沪教版九上数学因动点产生的相似三角形问题中考专项练习word版含答案.docx

沪教版九上数学因动点产生的相似三角形问题中考专项练习word版含答案.docx

《沪教版九上数学因动点产生的相似三角形问题中考专项练习word版含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《沪教版九上数学因动点产生的相似三角形问题中考专项练习word版含答案.docx（12页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

沪教版九上数学因动点产生的相似三角形问题中考专项练习word版含答案

因动点产生的相似三角形问题中考专项练习

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；

（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．

2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．

（1）求证：

AH=BD；

（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；

（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠

BAO=2．

（1）求直线AB的表达式；

（2）反比例函数y=

的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；

（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=

的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．

（1）

当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；

（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？

如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；

（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长

分析解答

一．解答题（共36小题）

【分析】

（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；

（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；

（3）根据相似三角形的对应角相等推知：

△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：

∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：

△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△

PAT．

【解答】解：

（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．

∵∠OPA=45°，

∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得

，

故直线AB的解析式为y=x+2；

（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=

QC．

设Q（m，m2），则C（m，m+2）．

∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）+，

QD=QC=[﹣（m﹣）+]．

故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为

；

（3）∵∠APT=45°，

∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．

①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此

时满足∠PBQ′=45°．

∵Q′（﹣2，4），F（0，4），

∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形．

（i）当∠PTA=90°时，得到：

PT=AT=1，此时t=1；

（ii）当∠PAT=90°时，得到：

PT=2，此时t=0．

②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得

n2+（4﹣n2）2=22，即n4﹣7n2+12=0．

解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣

，即Q″（﹣

，3）．可证△PFQ″为等边三角形，

所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=

∠PFQ″=30°．则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．

（i）

若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．则ET=AE=，OE=1，所以OT=

﹣1，解得t=1﹣

；

（ii）

若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=

，

∴a+a=，解得PT=a=﹣1，

∴OT=OP﹣PT=3﹣

，

∴t=3﹣

．综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣

或t=3﹣

．

2．

【分析】

（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到

OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；

（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；

（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．

【解答】

（1）证明：

∵AD⊥BC，BH⊥AO，

∴∠ADO=∠BHO=90°，

在△ADO与△BHO中，

，

∴△ADO≌△BHO（AAS），∴OH=OD，又∵OA=OB，

∴AH=BD；

（2）解：

连接AB、AF，如图1所示，

∵AO是半径，AO⊥弦BF，

∴∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，在Rt△ADB与Rt△BHA中，

，

∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），

∴∠ABF=∠BAD，∴∠BAD=∠AFB，又∵∠ABF=∠EBA，

∴△BEA∽△BAF，

∴

=，

∴BA2=BE•BF，

∵BE•BF=y，

∴y=BA2，

∵∠ADO=∠ADB=90°，

∴AD2=AO2﹣DO2，AD2=AB2﹣BD2，∴AO2﹣DO2=AB2﹣BD2，

∵直径BC=8，BD=x，

∴AB2=8x，

则y=8x（0＜x＜4）；方法二：

∵BE•BF=y，BF=2BH，∴BE•BH=

y，

∵△BED∽△BOH，

∴

=，

∴OB•BD=BE•BH，

∴4x=

y，

∴y=8x（0＜x＜4）；

（3）解：

连接OF，如图2所示，

∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G，

∴当△FAE∽△FBG时，∠AEF=∠G，

∵∠BHA=∠ADO=90°，

∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，

∴∠AEF=∠AOD，

∴∠G=∠AOD，

∴AG=AO=4，

∵∴∠AOD=∠AOF，

∴∠G=∠AOF，

又∵∠GFO是公共角，

∴△FAO∽△FOG，

∴

=，

∵AB2=8x，AB=AF，

∴

，

3．

【分析】

（1）先通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；

（2）作DE∥OA，根据题意得出

==，求得DE，即D的横坐标，代入AB的解析式求得

纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k1；

（3）根据勾股定理求得AB、OE，进一步求得BE，然后根据相似三角形的性质求得EF的长，从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k2．

【解答】解：

（1）∵A（3，0）、B（0，m）（m＞0），

∴OA=3，OB=m，

∵tan∠BAO=

=2，

∴m=6，

设直线AB的解析式为y=kx+b，代入A（3，0）、B（0，6）得：

解得：

b=6，k=﹣2

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6；

（2）如图1，∵AD=2DB，

∴

=，

作DE∥OA，

∴D的横坐标为1，

代入y=﹣2x+6得，y=4，∴D（1，4），

∴k1=1×4=4；

（3）如图2，∵A（3，0），B（0，6），

∴E（

，3），AB=

∵OE是Rt△OAB斜边上的中线，

∴OE=AB=，BE=

，

∵EM⊥x轴，

∴F的横坐标为

，

∵△OEF∽△OBE，