0，]∪[，π）

2.已知b>0，直线（b2＋1）x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于（　　）

（A）1（B）2（C）2（D）2

3.（2012·合肥模拟）若直线＋＝1通过点M（cosα，sinα），则（　　）

（A）a2＋b2≤1（B）a2＋b2≥1

（C）＋≥1（D）＋≤1

4.（2012·九江模拟）椭圆＋＝1的内接矩形的面积的最大值是（　　）

（A）48（B）36（C）24（D）12

5.（2012·宝鸡模拟）过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y＝x2相交于A、B两点，若

＝2，则c的值为（　　）

（A）4（B）4（C）（D）2

6.已知椭圆＋＝1，以及椭圆内一点P（4,2），则以P为中点的弦所在的直线斜率为（　　）

（A）（B）－（C）2（D）－2

7.焦点为（0,6）且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是（　　）

（A）－＝1（B）－＝1

（C）－＝1（D）－＝1

8.（2012·榆林模拟）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（　　）

（A）（x＋1）2＋（y－1）2＝2（B）（x－1）2＋（y＋1）2＝2

（C）（x－1）2＋（y－1）2＝2（D）（x＋1）2＋（y＋1）2＝2

9.双曲线－＝1（a>0，b>0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上的一点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

（A）（1,4）（B）（1,2][来源:

Z。

xx。

k.Com]

（C）（2，＋∞）（D）[2，＋∞）

10.（易错题）设F1，F2分别是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若直线x＝（c＝）上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

（A）（0，]（B）[，1）

（C）[，1）（D）（0，]

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上）

11.（2012·蚌埠模拟）椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为　　　　.

12.若k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是　　　　.

13.（2012·鹰潭模拟）以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以椭圆的长轴端点为焦点的双曲线方程为　　　　.[来源:

Zxxk.Com]

14.（2012·咸阳模拟）已知双曲线的方程是－＝1，设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上且|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝　　　.

15.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值等于　　　　.

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（12分）设直线l的方程为（a＋1）x＋y－2－a＝0（a∈R）.

（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

（2）若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.

17.（12分）已知动点C到点A（－1,0）的距离是它到点B（1,0）的距离的倍.

（1

）试求点C的轨迹方程；

（2）已知直线l经过点P（0,1）且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.

18.（12分）（2012·铜陵模拟）圆锥曲线上任意

两点连成的线段称为弦.若圆锥曲线上的一条

弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的[来源:

Zxxk.Com]

垂轴弦.已知点P（x0，y0）、M（m，n）是圆锥曲线

C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x

轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE,0）和点F（xF,0）.

（1）试用含x0，y0，m，n的代数式分别表示xE和xF；

（2）若C的方程为＋＝1（a＞b＞0）（如图），求证：

xE·xF是与MN和点P位置无关的定值.

19.（12分）（预测题）已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是它的一个焦点，又点A（1，）在该椭圆上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积

最大时，求直线l的方程.[来源:

学_科_网]

20.（13分）（探究题）已知抛物线L的方程为x2＝2py（p>0），直线y＝x截抛物线L所得弦长为.

（1）求p的值；

（2）若直角三角形ABC的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点B的横坐标为1，过点A、C分别作抛物线L的切线，两切线相交于点D，直线AC与y轴交于点E，当直线BC的斜率在[3,4]上变化时，直线DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和此时直线BC的方程；若不存在，请说明理由.

21.（14分）（2012·西安模拟）如图，已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，其上顶点为A.已知△F1AF2是边长为2的正三角形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q（－4,0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记

若在线段MN上取一点R，使得

试判断当直线l运动

时，点R是否在某一定直线上运动？

若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由.

答案解析

1

.【解析】选D.直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα.

又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.

∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是[0，]；

当

－1≤k<0时，倾斜角的范围是[，π）.

2.【解析】选B.由题意知－·＝－1，解得a＝.所以ab＝·b＝＝b＋；又因为b>0，故b＋≥2，当且仅当b＝，即b＝1时取等号.[来源:

学|科|网]

3.【解题指南】判断点M的轨迹是解题的关键.

【解析】选C.点M（cosα，sinα）的轨迹方程是x2＋y2＝1，由题意直线＋＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，

∴d＝≤1，∴＋≥1.

4.【解析】选C.由椭圆的对称性知，矩形的边平行于对称轴，设矩形在第一象限内的点为P（m，n），则＋＝1，矩形的长与宽分别为2m,2n，S＝4mn.

由1＝＋≥2，∴mn≤6，∴S≤24.

5.【解析】选D.可考虑AB∥x轴这一特殊情况，不妨令A点坐标为（－，c），B点坐标为（，c），则

＝c2－c＝2，∴c＝2或c＝－1（舍）.

6.【解析】选B.设弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，

则，

两式相减，得＋＝0，

∴＝－，∴k＝＝－.

7.【解析】选B.设要求双曲线方程为－y2＝λ，

即－＝1，

∵焦点为（0,6），∴λ＜0，方程为－＝1，

∴＝6，λ＝－12，∴双曲线方程为－＝1.

8.【解题指南】由于圆与两平行线都相切，故两平行线间距离即为直径，只

要再求得圆心坐标即可得解.

【解析】选B.因为两条直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以2R＝，所以R＝.设圆心坐标为P（

a，－a），则点P到两条切线的距离都等于半径，所以＝，＝，解得a＝1，故圆心为（1，－1），所以圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.

9.【解析】选B.如图，设|PF1|＝3m（m>0），|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ（0<θ≤π），则2a＝||PF1|－|PF2||＝2m.由余弦定理可得

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ

＝（3m）2＋m2－2×3m·mcosθ＝10m2－6m2cosθ，

故2c＝，

故e＝＝＝.

因为θ∈（0，π]，所以－1≤cosθ<1，∴e∈（1,2].

10.【解题指南】根据|F1F2|＝|PF2|转化为点F2到直线x＝的距离小于或等于|F1F2|来寻找a、b、c之间的关系，从而求解.[来源:

Z,xx,k.Com]

【解析】选B.根据题目条件可知：

若直线x＝（c＝）上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2，则|F1F2|＝|PF2|，可转化为点F2到直

线x＝的距离小于或等于|F1F2|，亦即－c≤2c，解得≥，所以e∈[，1）.

11.【解析】设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），则c＝b，

∴a＝＝2b，∴e＝＝.

答案：

12.【解析】因为直线y＝kx＋1恒过定点（0,1），题设条件等价于点（0,1）在圆内或圆上，则02＋12－2a·0＋a2－2a－4≤0且2a＋4>0，解得－1≤a≤3.

答案：

－1≤a≤3

13.【解析】∵＋＝1，∴椭圆的焦点为（0，），（0，－），长轴端点为（0，），（0，－），

∴双曲线的顶点为（0，），（0，－），焦点为（0，），（0，－），∴a＝，c＝，∴b2＝3，

∴双曲线的方程为－＝

1.

答案：

－＝1

14.【解析】由方程－＝1，得a2＝9，b2＝16，c2＝25，设∠F1PF2＝θ.

在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ

＝（|PF1|－|PF2|）2＋2|PF1|·|PF2|（1－cosθ），

∵|F1F2|＝2c＝10，＝2a＝6，

∴100＝36＋64（1－cosθ），

∴cosθ＝0，即θ＝.

答案：

15.【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为

（x，－x2），根据点到直线的距离公式，得[来源:

学科网ZXXK]

d＝＝（x－）2＋，所以当x＝时，d取得最小值.

答案：

16.【解析】

（1）当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a＋2＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；

当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.

（2）由直线方程可得M（，0），N（0,2＋a），

又因为a>－1.

故S△OMN＝××（2＋a）＝×

＝×[（a＋1）＋＋2]≥×

[2＋2]＝2，当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立.此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

17.【解题指南】

（1）利用直接法列出方程，化简即可.

（2）对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.

【解析】

（1）设点C（x，y），则|CA|＝，|CB|＝.

由题意，得＝×.

两边平方，得（x＋1）2＋y2＝2×[（x－1）2＋y2].

整理，得（x－3）2＋y2＝8.

故点C的轨迹是一个圆，其方程为（x－3）2＋y2＝8.

（2）由

（1），得圆心为M（3,0），半径r＝2.

①若直线l的斜率不存在，则方程为x＝0，圆心到直线的距离d＝3≠2，故该直线与圆不相切；

②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx＋1.

由直线和圆相切，得d＝＝2，整理，得k2＋6k－7＝0，解得k＝1，或k＝－7.故所求直线的方程为y＝x＋1，或y＝－7x＋1，即x－y＋1＝0或7x＋y－1＝0.

【方法技巧】巧用性质求圆的方程

本题

（1）还可以巧用圆的几何性质求解，因为圆M过两点A（1，－1），B（－1,1），所以，AB的垂直平分线y＝x过圆心M，所以由解得，得M（1,1），

半径r＝|MA|＝＝2，

所以圆M的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4.

18.【解析】

（1）因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，所以N（m，－n），则lMP：

y－n＝（x－m），

令y＝0，则xE＝，同理可得：

xF＝，

（2）由

（1）可知：

xE·xF＝，

∵M，P在椭圆C：

＋＝1上，∴n2＝b2（1－），y＝b2（1－），

则xE·xF＝

＝＝a2（定值）

∴xE·xF是与MN和点P位置无关的定值.

19.【解析】

（1）由已知抛物线的焦点为（0，－），故设椭圆方程为＋＝1（a>）.

将点A（1，）代入方程得＋＝1，

整理得a4－5a2＋4＝0，得a2＝4或a2＝1（舍），

故所求椭圆方程为＋＝1.

（2）设直线BC的方程为y＝x＋m，

设B（x1，y1），C（x2，y2），

代入椭圆方程并化简得4x2＋2mx＋m2－4＝0，

由Δ＝8m2－16（m2－4）＝8（8－m2）>0，

可得0≤m2<8.（*）

由x1＋x2＝－m，x1x2＝，

故|BC|＝|x1－x2|＝.

又点A到BC的距离为d＝，

故S△ABC＝|BC|·d＝

≤·＝，

当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号（满足*式），此时直线l的方程为y＝x±2.

【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法

解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向，既可以出现在选择题、填空题中，也可以出现在解答题中，根据待求量的特点，常用以下两种思想方法：

（1）数形结合思想：

当待求量有几何意义时，一般利用其几何性质，数形结合求解.

（2）函数思想：

当待求量与其他变量有关时，一般引入该变量构造函数，然后求最值，但要注意待求量的取值范围.

【变式备选】已知椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：

y＝kx＋m交椭圆于不同的两点A，B，

（1）求椭圆的方程，

（2）若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

【解析】

（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，

解得c＝，由a2＝b2＋c2，得b＝1.

∴所求椭圆方程为＋y2＝1.[来源:

学*科*网Z*X*X*K]

（2）

由已知得＝，可得m2＝（k2＋1）.

将y＝kx＋m代入椭圆方程，

整理得（1＋3k2）x2＋6kmx＋3m2－3＝0.

Δ＝（6km）2－4（1＋3k2）（3m2－3）>0（*）

∴x1＋x2＝，x1·x2＝.

∴|AB|2＝（1＋k2）（x2－x1）2

＝（1＋k2）[－

]

＝＝

＝3＋＝3＋

≤3＋＝4（k≠0）

当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立.

经检验，k＝±满足（*）式.

当k＝0时，|AB|＝

.

综上可知|AB|max＝2.[来源:

学科网ZXXK]

∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值Smax＝×2×＝.

20.【解析】

（1）由解得M（0,0），N（2p,2p）

∴＝MN＝＝2p，∴p＝.

（2）B（1,1），设A（x1，

），C（x2，

），

kAC＝

＝x1＋x2

设直线BC的斜率为k，则

x2－kx＋k－1＝0，且Δ＝k2－4k＋4≥0，

又1＋x2＝k，得x2＝k－1，故C（k－1，（k－1）2），

由AB⊥BC得直线AB的斜率，进而得直线AB的方程，将AB的方程与抛物线联立，同理可得A（－－1，（＋1）2），kAC＝x1＋x2＝k－－2，

直线AC的方程为y－（k－1）2＝（k－－2）[x－（k－1）]，令x＝0，y＝k－，所以E（0，k－）

直线AD的方程：

y－

＝2x1（x－x1）

y＝2x1x－

同理CD：

y＝2x2x－

，联立两方程得

D（（k－－2），－k），

kED＝＝

＝4＝－4（1＋）

令u＝k－，则u在[3,4]上递增，所以，当k＝4时，kED最大为－.

所以，BC的方程为y－1＝4（x－1），即4x－y－3＝0.

21.【解析】

（1）△F1AF2是边长为2的正三角形，则c＝1，a＝2，

故椭圆C的方程为＋＝1.

（2）直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y＝k（x＋4），并设M（x1，y1），N（x2，y2）.联立方程，消去y得（3＋4k2）x2＋32k2x＋64k2－12＝0，则Δ＝144（1－4k2）＞0，x1＋x2＝

，

x1·x2＝.

由

＝λ

得－4－x1＝λ（x2＋4），故λ＝－.

设点R的坐标为（x0，y0），则由

得x0

－x1＝－λ（x2－x0），解得x0＝

＝＝.

又2x1x2＋4（x1＋x2）＝2×＋4×＝，[来源:

学科网ZXXK]

（x1＋x2）＋8＝＋8＝，

从而x0＝＝－1，

故点R在定直线x＝－1上.