五年级数学基本概念.docx

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五年级数学基本概念

以下是小学数学基本概念，标红部分是五年级及以前应掌握的基本概念，请家长督促孩子背下来并多做练习。

第一部分数与代数

※数的知识

【知识解读】

一、整数

1、整数的计数单位

一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……都是整数的计数单位。

每相邻的两个计数单位间的进率都是10，也就是10个较低的单位等于相邻的一个较高的单位。

这样的计数法叫做十进制计数法。

2、整数的数位和位数

在计数时，计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

如：

2008中的“2”在右起第四位，即“2”所在的数位是千位。

 位数是指一个数用几个数字写出来（最左边的数字不是0），有几个数字就是几位数，或者说，一个自然数含有几个数位，就是几位数。

如：

1356含有四个数位，则1356就是四位数。

3、整数的读法和写法

按照我国的读数习惯，采用四位分级法，即从个位起，每四个数位作为一级。

个、十、百、千四位称为个级；万、十万、百万、千万四位称为万级；亿、十亿、百亿、千亿四位称为亿级，等等。

个级、万级、亿级……称为数级。

读整数时，从高位到低位，一级一级地读。

读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加上“亿”字、“万”字就可以了，每一级末尾的0都不读出来，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读出一个零。

写整数时，从高位到低位，一级一级地写，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数为上写0.

4、整数的改写和近似数

    整万、整亿数的改写，就是把万后面的4个0或亿后面的8个0省略，换成一个“万”

或“亿”字。

如果要改写的多位数不是整万或整亿的数改写的方法就是：

在万位或亿位数字的右下角点上小数点，去掉小数末尾的0，再在小数后面加“万”或“亿”字作单位。

生活中一些事物的数量，有时不用精确地数表示，而只用一个与它比较接近的数来表示，这样的数是近似数。

求近似数地方法一般有以下三种：

⑴四舍五入法：

是指要求精确的某一位，后一位数如果是4或比4小的就舍去；如果是5或比5大，就向前一位进1。

⑵进一法：

在截取近似数时，不管多余部分上的数是多少，都向前一位进1。

⑶去尾法：

在截取近似数时，不管多余部分上的数是多少，一概去掉。

5、整数比较大小

比较两个整数的大小，整数数位多的数比较大；整数数位相同的，要从高位依次看相同数位上的数字，相同数位上的数字大的数比较大。

 6、整数的分类

（1）自然数：

在数物体时，用来表示物体个数的1、2、3、4、5、6……叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示。

0也是自然数。

1是自然数的基本组成单位。

自然数即可以表示事物的多少（基数），也可以表示事物的次序（序数）。

自然数“0”的含义：

自然数“0”表示没有，仅是最初的含义。

随着社会的不断进步和数学研究的不断深入，人们对“0”的认识也有了发展。

“0”不仅表示“没有”，而且具有比较确定的内容。

例如：

“今天的气温是0摄氏度”，并不是说今天没有温度，而是表示在标准大气压时，冰水混合物的温度；在运用测量工具时，“0刻度线”是测量的起点；在写数运算时，“0”还有占位的作用。

数字的含义及种类

①表示数目的书写符号叫做数字。

常见的数字有三种：

中国数字、阿拉伯数字、罗马数字。

②中国数字是我国常用的数字。

分小写和大写两种。

小写是：

0、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、亿等；大写是：

零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿等。

③阿拉伯数字是：

1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，这是世界各国通用的数字，也是数学中常用的数字。

罗马数字是罗马人创造的计数符号。

共有七个计数符号：

Ⅰ表示1，Ⅴ表示5，Ⅹ表示10，L表示50，С表示100，D表示500，М表示1000。

由于罗马数字计数不方便，现在已很少使用。

（2）负整数

以前我们学过的5、6、3、、300…这样大于0的数都是正数，正数前面也可以加“+”号，如+5，+6，+3，+，+300。

而像-16，-321，-，-0.7…这样小于0的数都是负数。

负数前面“-”称为负号。

0在正数和负数之间，它既不是正数，也不是负数。

像-1、-2、-3、-99……这样的数是负整数。

7、数的整除

⑴因数和倍数

如果自然数a和自然数b的乘积是自然数c，即a×b=c，那么a和b都是c的因数，c是a和b的倍数。

（注：

这里的自然数不包括0）

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。

因数和倍数的关系：

因数和倍数是两个不同的概念，但又是相互依存，不能单独存在。

找一个数的因数的方法：

列乘法算式或列除法算式，（一对一对的找）。

找一个数的倍数的方法：

就是用这个数，依次与非零的自然数相乘所得的数就是这个数的倍数，（一倍一倍的找）。

2、5、3和其他数的倍数特征

2的倍数特征：

个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。

3的倍数特征：

一个数的各数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

5的倍数特征：

个位是0或5的数，都是5的倍数。

9的倍数特征：

一个数的各数位上的数字和是9的倍数，这个数就是9的倍数。

4或25的倍数的特征：

如果一个数的末两位数字所表示的数是4或25的倍数，那么这个数就是4或25的倍数。

8或125的倍数的特征：

如果一个数的末三位数字所表示的数是8或125的倍数，那么这个数就是8或125的倍数。

10、7、11、13的倍数的特征：

如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字组成的差是7或11或13的倍数，那么这个数就是7或11或13的倍数。

⑵奇数、偶数

自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）；不是2倍数的数叫做奇数。

奇数、偶数的性质：

（1）奇数+奇数=偶数    

（2）奇数-奇数=偶数    （3）偶数+偶数=偶数

（4）偶数-偶数=偶数    （5）奇数+偶数=奇数    （6）奇数-偶数=奇数

（7）偶数-奇数=奇数   （8）奇数×奇数=奇数   （9）偶数×偶数=偶数

（10）奇数×偶数=偶数

⑶质数（素数）、合数与分解质因数

质数：

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（也叫做素数）；（质数只有两个因数）

合数：

一个数如果除了1和它本身，还有别的因数，这样的数叫做合数。

（合数最少有3个因数）。

1只有一个因数，所以1既不是质数，也不是合数。

质因数：

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。

如：

30=2×3×5，其中2、3、5本身是质数，又是30的因数，所以2、3、5都是30的质因数。

分解质因数：

把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

分解质因数的方法：

①对于一个较小的数，可采用塔内分解图进行分解。

②短除法：

把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止；然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。

（4）公因数和最大公因数

公因数和最大公因数的意义：

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。

互质数的意义：

公因数只有1的两个数，叫做互质数。

两个数互质的特殊判断方法：

        ①1和任何大于1的自然数互质。

②2和任何奇数都是互质数。

③相邻的两个自然数是互质数。

④相邻的两个奇数是互质数。

⑤不相同的两个质数是互质数。

⑥当一个数是合数，而另一个数是质数时，（除了合数是质数倍数情况下）。

一般情况下这两个数也是互质数。

公倍数最小公倍数

（5）公倍数最小公倍数的意义：

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。

其中最小的一个，叫做最小公倍数。

（6）求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：

①特殊方法：

如果两个数中的较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的最大公因数就是1。

最小公倍数是这两个数的积。

   ②一般地，求几个数的最大公因数、最小公倍数通常用短除法。

用短除法求几个数的最大公因数：

一般先用这几个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘起来。

用短除法求几个数的最小公倍数：

一般先用这几个数公有的质因数去除，然后用任意两个数的公因数去除，直到所有的商两两互质为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来。

③最大公因数×最小公倍数=两个数的乘积。

④分解质因数法：

 18和30的最大公因数是=2×3=6         或（18,30）=2×3=6

18和30的最小公倍数是=2×3×3×5=90  或〔18,30〕=2×3×3×5=90

二、小数

1、小数的意义

把整数“1”平均分成10份、100份、1000份、……这样的一份或几份是十分之一、百分之一、千分之一……或十分之几、百分之几、千分之几……写成不带分母的形式的数，叫做小数。

2、小数的位数和计数单位

同整数一样，小数的计数单位也是按照一定的顺序排列起来的，它们所占的位置叫做小数的数位。

小数的小数部分按从左往右的顺序，十分位的计算单位是十分之一（或0.1）、百分位的计数单位是百分之一（或0.01）；千分位的计数单位是千分之一（或0.001）；万分位的计数单位是万分之一（或1.0001）……每相邻两个计数单位间的进率都是十。

小数部分最高位十分位上的计数单位十分之一，它与整数部分最低位个位上的计数单位一（或个）之间的进率也是十。

3、小数的读法和写法

（1）直接读法：

读小数一般采用直接读法。

读小数时，整数部分按照整数读法去读，整数部分是0的，就读作零；中间的小数点读作“点”；小数部分按照从左往右的顺序依次读出每一个数位上的数字，小数部分的“0”要一个不少地全部读出来。

（2）间接读法：

小数还有一种“分数读法”，例如：

0.7可读作十分之七，3.57可以读作三又百分之五十七，这种读法有利于理解小数的意义。

写法：

写小数时，要先写整数部分，再写小数点，最后写小数部分。

整数部分按照整数写法来写，整数部分是零的写作“0”；然后把小数点点在个位的右下角；小数部分从十分位起，由高位到低位依次写出每一个数位上的数字；例如：

零点四七写作：

0.47，一千零五点零零三六写作：

1005.0036.

4、小数的性质

小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。

这叫做小数的性质。

根据这个性质，可以把小数化简。

例如：

1.800=1.8；也可以根据需要在小数的末尾添上“0”；还可以在整数个位的右下角点上小数点再添上“0”，把整数写成小数形式。

例如：

3=3.000；小数的大小不变，计数单位从“一”变成了“0.001”。

即：

3个“一”等于3000个“0.001”。

5、小数点位置移动引起小数大小的变化

（1）小数点向右移动一位，小数就扩大到原数的10倍。

（2）小数点向右移动两位，小数就扩大到原数的100倍。

（3）小数点向右移动三位，小数就扩大到原数的1000倍。

……

（4）小数点向左移动一位，小数就缩小到原数的。

（5）小数点向左移动两位，小数就缩小到原数的。

（6）小数点向左移动三位，小数就缩小到原数的……

移动小数点时，如果位数不够时就用0补足。

6、小数的分类

⑴按照整数部分分类

①纯小数：

一个整数部分是零的小数叫做纯小数。

②带小数：

一个整数部分不是零的小数叫做带小数或混小数。

⑵按照小数部分分类

①有限小数：

小数部分的位数是有限的小数。

②无限小数：

小数部分的位数是无限的小数。

无限小数又可以分为循环小数和无限不循环小数。

小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。

依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。

循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。

循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

7、小数大小的比较

比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……

8、小数的近似数

求一个小数的近似数，同求整数的近似数相似，根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数。

主要看要求精确的某一位后面是满5，还是小于5，如果满5就像前一位进一，小于5，则直接舍去。

三、分数

1、分数的意义

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

其中的一份的数，叫做分数单位。

在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示有这样的多少份的数，叫做分数的分子；

2、分数的分类

（1）真分数：

分子比分母小的分数叫真分数。

真分数小于1。

如:

，

（2）假分数：

分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。

假分数大于1或等于1。

如：

，

（3）带分数：

一个假分数，如果分子不是分母的倍数，它就可以写成由一个整数（不包括0）和真分数合成的分数，叫做带分数。

如可以写成3。

（4）真分数和假分数互化

①假分数化成整数或带分数的方法：

用分子除以分母。

当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数；分子不是分母倍数，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。

②把整数化成假分数用指定的分母作分母，用分母和整数的乘积做分子。

③把带分数化成假分数：

用原来的分母作分母，用分母和整数的乘积再加上原来的分子作分子。

3、分数的读法和写法

（1）分数的读法

在读真分数和假分数是先读分母，再读分之，最后读分子。

在读带分数时，先读带分数的整数部分，再读分数部分，并在两者之间加读“又”字。

（2）分数的写法

写真分数或假分数时，先写出分数线，再写分母，后写分子。

写带分数时，先写带分数的整数部分，后写分数部分。

被除数（分子）   ÷ （分数线）   除数（分母）  =     商（分数值）

 注：

因为零不能作除数，因此所有分数的分母不能为0。

5、分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

这叫做分数的基本性质。

（1）约分：

把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

（2）最简分数：

分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。

（3）通分：

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

通分的方法：

先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数做分母的数。

6、分数大小比较：

（1）同分母分数的大小比较

分母相同的两个分数相比，分子大的分数比较大。

（2）同分子分数的大小比较

分子相同（0除外）的两个分数相比，分母小的分数比较大。

（3）分子、分母都不相同得分数的大小比较

分子、分母都不相同得分数比较大小，一般先通分再比较，也可以把各分数化成小数再比较。

四、百分数

1、百分数的意义

表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，百分数也叫做百分率或百分比。

2、百分数的读法和写法

百分数的读法与分数的读法相同，先读分母，再读分子。

一个百分数，百分号“%”前面的数是几，我们就把这个百分数读作百分之几。

如：

21%读作百分之二十一。

百分数通常不写成分数形式，而用百分号“%”来表示。

如：

百分之七十八写作78%。

3、成数和折扣

（1）成数：

“成”表示十分之一，成数就是十分之几。

（2）折扣：

折表示十分之几，化成百分数就是百分之几十。

4、税率和利率

纳税是根据国家的有关规定，按照一定的比率把集体或个人的收入的部分缴纳给国家。

缴纳的税款叫应纳税额。

应纳税额与各种收入的比率叫税率。

人们常把暂时不用的钱存入银行，存款分为活期、整存整取和零存整取等方式。

存入银行的钱叫做本金，取款时银行多付的钱叫做利息。

利息=本金×利率×时间。

※数的运算

一、四则运算的意义

   加、减法的意义

   数的

          分类

运算名称

整数

小数

分数

加法

把两个数合并成一个数的运算。

与整数加法的意义相同。

与整数加法的意义相同。

减法

已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

与整数减法的意义相同。

与整数减法的意义相同。

乘法

求几个相同加数和的简便运算

1、小数乘整数与整数乘法的意义相同。

2、一个数乘小数表示求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。

1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。

2、一个数乘分数就是求这个数的几分之几是多少。

除法

已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。

与整数除法的意义相同。

与整数除法的意义相同。

二、四则运算的法则

1、加减法的运算法则：

二、四则运算的法则

1、加减法的运算法则：

同单位相加减，单位不变，单位的个数相加减

整数

小数

分数

1、相同数位对齐；

2、从个位算起；

3、加法中满几十就向前一位进几；减法中不够减时，就从前一位借，借几当几十。

1、相同数位对齐（小数点对齐）；

2、从低位算起；

3、按照整数加、减法的法则进行计算；

4、结果中的小数点和相加减数的小数点对齐。

1、同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。

2、异分母分数相加减，先通分，然后计算。

3、计算的结果，能约分的要约分。

2、乘除法的运算法则：

整数

小数

分数

乘法

1、从个位起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数。

2、用第二个因数去乘，得数的末位就要和第二个因数的那一位对齐。

3、再把每次乘得的得数加起来。

1、按照整数乘法的法则求出积。

2、看因数中一共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点。

1、分数乘分数用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

2、有整数的把整数看成分母是1的假分数。

3、有带分数的，通常先把带分数化成假分数。

除法

除法是整数的除法：

从被除数的高位起，除数是几位数，就先看被除数的前几位，如果不够除，就要多看一位。

除到哪一位就要把商就写在那一位上面。

商的小数点和被除数的小数点对齐。

除数是小数的除法：

先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补0），然后按照除数是整数的除法进行计算。

甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数

注意：

因数是整十、整百或整千……的多位数乘法，先用这些数十位、百位或千位……上的数去乘，然后在乘得的数末尾添上一个0、两个0或三个0……

 4、倒数：

乘积是1的两个数互为倒数。

三、四则运算各部分之间的关系

        加数+加数=和                      一个加数=和-另一个加数

       被减数－减数＝差               被减数＝减数＋差

                                                        减数＝被减数－差        

因数×因数=积                          一个因数=积÷另一个因数

被除数÷除数＝商                     被除数＝除数×商

                                                    除数＝被除数÷商

有余数的除法：

被除数＝商×除数+余数

除数=（被除数-余数）÷商

四、四则运算的顺序

四则运算分为两级。

加、减法叫做第一级运算，乘、除法叫做第二级运算。

运算顺序：

在一个没有括号的算式里，如果只有同一级运算，按照从左往右的顺序计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。

在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外面的。

五、运算定律

定 律

内 容

字母表示

交换律

加法

两数相加交换加数的位置，和不变。

a+b=b+a

乘法

两数相乘，交换因数的位置，积不变。

ab=ba

结合律

加法

三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或先把后两个数相加，再同第一个数相加，和不变。

（a+b）+c=a+（b+c）

乘法

三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数；或先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。

（ab）c=a（bc）

乘法分配律

两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，所得的结果不变。

（a+b）c=ac+bc

六、运算性质

名称

内容

字母表示及推广

减法性质

一个数减去两个数的和，等于这个数依次减去和里的每一个加数。

a-（b+c）=a-b-c

a-b-c =a-（b+c）

一个数减去两个数的差，等于先从这个书中减去差里的被减数，然后再加上减数。

a-（b-c）=a-b+c

a-b+c=a-（b-c）

a+b-c=a+（b-c）

除法性质

一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积里的两个因数。

a÷（b×c）=a÷b÷c

a÷（b÷c）=a÷×c

（a±b）÷c=a÷c±b÷c

七、和、差、积、商的变化规律

和、差、积、商的变化规律

字母表示

和

加法中，加数增加（或减少）一个数，和也随着增加（或减少）同一个数。

当一个加数增加一个数，另一个数减少同一个数时，和不变。

a+b=c

（a±m）+b=c±m

（a+m）+（b-n）=c+m-n

（a+m）+（b-m）=c

差

减法中，被减数加上（或减去）一个数，减数不变，差也随着增加（或减少）同一个数。

被减数不变，减数加上（或减去）一个数，差反而减少（或增加）同一个数。

当一个被减数和减数都加上（或减去）同一个数，它们的差不变。

a-b=c

（a±m）-b=c±m

a-（b+m）=c-m

a-（b-m）=c+m

（a±m）+（b±m）=c

积

乘法中，因数乘上（或除以）一个数（不为0），积也随着乘上（或除以）这个数。

当一个因数乘上（或除以）一个数（不为0），另一个因数除以（或乘上）这个数时，他们的积不变。

a×b=c

（a×m）+（b÷n）=c×m÷n

（a×m）+（b÷m）=c

商

除法中，被除数乘上（或除以）一个数（不为0），除数不变，商也随着乘上（或除以）这个数。

被除数不变，除数乘上（或除以）一个数（不为0），商则除以（或乘以）这个数。

被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外）商不变。

a÷b=c

（a×m）÷b=c×m

（a÷m）÷b=c÷m

a÷（b×m）=c÷m

a÷（b÷m）=c×m

（a×m）÷（b×m）=c

（a÷m）÷（b÷m）=c

八、常用的简算的方法

1、分组法：

根据运算定律，运算形式，以及和、差、积、商的一些性质，对算式中的运算进行重新整合，使之便于计算。

例如：

⑴