最新数学九年级下册第27章第2节《 相似三角形的判定》省优质课一等奖教案.docx

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最新数学九年级下册第27章第2节《相似三角形的判定》省优质课一等奖教案

相似三角形判定定理教学设计

课题

第2课时　相似三角形判定定理1，2

授课人

教

学

目

标

知识技能

　　1.掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理.

2.掌握两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理．

数学思考

1.渗透数学中普遍存在着相互联系、相互转化，使学生感悟类比的数学方法；

2.经历探索两个三角形相似条件的过程，体验画图操作、观察猜想、分析归纳结论的过程；

3.在定理论证中，体会转化思想的运用．

问题解决

　　会用“三边成比例的两个三角形相似”及“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理．

情感态度

　　1.从认识上培养学生从特殊到一般地认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维；

2.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣．

教学

重点

　　掌握两个判定定理，会运用两个判定定理判定两个三角形相似．

教学

难点

　　1.探究三角形相似的条件；

2.运用两个三角形相似的判定定理解决问题．

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

问题：

1.学习过哪些判定三角形全等的方法？

2.全等三角形与相似三角形有怎样的关系？

3.两个三角形全等有哪些简单的判定方法？

由三角形全等的知识，类比思考两个三角形相似的条件能否更简单？

能有哪些简单的方法？

复习旧知，承前启后，回顾三角形全等的条件，用类比的思想展开思维，按顺序展开探究.

活动

一：

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

问题：

如图27－2－65，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是否有简单的判定方法？

你认为可以研究哪些简单的判定方法？

图27－2－65

师生活动：

学生回答三角形全等的判定方法，根据学生回答，教师引导学生梳理思路：

（1）三边的比相等；

（2）两边的比相等且夹角相等.

采用类比方法，判定两个三角形全等的方法和判定两个三角形相似的方法之间有着内在的联系.

活动

二：

实践

探究

交流

新知

【活动1】探究三角形相似的判定方法一：

（1）在△ABC和△A′B′C′中，如果满足

＝

＝

，那么能否判定这两个三角形相似呢？

（2）画图研究；

（3）形成初步结论：

如果两个三角形的三组边的比相等，那么这两个三角形相似.

师生活动：

（1）教师将课前准备好的纸发给学生，并指导学生完成作图：

任意画△ABC，再画△A′B′C′，使它的边长都是△ABC边长的，它们的k倍.

（2）指导学生把画好的三角形剪下来，比较它们的对应角相等吗？

这两个三角形相似吗？

学生相互交流、讨论探究，发现规律并进行有条理的整理.

【活动2】探究三角形相似的判定方法二：

（1）提出问题：

在△ABC和△A′B′C′中，如果满足

＝

，

且∠A＝∠A′，那么能否判定这两个三角形相似呢？

（2）学生画图，自主展开探究活动；

（3）形成结论：

两个三角形的两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似.

1.在教师的指导下经历实践、探索、和他人交流各自所得结论等活动，积累数学活动的经验.

2.学生通过亲自动手的活动经历，感受探索的过程.

3.从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受由特殊的全等三角形到一般的相似三角形，以及通过类比认识新事物的方法.

4.让学生进一步体会结论的确定性、证明的必要性以及证明过程的严谨性.

5.学生已有前面探究活动的经验，教师提出问题后，学生能自己通过画图，获取初步结论，完成探究活动，通过交流所得结果，体验成功的喜悦.

活动

三：

开放

训练

体现

应用

【应用举例】

例1　[教材P33例1]根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：

（1）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，

A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝24cm；

（2）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，

∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.

教师关注：

学生是否熟悉相似三角形方法的判定，证明过程的书写是否规范.

1.这两道例题的设置存在梯度，给予学生层次递进的学习过程；

2.学生不断质疑、解惑，不但完善了思维也锻炼了能力，使学生形成对知识的总体把握.

【拓展提升】

例2　如图27－2－66，在正方形ABCD中，E为AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD，请问△ABE与△DEF相似吗？

为什么？

图27－2－66

活动

四：

课堂

总结

反思

【达标测评】

练习：

教材第34页练习第1～3题.

补充练习：

1.已知一个三角形的三边之比为3∶4∶5，与它相似的另一个三角形的最短边长为6cm，则这个三角形的最长边为（B）

A.8cm　　B．10cm　　　C．12cm　　D．15cm

2.如图27－2－67的四个三角形中，与图27－2－68中的三角形相似的是（C）

图27－2－68　　　　图27－2－67

3.如图27－2－69所示，在△ABC和△ADE中，AB∶BC＝AD∶DE，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件，可以是__∠B＝∠D__.

图27－2－69图27－2－70

4.如图27－2－70，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，点D在AC上，且AD＝2，在AB上找一点E，当AE等于多长时，△ADE与原三角形相似？

通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.

活动

四：

课堂

总结

反思

1.课堂总结：

（1）本节课主要学习了哪些新知识？

（2）本节课还有哪些疑惑？

说一说！

教师强调：

1.证明两个三角形相似的方法；2.相似三角形的判定方法与全等三角形的判定方法的联系和区别.

2.布置作业：

教材第42页习题27.2第1，3题.

注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.

【知识网络】

提纲挈领，重点突出.

【教学反思】

①[授课流程反思]

本节课在对相似三角形的判定定理1进行探究时，采用让学生自己画图并测量的探究方式，既活跃课堂气氛，又加深学生对判定定理的理解.

②[讲授效果反思]

本节课主要讲解三角形相似的条件，通过和全等三角形的联系引导学生探讨并得出结论，教学效果较好．通过课堂练习可以看出大部分学生已初步掌握该节知识，知识能灵活应用还需多加练习.

③[师生互动反思]

从学生课堂表现和解答问题的情况分析，课堂试验时间分配稍有问题，应合理分配时间，注重练习的实效性.

④[习题反思]

好题题号　　　　　　　　

错题题号　　　　　　　　

反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.

设计导学

【学习目标】

1.知识层面

掌握三角形相似的判定定理（三边成比例的两个三角形相似）．

2.能力层面

经历观察、发现、探索三角形相似的判定定理的过程，体会类比的数学思想在探索数学问题中的广泛应用，并在探索过程中体验学习的乐趣，培养和增强学习数学的兴趣．

【教学重难点】

1.重点：

掌握三角形相似的判定方法，会运用判定定理判定两个三角形相似．

2.难点：

会准确的运用三角形相似的判定定理判断两个三角形是否相似．

课前延伸

【知识梳理】

1．在△ABC与△A′B′C′中，如果__

＝

＝

__，且__都等于k__，我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．

2．相似三角形的判定方法（预备定理）：

__平行于三角形一边的直线和其他两边相交__，所构成的三角形与原三角形相似．

3．如图27－2－71，E是▱ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）

图27－2－71

A．1对　　　　B．2对　　　　C．3对　　　　D．4对

课内探究

一、课堂探究1（问题探究，自主学习）

1．

（1）在△ABC中，AB∶BC∶CA＝2∶3∶4，在△A′B′C′中，A′B′＝1，C′A′＝2，当B′C′＝__

__时，△ABC∽△A′B′C′.

（2）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△A′B′C′中，A′B′＝4，A′C′＝3.若BC∶B′C′＝__2∶1__，则△ABC∽△__A′B′C′__．

2．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.

（1）如果DE＝10，那么当EF＝__

__，FD＝__15__时，△DEF∽△ABC；

（2）如果DE＝10，那么当EF＝__12__，FD＝__8__时，△FDE∽△ABC.

二、课堂探究2（分组讨论，合作探究）

1．根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由：

（1）AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，DE＝18cm，EF＝24cm，DF＝30cm；

（2）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，DE＝12cm，EF＝18cm，DF＝21cm.

2．如图27－2－72，已知

＝

＝

，证明：

∠BAD＝∠CAE.

图27－2－72　　　　　　图27－2－73

3．如图27－2－73所示，在正方形网格中有两个三角形△A1B1C1和△A2B2C2，求证：

△A1B1C1∽△A2B2C2.

4．如图27－2－74所示，一名学生制作劳技作品，他把△ABC各边中点连接得到的△DEF涂色，试证明涂色的部分与原三角形相似．

图27－2－74

5．已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边．那么另外两边的长度（单位：

cm）分别为（D）

A．10，25　　　B．10，36或12，36　　　C．12，36　　　D．10，25或12，36

三、课堂反馈训练

1．若把△ABC各边分别缩小为原来的

，得到△A1B1C1，下面结论正确的是（D）

A．△ABC与△A1B1C1不一定相似

B．△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶3

C．△ABC与△A1B1C1各对应角不等

D．△ABC与△A1B1C1的相似比为3∶1

2．如图27－2－75，在4×4的正方形网格中分别有一个三角形，其中是相似三角形的是（D）

图27－2－75

A．①和②　　　B．②和③　　　C．①和③　　　D．②和④

3．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（D）

A．都扩大为原来的5倍B．都扩大为原来的10倍

C．都扩大为原来的25倍D．都与原来相等

4．若△ABC各边分别为AB＝25cm，BC＝20cm，AC＝15cm，△DEF的两边为DE＝5cm，EF＝4cm，则当DF＝__3__cm时，△ABC与△DEF相似．

5．根据下列各组条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．

（1）AB＝3.5cm，BC＝3.5cm，CA＝4cm,A′B′＝10.5cm，B′C′＝7.5cm，C′A′＝12cm；

（2）AB＝4cm，BC＝6cm，CA＝8cm,A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，C′A′＝24cm；

（3）AB＝2

cm，BC＝4

cm，CA＝8cm,A′B′＝

cm，B′C′＝2

cm，C′A′＝4cm.

课后提升

1.强强为了装饰自己的房间，想要制作两个三角形的框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2.你认为他可以如何选料使这两个三角形相似？

2.如图27－2－76，小辉在图纸上画了一个等边三角形ABC，接着在AB；BC；CA上分别取点A1；B1；C1，且AA1＝BB1＝CC1，得到△A1B1Cv1；再在A1B1；B1C1；C1A1上分别取点A2、B2、C2，且A1A2＝B1B2＝C1C2，得到△A2B2C2；….按此方法，小辉画出一个非常漂亮的几何图案，小辉发现图案中的△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2…都是相似三角形．请你以△ABC和△A1B1C1为例说明其中的原因．

图27－2－76

【学习目标】

1．知识与技能

掌握如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似的判定定理．

2．过程与方法

类比全等三角形的条件，经历猜想结论、画图探究、多种方法验证（度量和推理），由此探究得到相似三角形的判定定理，在此基础上进一步了解类似于判定三角形全等没有“边边角”，相似三角形的判定方法中也没有“边边角”．

【学习重难点】

1.重点：

掌握如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似的判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似．

2.难点：

（1）探究三角形相似的条件．

（2）运用三角形相似的判定定理解决问题．

课前延伸

1．如图27－2－77，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，则图中与△ADC相似的三角形共有（C）

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．多于3个

图27－2－77　　　　　　图27－2－78

2．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图27－2－78，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条a1，a2，a3…若要使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是（C）

A．24B．25C．26D．27

课内探究

一、复习引入

1．已经学过相似三角形的哪些判定方法？

2．说说三边成比例的两个三角形相似与全等三角形的判定条件SSS的区别与联系是什么？

3．类比全等三角形的判定条件SAS，如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似吗？

如图27－2－79，若△ABC与△A′B′C′满足以下条件：

，

，∠A＝∠A′，那么△ABC与△A′B′C′相似吗？

图27－2－79

二、探究发现

1．在练习本上利用刻度尺和量角器画△ABC与△A′B′C′，满足以下条件：

，

＝k（给定的值）和∠A＝∠A′.量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？

另外两组对应角分别相等吗？

2．在第1题的基础上，改变∠A或k值的大小，再用同样的方法试一试，是否有同样的结论？

3．想一想：

如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形是否能相似呢？

试着画画看．

三、定理应用

例1根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：

（1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm；

（2）AB＝4cm，AC＝8cm，BC＝6cm，

A′B′＝12cm，A′C′＝21cm，B′C′＝18cm.

例2　已知：

如图27－2－80，P为△ABC的中线AD上的一点，且BD2＝PD•AD，求证：

△ADC∽△CDP.

图27－2－80　　　　　　　图27－2－81

变式训练：

如图27－2－81所示，△ABC，△DCE，△FEG为三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB＝

，BC＝1，连接BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R

（1）试说明△BFG∽△FEG，并求出BF的长；

（2）观察图形，请你得出一个与点P相关的问题，并进行解答．

四、课堂训练反馈：

1．如图27－2－82所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，若点P，Q分别从点B，C同时出发，经过多长时间，△CPQ与△CBA相似？

图27－2－82

2．如图27－2－83所示，点D在△ABC的边AB上，当满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似，试分别加以列举．

图27－2－83

课后提升

一、判断题：

1．顶角相等的两个等腰三角形是相似三角形．（√）

2．两个等腰直角三角形是相似三角形．（√）

3．底角相等的两个等腰三角形是相似三角形．（√）

4．两个直角三角形一定是相似三角形．（×）

5．一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似．（×）

6．有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形．（√）

7．三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似．（√）

8．所有的正三角形都相似．（√）

二、填空题

1．如图27－2－84，在△ABC中，AC是BC，DC的比例中项，则△ABC∽__△DAC__，理由是__两边成比例且夹角相等的两上三角形相似__．

2．如图27－2－85，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽__△CAB__，理由是__三边成比例的两个三角形相似__．

图27－2－84　图27－2－85　图27－2－86　图27－2－87

3．如图27－2－86，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AB＝2AD，若BC＝3cm，则DE＝__1.5__cm.

4．如图27－2－87，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM＝__

或

__时，△ADE与△MNC相似．

三、选择题

1．如图27－2－88，下列条件中不能判定△ABC与△ADE相似的是（C）

A.

＝

　　B．∠B＝∠ADE　　C.

＝

　　D．∠C＝∠AED

图27－2－88　　　图27－2－89

2．在▱ABCD中，点E在BC边上，AE交BD于点F，若BE∶EC＝4∶5，则BF∶FD等于（D）

A．4∶5B．5∶4C．5∶9D．4∶9

3．如图27－2－89，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝1，则AD的长是（D）

A．1B.

C．2D．4

四、解答题

如图27－2－90，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠ABD＝∠ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明．

图27－2－90　　　　图27－2－91

五、用数学的眼光看世界

如图27－2－91，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD＝180米，DC＝60米，EC＝50米，你能知道小河的宽是多少吗？