专题八函数的图象高考数学一轮复习专题.docx

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专题八函数的图象高考数学一轮复习专题

专题八函数的图象

一、题型全归纳

题型一作函数的图象

【题型要点】函数图象的画法

【例1】分别作出下列函数的图象．

（1）y＝|lgx|；

（2）y＝2x＋2；（3）y＝x2－2|x|－1.

【解析】

（1）y＝

图象如图①所示．

（2）将y＝2x的图象向左平移2个单位，图象如图②所示．

（3）y＝

图象如图③所示．

【反思总结】

（1）画函数的图象一定要注意定义域．

（2）利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

题型二函数图象的辨识

【题型要点】

（1）抓住函数的性质，定性分析：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从周期性，判断图象的循环往复；

④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

（2）抓住函数的特征，定量计算：

利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题

【例1】（2019·高考全国卷Ⅰ）函数f（x）＝

在[－π，π]的图象大致为（　　）

【解析】显然f（x）＝－f（－x），所以f（x）为奇函数，排除A；

，观察题图可知D正确．故选D.

【例2】已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　）

A．f（x）＝

　　　　　　B．f（x）＝

C．f（x）＝

－1D．f（x）＝x－

【解析】由函数图象可知，函数f（x）为奇函数，应排除B，C.若函数为f（x）＝x－

，则x→＋∞时，f（x）→＋∞，排除D，故选A.

题型三函数图象的应用

命题角度一　研究函数的性质

【题型要点】对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：

①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；

③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

【例1】对于函数f（x）＝lg（|x＋1|），给出如下三个命题：

①f（x）是偶函数；②f（x）在区间（－∞，0）上是减函数，在区间（0，＋∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．0

【解析】　作出f（x）的图象

可知f（x）在（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．

【例2】已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）

C．f（x）是奇函数，递减区间是（－1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）

【解析】：

将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得f（x）＝

画出函数f（x）的大致图象，如图，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1，1）上单调递减．

命题角度二　解不等式

【题型要点】利用函数的图象研究不等式的思路

当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．

【例3】函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝x－1，则不等式xf（x）>0在（－1，3）上的解集为（　　）

A．（1，3）B．（－1，1）

C．（－1，0）∪（1，3）D．（－1，0）∪（0，1）

【解析】　作出函数f（x）的图象如图所示．

当x∈（－1，0）时，由xf（x）>0得x∈（－1，0）；当x∈（0，1）时，由xf（x）>0得x∈∅；当x∈（1，3）时，由xf（x）>0得x∈（1，3）．所以x∈（－1，0）∪（1，3）．

【例4】已知函数f（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx.若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

A.

　　　　　B.

C．（1，2）D．（2，＋∞）

【解析】：

先作出函数f（x）＝|x－2|＋1的图象，如图所示

当直线g（x）＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g（x）＝kx过A点时斜率为

，故f（x）＝g（x）有两个不相等的实根时，k的范围为

命题角度三　求参数的取值范围

【题型要点】求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：

【例5】已知函数f（x）＝

若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．

【解析】　画出函数y＝f（x）与y＝k的图象，如图所示．

由图可知，当0

【例6】函数f（x）是定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）的奇函数，在（0，＋∞）上单调递增，f（3）＝0，若x·[f（x）－f（－x）]<0，则x的取值范围为．

【解析】：

函数f（x）的图象大致如图所示．

因为f（x）为奇函数，且x·[f（x）－f（－x）]<0，所以2xf（x）<0.

由图可知，不等式的解集为（－3，0）∪（0，3）．

二、高效训练突破

一、选择题

1．甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是（　　）

A．甲是图①，乙是图②B．甲是图①，乙是图④

C．甲是图③，乙是图②D．甲是图③，乙是图④

【解析】：

由题知速度v＝

反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．

2.下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（　　）

A．y＝ln（1－x）B．y＝ln（2－x）

C．y＝ln（1＋x）D．y＝ln（2＋x）

【解析】：

解法一：

设所求函数图象上任一点的坐标为（x，y），则其关于直线x＝1的对称点的坐标为（2－x，y），由对称性知点（2－x，y）在函数f（x）＝lnx的图象上，所以y＝ln（2－x），故选B.

解法二：

由题意知，对称轴上的点（1，0）既在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A、C、D，故选B.

3．（2020·湖北省部分重点中学4月联考）已知函数f（x）＝

，g（x）＝－f（－x），则函数g（x）的图象大致是（　　）

【解析】：

先画出函数f（x）＝

的图象，如图

（1）所示，再根据函数f（x）与－f（－x）的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f（－x）的图象，即g（x）的图象，如图

（2）所示．故选D.

4.（2019届太原模拟）已知函数f（x）＝|x2－1|，若0＜a＜b且f（a）＝f（b），则b的取值范围是（　　）

A．（0，＋∞）B．（1，＋∞）

C．（1，

）D．（1，2）

【解析】：

作出函数f（x）＝|x2－1|在区间（0，＋∞）上的图象如图所示

作出直线y＝1，交f（x）的图象于点B，由x2－1＝1可得xB＝

，结合函数图象可得b的取值范围是（1，

）．

5．（2020·济南市学习质量评估）函数y＝

－ln|x|的图象大致为（　　）

【答案】D.

【解析】：

令f（x）＝y＝

－ln|x|，则f（－x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，排除选项B；当x>0且x→0时，

y→＋∞，排除选项A；当x＝2

时，y＝1－ln2

<1－lne＝0，排除选项C.故选D.

6.（2020·河北衡水中学第二次调研）函数y＝（2x－1）ex的图象大致是（　　）

【解析】：

.因为x趋向于－∞时，y＝（2x－1）ex<0，所以C，D错误；因为y′＝（2x＋1）ex，所以当x<－

时，y′<0，y＝（2x－1）ex在（－∞，－

）上单调递减，所以A正确，B错误，故选A.

7.（2020·江西七校第一次联考）设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（－2，1]上的图象，则f（2018）＋f（2019）＝（　　）

A．2　　　　　　　B．1C．－1D．0

【解析】：

.因为函数f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f（2018）＝f（2018－673×3）＝f（－1），f（2019）＝f（2019－673×3）＝f（0），由题图知f（－1）＝－1，f（0）＝0，所以f（2018）＋f（2019）＝f（－1）＋f（0）＝－1.

8.（2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）<0的解集为（　　）

A．（1，2）　　　　　　　　B．（－2，－1）

C．（－2，－1）∪（1，2）D．（－1，1）

【解析】：

因为函数f（x）是奇函数，所以图象关于原点对称，补全当x<0时的函数图象，如图

对于不等式xf（x）<0，当x>0时，f（x）<0，所以10，所以－2

9.（2020届安徽江淮十校联考）若直角坐标系内A、B两点满足：

（1）点A、B都在f（x）图象上；

（2）点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“和谐点对”，（A，B）与（B，A）可看作一个“和谐点对”．已知函数f（x）＝

则f（x）的“和谐点对”有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解析】：

作出函数y＝x2＋2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象

看它与函数y＝

（x≥0）的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f（x）的“和谐点对”有2个．

10.已知函数f（x）＝

（a，b，c，d∈R）的图象如图所示，则（　　）

A．a＞0，b＞0，c＜0，d＜0B．a＜0，b＞0，c＜0，d＞0

C．a＜0，b＞0，c＞0，d＞0D．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0

【解析】：

由题图可知，x≠1且x≠5，则ax2＋bx＋c＝0的两根为1，5，

由根与系数的关系，得－

＝6，

＝5，∴a，b异号，a，c同号，排除A、C；

又∵f（0）＝

＜0，∴c，d异号，排除D，只有B项适合．

11.（2019届沈阳市质量监测）函数f（x）＝

的图象大致为（　　）

【解析】：

因为y＝x2－1与y＝e|x|都是偶函数，所以f（x）＝

为偶函数，排除A、B；又f

（2）＝

＜1，排除D，故选C.

12.函数y＝

的图象大致为（　　）

【解析】：

函数y＝

的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，排除A项；∵f（－x）＝

＝－f（x），f（x）是奇函数，排除C项；当x＝2时，y＝

＞0，排除D项．

二、填空题

1.如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则

的值等于．

【解析】：

由图象知f（3）＝1，所以

＝1.所以

＝f

（1）＝2.

2.若函数f（x）＝

的图象如图所示，则f（－3）＝．

【解析】：

由题图可得a（－1）＋b＝3，ln（－1＋a）＝0，得a＝2，b＝5，所以f（x）＝

故f（－3）＝2×（－3）＋5＝－1.

3．设函数f（x）＝|x＋a|，g（x）＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是．

【解析】：

如图

作出函数f（x）＝|x＋a|与g（x）＝x－1的图象，观察图象可知：

当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，所以a的取值范围是[－1，＋∞）．

4.（2020届石家庄模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝g（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称．而函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）＝－1，则m＝________．

【解析】：

由题意知g（x）＝lnx，则f（x）＝ln（－x），若f（m）＝－1，则ln（－m）＝－1，解得m＝－

.

5.函数f（x）＝

的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点（x1，y1），（x2，y2），则y1＋y2＝________．

【解析】：

因为f（x）＝

＝

＋1，所以f（x）的图象关于点（0，1）对称，而直线y＝kx＋1过（0，1）点，故两图象的交点（x1，y1），（x2，y2）关于点（0，1）对称，所以

＝1，即y1＋y2＝2.

6.已知函数f（x）＝

，x∈R，则不等式f（x2－2x）

【解析】：

由已知得，f（x）＝

其图象如图所示：

由图可知，不等式f（x2－2x）

或

解得

≤x<2或1

，所以所求的解集为（1，2）．

7.（2019·绵阳诊断）已知函数y＝f（x）及y＝g（x）的图象分别如图所示，方程f（g（x））＝0和g（f（x））＝0的实根个数分别为a和b，则a＋b＝________.

【解析】由图象知f（x）＝0有3个根，分别为0，±m（m＞0），其中1＜m＜2，g（x）＝0有2个根，设为n，p，则－2＜n＜－1，0＜p＜1，由f（g（x））＝0得g（x）＝0或±m，由图象可知当g（x）所对应的值为0，±m时，其都有2个根，因而a＝6；由g（f（x））＝0知f（x）＝n或p，由图象可以看出当f（x）＝n时，有1个根，而当f（x）＝p时，有3个根，即b＝1＋3＝4.所以a＋b＝6＋4＝10.

8.如图所示，定义在[－1，＋∞）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为________________．

【解析】：

当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b（k≠0）．则

得

∴y＝x＋1；

当x＞0时，设解析式为y＝a（x－2）2－1（a≠0）．

∵图象过点（4，0），∴0＝a（4－2）2－1，得a＝

.

综上，f（x）的解析式为f（x）＝