【答案】 A
3．曲线y＝x3＋11在点P（1,12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）
A．－9B．－3
C．9D．15
【解析】 y′＝3x2，故曲线在点P（1,12）处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3（x－1），令x＝0得y＝9.
【答案】 C
4．如果命题“﹁p且﹁q”是真命题，那么下列结论中正确的是（ ）
【导学号：
63470097】
A．“p或q”是真命题B．“p且q”是真命题
C．“﹁p”为真命题D．以上都有可能
【解析】 若“﹁p且﹁q”是真命题，则﹁p，﹁q均为真命题，即命题p、命题q都是假命题．
【答案】 C
5．下列命题的否定为假命题的是（ ）
A．对任意x∈R，都有－x2＋x－1<0成立
B．对任意x∈R，都有|x|>x成立
C．对任意x，y∈Z，都有2x－5y≠12成立
D．存在x∈R，使sin2x＋sinx＋1＝0成立
【解析】 对于A选项命题的否定为“存在x∈R，使－x2＋x－1≥0成立”，显然，这是一个假命题．
【答案】 A
6．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于（ ）
A．3B．2
C．2D.
【解析】 抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的渐近线为y＝±x，则准线与渐近线交点为（－3，－）、（－3,）．
∴所围成三角形面积S＝×3×2＝3.
【答案】 A
7．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线，交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为（ ）
A．5B．6
C．8D．10
【解析】 抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值为y1＋y2＋2＝8.
【答案】 C
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|有（ ）
【导学号：
63470098】
A．最大值16B．最小值16
C．最大值4D．最小值4
【解析】 由椭圆的定义知a＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×4＝8.由基本不等式知|PF1|·|PF2|≤＝＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成立，所以|PF1|·|PF2|有最大值16.
【答案】 A
9．如图1所示，四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是（ ）
图1
A．①②B．③④C．①③D．②④
【解析】 因为三次函数的导函数为二次函数，其图像为抛物线，观察四图，由导函数与原函数的关系可知，当导函数大于0时，其函数为增函数；当导函数小于0时，其函数为减函数，由此规律可判定③④不正确．
【答案】 B
10．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A．[2，＋∞）B．[，＋∞）
C．（1,2]D．（1，]
【解析】 由双曲线的定义知，
|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝3|PF2|，∴|PF2|＝a.
即双曲线的右支上存在点P使得|PF2|＝a.
设双曲线的右顶点为A，则|AF2|＝c－a.
由题意知c－a≤a，
∴c≤2a.又c>a，
∴e＝≤2且e>1，即e∈（1,2]．
【答案】 C
11．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图2所示的是y＝x·f′（x）的图像的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（ ）
图2
A．f
（1）与f（－1）B．f（－1）与f
（1）
C．f（－2）与f
（2）D．f
（2）与f（－2）
【解析】 由图像知，f′
（2）＝f′（－2）＝0.∵x>2时，y＝x·f′（x）>0，∴f′（x）>0，
∴y＝f（x）在（2，＋∞）上单调递增；同理f（x）在（－∞，－2）上单调递增；在（－2,2）上单调递减．
∴y＝f（x）的极大值为f（－2），极小值为f
（2），故选C.
【答案】 C
12．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A．y2＝±4xB．y2＝±8x
C．y2＝4xD．y2＝8x
【解析】
a>0时，F，直线l方程为y＝2，
令x＝0得y＝－.
∴S△OAF＝··＝4.
解得a＝8.
同理a<0时，得a＝－8.
∴抛物线方程为y2＝±8x.
【答案】 B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）
13．若双曲线－＝1（b>0）的渐近线方程为y＝±x，则右焦点坐标为________.
【导学号：
63470099】
【解析】 由－＝1得渐近线方程为y＝±x，
∴＝，b＝1，
∴c2＝a2＋b2＝4＋1＝5，
∴右焦点坐标为（，0）．
【答案】 （，0）
14．函数f（x）＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
【解析】 f′（x）＝3x2－30x－33＝3（x－11）（x＋1），
当x<－1或x>11时，f′（x）>0，f（x）增加；
当－1【答案】 （－1,11）
15．已知命题p：
对任意x∈[0,1]，都有a≥ex成立，命题q：
存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是____________.
【导学号：
63470100】
【解析】 因为对任意x∈[0,1]，都有a≥ex成立，所以a≥e.由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，可得判别式Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命题“p且q”是真命题，所以p、q同为真，所以e≤a≤4.
【答案】 [e,4]
16．已知椭圆C1：
＋＝1（a>b>0）的右焦点与抛物线C2：
y2＝4x的焦点F重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF|＝.则椭圆C1的方程为________．
【解析】 抛物线C2的焦点F的坐标为（1,0），准线为x＝－1，设点P的坐标为（x0，y0），依据抛物线的定义，由|PF|＝，得1＋x0＝，解得x0＝.因为点P在抛物线C2上，且在第一象限，所以y0＝.所以点P的坐标为.因为点P在椭圆C1：
＋＝1上，所以＋＝1.又c＝1，所以a2＝b2＋1，联立解得a2＝4，b2＝3.所以椭圆C1的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）求与⊙C1：
（x＋1）2＋y2＝1相外切，且与⊙C2：
（x－1）2＋y2＝9相内切的动圆圆心P的轨迹方程．
【解】 设动圆圆心P的坐标为（x，y），半径为r，
由题意得，|PC1|＝r＋1，|PC2|＝3－r，
∴|PC1|＋|PC2|＝r＋1＋3－r＝4>|C1C2|＝2，
由椭圆定义知，动圆圆心P的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为2a＝4的椭圆，椭圆方程为＋＝1.
18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ax2＋1（a>0），g（x）＝x3＋bx.若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值．
【解】 f′（x）＝2ax，g′（x）＝3x2＋b.
∵曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，∴，
即，解得.
∴a，b的值分别为3,3.
19．（本小题满分12分）已知命题p：
函数f（x）＝x3＋ax＋5在区间（－2,1）上不单调，若命题p的否定是一个真命题，求a的取值范围．
【解】 考虑命题p为真命题时a的取值范围，因为f′（x）＝3x2＋a，令f′（x）＝0，得到x2＝－，
当a≥0时，f′（x）≥0，函数f（x）在区间（－2,1）上是增加的，不合题意；
当a<0时，由x2＝－，得到x＝±，要使函数f（x）＝x3＋ax＋5在区间（－2,1）上不单调，则<1或－>－2，即a>－12，
综上可知－12故命题p的否定是一个真命题时，a的取值范围是a≤－12或a≥0.
20．（本小题满分12分）某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：
p＝（x∈N＋）．
（1）将该厂的日盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；
（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
【解】
（1）由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x（1－p）．
因为次品率p＝，
当每天生产x件时，有x·件次品，
有x件正品．
所以T＝200x－100x·
＝25·（x∈N＋）．
（2）T′＝－25·，
由T′＝0，得x＝16或x＝－32（舍去）．
当00；
当x>16时，T′<0；
所以当x＝16时，T最大．
即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．
21．（本小题满分12分）设函数f（x）＝x2－2tx＋4t3＋t2－3t＋3，其中x∈R，t∈R，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）讨论g（t）在区间[－1,1]内的单调性；
（3）若当t∈[－1,1]时，|g（t）|≤k恒成立，其中k为正数，求k的取值范围．
【解】
（1）f（x）＝（x－t）2＋4t3－3t＋3，当x＝t时，f（x）取得其最小值g（t），即g（t）＝4t3－3t＋3.
（2）∵g′（t）＝12t2－3＝3（2t＋1）（2t－1），
列表如下：
t
－
g′（t）
＋
0
－
0
＋
g（t）
极大值
g
极小值g
由此可见，g（t）在区间和上单调递增，在区间上单调递减．
（3）∵g
（1）＝g＝4，g（－1）＝g＝2，
∴g（t）最大值＝4，g（t）最小值＝2，
又∵|g（t）|≤k恒成立，
∴－k≤g（t）≤k恒成立，∴∴k≥4.
22．（本小题满分12分）已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的短轴长为2，右焦点F与抛物线y2＝4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（－4,0），且满足＝λ，若λ∈，求直线AB的斜率的取值范围．
【解】
（1）由已知得b＝，c＝1，a＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1.
（2）∵＝λ，∴D，A，B三点共线，而D（－4,0），且直线AB的斜率一定存在，所以设AB的方程为y＝k（x＋4），与椭圆的方程＋＝1联立得
（3＋4k2）y2－24ky＋36k2＝0，
由Δ＝144k2（1－4k2）>0，得k2<.
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＋y2＝，
y1·y2＝，①
又由＝λ得：
（x1＋4，y1）＝λ（x2＋4，y2），
∴y1＝λy2②
将②式代入①式得：
消去y2得：
＝＝＋λ＋2.
当λ∈时，h（λ）＝＋λ＋2是减函数，
∴≤h（λ）≤，
∴≤≤，解得≤k2≤，
又因为k2<，所以≤k2≤，
即－≤k≤－或≤k≤.
∴直线AB的斜率的取值范围是
∪.
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