二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
11．（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________．
解析：
先求出角A的余弦值，再利用余弦定理求解．
由23cos2A＋cos2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0，
解得cosA＝±.
∵A是锐角，∴cosA＝.
又a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴49＝b2＋36－2×b×6×.
∴b＝5或b＝－.
又∵b＞0，∴b＝5.
答案：
5
12．（2013·陕西卷）观察下列等式：
12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n个等式可为____________．
解析：
当n为偶数时，（12－22）＋（32－42）＋…＋[（n－1）2－n2]＝－；
当n为奇数时，（12－22）＋（32－42）＋…＋[（n－2）2－（n－1）2]＋n2＝－＋n2＝.
答案：
12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n＋1
13．若变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为________．
解析：
作出可行域（如图），由z＝x－2y得y＝x－，则当目标函数过C（1，－1）时z取得最大值，所以zmax＝1－2×（－1）＝3.
答案：
3
14．若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，由大到小的顺序是__________________________．
解析：
用特殊值法或作差比较法都很容易得出答案．
答案：
＞＞＞
三、解答题（本题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
15．（本小题满分12分）等差数列不是常数列，a5＝10，且a5，a7，a10是某一等比数列的第1，3，5项．
（1）求数列的第20项；
（2）求数列的通项公式．
解析：
（1）设数列的公差为d，则a5＝10，a7＝10＋2d，a10＝10＋5d.
因为等比数列的第1、3、5项成等比数列，
所以a＝a5a10，即（10＋2d）2＝10（10＋5d）．
解得d＝2.5，d＝0（舍去）．
所以a20＝47.5.
（2）由
（1）知为各项非负的数列，所以q2＝＝＝.∴q＝±.又b1＝a5＝10，
∴bn＝b1qn－1＝±10·，n∈N*.
16．（本小题满分12分）（2013·北京卷）在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
（1）求cosA的值；
（2）求c的值．
解析：
（1）由正弦定理得：
＝，解得cosA＝.
（2）由cosA＝⇒sinA＝，又∠B＝2∠A，
∴cosB＝2cos2A－1＝.∴sinB＝，
sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.
∴c＝＝5.
17．（本小题满分14分）已知关于x的不等式ax2＋2x＋c＞0的解集为，求－cx2＋2x－a＞0的解集．
解析：
由ax2＋2x＋c＞0的解集为知a＜0，－和是方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由韦达定理－＋＝－，－×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a＞0，即－2x2＋2x＋12＞0亦即x2－x－6＜0.
其解集为（－2，3）．
18．（本小题满分14分）某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解析：
方法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：
z＝2.5x＋4y，且x，y满足
即
z在可行域的四个顶点A（9，0），B（4，3），C（2，5），D（0，8）处的值分别是
zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，
zB＝2.5×4＋4×3＝22，
zC＝2.5×2＋4×5＝25，
zD＝2.5×0＋4×8＝32.
比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
方法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得z＝2.5x＋4y，且x，y满足
即
作出平行域如下图所示．
让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B（4，3）处取得最小值．
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
19．（本小题满分14分）如右图，某观测站C在城A南偏西20°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？
解析：
根据题意，可得下图，
其中BC＝31千米，BD＝20千米，CD＝21千米，∠CAD＝60°.设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
在△CDB中，由余弦定理得：
cosβ＝＝＝－，
sinβ＝＝.
sinα＝sin（180°－∠CAD－∠CDA）
＝sin（180°－60°－180°＋β）
＝sin（β－60°）
＝sinβcos60°－cosβsin60°
＝×＋×
＝.
在△ACD中，由正弦定理得：
AD＝·sinα＝×＝15.
此人还得走15千米到达A城．
20．（本小题满分14分）数列{an}中，a1＝8，a4＝2且满足an＋2＝2an＋1－an，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn；
（3）设bn＝（n∈N*），Tn＝b1＋b2＋…＋bn（n∈N*），是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*，均有Tn＞成立？
若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解析：
（1）由an＋2＝2an＋1－an⇒an＋2－an＋1＝an＋1－an，
可知{an}成等差数列，d＝＝－2，
∴an＝8＋（n－1）·（－2）＝10－2n（n∈N）．
（2）由an＝10－2n≥0得n≤5，
∴当n≤5时，Sn＝－n2＋9n.当n＞5时，
Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an
＝2（a1＋a2＋…＋a5）－（a1＋a2＋…＋an）
＝n2－9n＋40.
故Sn＝
（3）bn＝＝＝.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝
＝＞＝Tn－1＞Tn－2＞…T1.
∴要使Tn＞总成立，需＜T1＝恒成立，
即m＜8（m∈Z）．故适合条件的m的最大值为
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