人教版高中数学选修22模块综合测评.doc

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模块综合测评

（时间150分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝（　　）

A．－1　　　　　　　　 B．1

C．－2 D．2

【解析】　z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.

【答案】　B

2．已知复数z＝，则·i在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【解析】　∵z＝＝，∴＝＋i，

∴·i＝－＋i.

【答案】　B

3．观察：

＋<2，＋<2，＋<2，…，对于任意的正实数a，b，使＋<2成立的一个条件可以是（　　）

A．a＋b＝22 B．a＋b＝21

C．ab＝20 D．ab＝21

【解析】　由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.

【答案】　B

4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′

（1）＋lnx，则f′

（1）＝（　　）【导学号：

60030088】

A．－e B．－1

C．1 D．e

【解析】　∵f（x）＝2xf′

（1）＋lnx，

∴f′（x）＝2f′

（1）＋，

∴f′

（1）＝2f′

（1）＋1，

∴f′

（1）＝－1.

【答案】　B

5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是（　　）

A．②①③ B．③②①

C．①②③ D．③①②

【解析】　该三段论应为：

一次函数的图象是一条直线（大前提），y＝2x＋5是一次函数（小前提），y＝2x＋5的图象是一条直线（结论）．

【答案】　D

6．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图1所示，则（　　）

图1

A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点

B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点

C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点

D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点

【解析】　根据极值的定义及判断方法，检查f′（x）的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f（x）在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f（x）的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点．

【答案】　A

7．曲线y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）

A.e2 B．2e2

C．e2 D.

【解析】　∵f′（x）＝ex，∴曲线在点（2，e2）处的切线的斜率为k＝f′

（2）＝e2，切线方程为y－e2＝e2（x－2），即e2x－y－e2＝0，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A（1,0），B（0，－e2），则切线与坐标轴围成的△OAB的面积为×1×e2＝.

【答案】　D

8．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是（　　）

A．ak＋ak＋1＋…＋a2k

B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1

C．ak－1＋ak＋…＋a2k

D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2

【解析】　由归纳推理可知，第k项的第一个数为ak－1，且共有k项．故选D.

【答案】　D

9．函数f（x）＝ax3－x在R上为减函数，则（　　）

A．a≤0 B．a<1

C．a<2 D．a≤

【解析】　由题意可知f′（x）＝3ax2－1≤0在R上恒成立，则a≤0.

【答案】　A

10．设a＝x－dx，b＝1－xdx，c＝x3dx则a，b，c的大小关系（　　）

A．a>b>c B．b>a>c

C．a>c>b D．b>c>a

【解析】　由题意可得a＝x－dx＝x＝；

b＝1－xdx＝1－x＝1－＝；

c＝x3dx＝＝.综上，a>b>c.

【答案】　A

11．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f（n）＝1＋＋＋…＋增加的项数是（　　）

A．1 B．2k＋1

C．2k－1 D．2k

【解析】　∵f（k）＝1＋＋＋……＋，

又f（k＋1）＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.

从f（k）到f（k＋1）是增加了（2k＋1－1）－2k＋1＝2k项．

【答案】　D

12．已知函数f（x）＝x3－ln（－x），则对于任意实数a，b（a＋b≠0），则的值为（　　）

A．恒正 B．恒等于0

C．恒负 D．不确定

【解析】　可知函数f（x）＋f（－x）＝x3－ln（－x）＋（－x）3－ln（＋x）＝0，

所以函数为奇函数，同时，

f′（x）＝3x2＋>0，f（x）是递增函数，＝，所以>0，所以选A.

【答案】　A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）

13．复数（i为虚数单位）的实部等于________．

【解析】　∵＝－3－i，∴其实部为－3.

【答案】　－3

14．观察下列等式：

13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．

【解析】　第n个等式左边为1到n＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋（n＋1）的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.

【答案】　13＋23＋33＋43＋53＋63＝212

15．曲线y＝sinx（0≤x≤π）与直线y＝围成的封闭图形的面积为__________.【导学号：

60030089】

【解析】　由于曲线y＝sinx（0≤x≤π）与直线y＝的交点的横坐标分别为x＝及x＝，因此所求图形的面积为∫dx＝＝－.

【答案】　－

16．已知函数f（x）＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________.

【解析】　∵f′（x）＝3x2＋6mx＋n，

∴由已知可得

∴或

当时，f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0恒成立与x＝－1是极值点矛盾，

当时，f′（x）＝3x2＋12x＋9＝3（x＋1）（x＋3），

显然x＝－1是极值点，符合题意，∴m＋n＝11.

【答案】　11

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．

【解】　z＝＝＝

＝＝＝1－i.

因为z2＋az＋b＝（1－i）2＋a（1－i）＋b

＝－2i＋a－ai＋b＝（a＋b）－（2＋a）i＝1＋i，

所以解得

18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x3＋3ax2＋3x＋1.

（1）当a＝－时，讨论f（x）的单调性；

（2）若x∈[2，＋∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

【解】　

（1）当a＝－时，f（x）＝x3－3x2＋3x＋1，

f′（x）＝3x2－6x＋3.

令f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.

当x∈（－∞，－1）时，f′（x）＞0，f（x）在（－∞，－1）上是增函数；

当x∈（－1，＋1）时，f′（x）＜0，f（x）在（－1,＋1）上是减函数；

当x∈（＋1，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（＋1，＋∞）上是增函数．

（2）由f

（2）≥0，得a≥－.

当a≥－，x∈（2，＋∞）时，

f′（x）＝3（x2＋2ax＋1）≥3

＝3（x－2）＞0，

所以f（x）在（2，＋∞）上是增函数，于是当x∈[2，＋∞）时，f（x）≥f

（2）≥0.

综上，a的取值范围是.

19．（本小题满分12分）设等差数列{an}的公差为d，Sn是{an}中从第2n－1项开始的连续2n－1项的和，即

S1＝a1，

S2＝a2＋a3，

S3＝a4＋a5＋a6＋a7，

……

Sn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋…＋a2n－1，

……

若S1，S2，S3成等比数列，问：

数列{Sn}是否成等比数列？

请说明你的理由．

【解】　∵S1，S2，S3成等比数列，

∴S1＝a1≠0，且S1·S3＝S，

由S1·S3＝S，得a1（a4＋a5＋a6＋a7）＝（a2＋a3）2，

即a1（4a1＋18d）＝（2a1＋3d）2,2a1d＝3d2.∴d＝0或a1＝d.

当d＝0时，Sn＝2n－1a1≠0，

＝＝2（常数），n∈N*，{Sn}成等比数列；

当a1＝d时，

Sn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋a2n－1＝2n－1a2n－1＋d

＝2n－1[a1＋（2n－1－1）d]＋d

＝2n－1＝d·4n－1≠0，

＝＝4（常数），n∈N*，{Sn}成等比数列．

综上所述，若S1，S2，S3成等比数列，则{Sn}成等比数列．

20．（本小题满分12分）已知幂函数f（x）＝x－m2＋2m＋3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，＋∞）上是单调增函数．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）＝f（x）＋ax3＋x2－b（x∈R），其中a，b∈R，若函数g（x）仅在x＝0处有极值，求a的取值范围.【导学号：

60030090】

【解】　

（1）因为f（x）在区间（0，＋∞）上是单调增函数，

所以－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，

所以－1

而m＝0,2时，f（x）＝x3不是偶函数，m＝1时，

f（x）＝x4是偶函数，

所以f（x）＝x4.

（2）由

（1）知g（x）＝x4＋ax3＋x2－b，

则g′（x）＝x（x2＋3ax＋9），显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根．

为使g（x）仅在x＝0处有极值，

必须x2＋3ax＋9≥0恒成立，

即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式得a∈[－2,2]．

这时，g（0）＝－b是唯一极值，所以a∈[－2,2]．

21．（本小题满分12分）在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.

（1）求a1，a2，a3；

（2）由

（1）猜想到数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

【解】　

（1）由S1＝a1＝，得a＝1，

因为an>0，所以a1＝1.

由S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，所以a2＝－1，

由S3＝a1＋a2＋a3＝，

得a＋2a3－1＝0，所以a3＝－.

（2）猜想an＝－（n∈N*）．

证明：

①当n＝1时，

a1＝－＝1，命题成立；

②假设n＝k（k≥1，k∈N*）时，

ak＝－成立，

则n＝k＋1时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk

＝－，即ak＋1

＝

－

＝－，

所以a＋2ak＋1－1＝0.

所以ak＋1＝－，

则n＝k＋1时，命题成立．

则①②知，n∈N*，an＝－.

22．（本小题满分12分）设函数f（x）＝aexlnx＋，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y＝e（x－1）＋2.

（1）求a，b；

（2）证明：

f（x）>1.

【解】　

（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝aexlnx＋ex－ex－1＋ex－1.

由题意可得f

（1）＝2，f′

（1）＝e.故a＝1，b＝2.

（2）证明：

由

（1）知，f（x）＝exlnx＋ex－1，

从而f（x）>1等价于xlnx>xe－x－.

设函数g（x）＝xlnx，则g′（x）＝1＋lnx.

所以当x∈时，g′（x）<0；

当x∈时，g′（x）>0.

故g（x）在上单调递减，在上单调递增，从而g（x）在（0，＋∞）上的最小值为

g＝－.

设函数h（x）＝xe－x－，则h′（x）＝e－x（1－x）．

所以当x∈（0,1）时，h′（x）>0；

当x∈（1，＋∞）时，h′（x）<0.

故h（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，

从而h（x）在（0，＋∞）上的最大值为h

（1）＝－.

综上，当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1.

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