线面垂直的判定定理和性质.docx

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线面垂直的判定定理和性质

§1.9直线和平面垂直的判定和性质（第一课时）

浙江省湖州二中数学组王峥嵘邮编313000

一、素质教育目标：

（一）知识教学点

1、直线和平面垂直的定义和相关概念

2、直线和平面垂直的判定定理

3、直线和直线平行的性质定理（即课本P25页例1）

（二）能力训练点

1、引导学生合理应用平移的方法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的合理添加。

2、引导学生在研究直线和平面位置关系时转化为直线和直线的的位置关系（如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线），向学生渗透转化思想的应用。

（三）德育教育：

引导学生认识到定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：

立体几何的问题转化为平面几何的问题；解决空间线、面垂直问题我们通过转化为线、线垂直的问题来解决，转化的思想是一种常用的数学思想方法。

二、教学重点、难点

（一）教学重点：

1、掌握直线和平面垂直的定义：

如果一条直线和一个

平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直。

2、掌握直线和平面垂直的判定定理：

3、掌握线线平行的性质定理：

（二）教学难点：

线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明中辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题。

三、教学工具的准备

幻灯片：

书写本节课涉及的定义、定理和图例.

多媒体课件：

演示本节课涉及的线线、线面关系，增加立体几何

的直观性.

四、课时安排：

本课题（§1.9直线和平面垂直的判定和性质）共安排2课时，本节课为第一课时

五、学生活动设计：

1、观察生活中，线面垂直的实例和应用。

2、现实生活中如何确定和保证一条“线”和“面”的垂直。

六、教学过程：

（一）温顾知新，新课引入：

1、空间两条直线有哪几种位置关系？

多媒体课件演示（三种：

两直线相交，两直线平行，两直线异面）

2、经过一点和一条直线垂直的直线有几条？

多媒体课件演示（由两直线垂直的定义可知：

经过一点有无数条直线和已

知直线垂直）

3、空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？

多媒体课件演示（三种：

直线在平面内,直线和平面相交,直线和平面平行）

师：

我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可转化为考察直线和平面内直线平行的关系，今天我们学习直线和直线相交的一种特殊情况——直线和平面垂直，这个问题同样可以转化为考察一条直线和一个平面内直线的关系，然后加以解决。

（板书：

§1.9直线和平面垂直的判定和性质）

（二）小结活动，推测结论

1、教师演示课本P23的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线成90°角，得出书脊（“线”）和桌面（“面”）垂直，给出直线和平面垂直的具体形象。

从而引出直线和平面垂直的概念：

（多媒体课件演示结合幻灯片显示定义）如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。

2、

α

A

B

l

（图1）

注意点：

过一点（无论点是否在平面上）有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点（无论点是否在直线上）有且只有一个平面和一条直线垂直。

平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足。

3、说明直线和平面垂直的画法和表示：

画直线和水平平面垂直时要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图（图1）中的AB.直线和平面互相垂直，记作⊥α.

4、小结现实生活中的线面垂直，推测线面垂直判定定理：

师：

我们在现实生活中是如何保证“线”和“面”的垂直？

生甲：

泥瓦匠用铅锤来使墙面和地面垂直。

生乙：

广场的路灯靠灯杆下的六个有一个角为直角的角铁，来

使灯杆和地面垂直。

师：

很好，大家都对生活中“线”和“面”的垂直有所发现，

甲同学的发现是工人们对重力的利用，我们暂且不说，请

注意乙同学的发现，我们一起想一想，是否可以减少角铁

的个数，同时这些角铁要是怎样的位置关系？

生：

两个，它们不在同一平面上。

师：

对！

那么我们想想看，这样的两个角铁实际上是保证了灯

杆（“线”）和地面（“平面”）的几条直线垂直，对这些直

线有什么要求？

生：

灯杆和地面两条直线垂直，这两条直线相交。

师：

好！

请大家自己根据上面的例子总结一下，我们如何在判断

空间一条直线和一个平面垂直。

（三）

层层推进，证明线面垂直判定定理

指导学生写出已知条件和结论，并画出图形（图2）：

已知：

求证：

师：

你们准备如何证明直线和平面α垂直呢？

生：

根据直线和平面垂直的概念来证明，我们需要证明直线和平面α内的任何一条直线都垂直。

师：

是的，我们现在只有从直线和平面垂直的概念入手证明直线和平面α垂直。

那么我们设g是在平面内α任意一条直线，现在只要证明⊥g就可以了。

对于平面α内不经过B点的直线k，可以过点B做它的平行线k′，通过异面直线所成的角的定义来说明直线k和直线垂直，所以，我们先来证明g经过和平面α的垂足B点的情况。

（学生思考证明方法，教师在图2上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作出提示）

1、l、g是相交直线，要证明她们垂直，实际上已经转化为平面几何中证明直线和直线垂直的问题，可以考虑等腰三角形的性质，在直线l上点B的两侧分别取点A和A′，使AB=A′B.

2、直线m、n和线段AA′是什么关系？

（m、n垂直平分线段AA′）

3、从结论看，直线g与线段AA′应当是什么关系？

（g垂直平分线段AA′）

4、怎样证明直线g垂直平分线段AA′？

（只要能证明在g上任取的点E，有AE=A′E）

5、过E做直线分别与m、n交于C、D，连接AC、A′C、AD、A′D，则有：

AC=A′C、

AD=A′D，由此能证明AE=A′E吗？

（利用全等三角形的性质）

（学生叙述证明过程，教师板书）

证明：

设g是平面α内的任意一条直线，要证明⊥平面α，根据定义，只要证明⊥g就可以了。

先证明、g都通过点B的情况（图3）.

在直线上点B的两侧分别取A、A’，使AB=A’B.那么直线m、n都是线段AA’的垂直平分线，为了证明⊥g，可证明直线g也是线段AA’垂直平分线.

当g与m（或n）重合时，根据已知⊥m（或n），可知⊥g成立.当g与m、n不重合时，在平面α内作一条直线CD，与直线m、n、g分别交于点C、D、E.则有

AC=A’C,AD=A’D

∴ΔACD≌ΔA’CD,

得∠ACE=∠A’CE

∴ΔACE≌ΔA’CE

得AE=A’E

∴g是AA’的垂直平分线.

∴⊥g

如果直线、g中有一条或两条不经过点B，那么可过点B引它们的平行线，由于过点B的这样两条直线所成的角就是直线与g所成的角，同理可证这两条直线垂直.因而⊥g.

综上所述可得⊥g

参看图3并作说明：

1、当直线g和m（或n）重合时，结论显然成立.

2、如果直线、g中有一条或两条不经过点B，那么可过点B引它们的平行直线，由过点B的的这两条直线所成的角，就是直线与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因而⊥g.

3、要判断一条已知直线是否和一个平面垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.

这样，我们得到了直线和平面垂直的判定定理.

（板书：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）

4、强调“线面垂直片顶定理”中的“两条”和“相交直线”

这两个条件的重要性。

⑴用新课引入时学生的生活实例，路灯下的角铁如过只有一个就不能保证使灯杆垂直于地面，如果是两个，但这两个角铁靠地面的两条边在同一直线上同样不能保证使灯杆垂直于地面，那样的话路灯就很不稳定了

⑵将一块大直角三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线垂直（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直.（强调“两条”）

⑶在⑵的基础上在讲台上放一根和大直角三角板边AC平行的竹竿EF，那么三角板的直角边BC同样和EF垂直，但它不一定和讲台桌面垂直.

（四）

初步应用，提高能力

例1：

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.

已知：

（图4）

证明：

证明：

在平面α内作两条相交直线m、n.

说明：

本例结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理.这

样判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于

平面两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线

垂直于平面来证明.

（五）学生练习，检查学习效果

练习1、一条直线垂直于平面内的两条直线，这条直线垂直于这个平面吗？

生：

不一定.当平面内的两条直线平行时，它们的垂线不一定和平面垂直.比如在同一个平面内和两条平行线垂直的直线就有无数条.

练习2、求证：

如果三条共点直线两两垂直，那么其中的一条直线垂直于另外两条直线确定的平面.

分步解答：

（1）、生丙：

在黑板上根据命题作图（图5）.（教师及时讲评

回顾线面垂直作图的注意点）

（2）、生丁：

口答命题的已知条件和结论.

（3）、生戊：

根据黑板上的图和已知条

件（教师板书）

已知：

OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA

求证：

OA⊥平面BOC，OB⊥平面AOC，OC⊥平面AOB.

证明：

（以证明OA⊥平面BOC为例，目的强化书写格式和线面垂直判定定理的两

个重要条件）

同理可证OB⊥平面AOC，OC⊥平面AOB.

（六）课堂小结

师：

今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，同时我们利用这个定义证明了直线和平面垂直的判定定理，事实上在判定一条直线和一个平面是否垂直上，直线和平面的垂直判定定理用得较多，如果直线垂直于一个平面α，那么直线垂直于这个平面α内任何一条直线；对于判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路。

注意区分线面平行和线面垂直的数量：

经过一点有无数条直线和已知直线垂直，但经过一点只有一个平面和已知直线垂直；经过平面外一点有无数条直线和已知平面平行，但经过一点只有一条直线和已知平面垂直.

七、作业巩固

（做为线面垂直定义和判定定理的第一节课，回家作业只做一般要求顾布置如下四题：

）

习题1、求证和三角形两边同时垂直的直线，也和第三边垂直.

习题2、如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都

和这条直线垂直

习题3、直角三角形ABC在平面α内，D是斜边AB的中点、AC=6cm，

BC=8cm，EC⊥平面α，EC=12cm。

求EA、EB、ED的长.

习题4、如右图，钳工检查长方体工件的棱BB’是否和底面A’C’垂直，只要检查∠BB’A’和∠BB’C’是不是直角就可以了，为什么？

八、板书设计：

（板书1）

（板书2）

（板书3）

（板书3）

教案说明：

由实际生活中“线”和“面”垂直的观察，引入立体几何中对线面垂直的定义以及线面垂直的判定定理，有利于学生把抽象的“线”“面”和生活中的实际联系起来，同时通过多媒体的演示把具体事物放到立体几何的“线”和“面”中来，完成了从具象思维到抽象思维的过度。

并且通过定理和例1的证明，培养了学生的严密逻辑思维能力，同时有效的巩固了这节课的知识，为进一步学习新的知识打下坚实的基础。

本教案参考了《高级中学立体几何全一册（必修）教学参考书》，并且很好的结合了多面体课件的使用，能很好的完成这节课所要达到的教学目的和能力培养目的。