数学兴趣小组活动记录.docx
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数学兴趣小组活动记录
梁村中学数学兴趣小组活动记
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。
活动过程
（教案）
第一讲有理数
一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：
三、例题示范
1、数轴与大小
例1、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？
满足条件的点B有多少个？
例2、将
这四个数按由小到大的顺序，用“?
”连结起来。
提示1：
四个数都加上1不改变大小顺序；
提示2：
先考虑其相反数的大小顺序；
提示3：
考虑其倒数的大小顺序。
例3、观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。
试确定三个数
的大小关系。
分析：
由点B在A右边，知b-a?
0，而A、B都在原点左边，故ab?
0,又c?
1?
0,故要比较
的大小关系，只要比较分母的大小关系。
例4、在有理数a与b（b?
a）之间找出无数个有理数。
提示：
P=
（n为大于是的自然数）
注：
P的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号
在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
提示：
造零：
n-（n+1）-（n+2）+（n+3）=0
注：
造零的基本技巧：
两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧
例6、计算?
1?
2?
3?
…?
2000?
2001?
2002
提示：
1、逆序相加法。
2、求和公式：
S=（首项+末项）?
项数?
2。
例7、计算1+2?
3?
4+5+6?
7?
8+9+…?
2000+2001+2002
提示：
仿例5，造零。
结论：
2003。
例8、计算
提示1：
凑整法，并运用技巧：
199…9=10n+99…9，99…9=10n?
1。
例9、计算
提示：
字母代数，整体化：
令
，则
例10、计算
（1）
；
（2）
提示：
裂项相消。
常用裂项关系式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
。
例11计算
（n为自然数）
例12、计算1+2+22+23+…+22000
提示：
1、裂项相消：
2n=2n+1?
2n；2、错项相减：
令S=1+2+22+23+…+22000，则S=2S?
S=22001?
1。
例13、比较
与2的大小。
提示：
错项相减：
计算
。
活动小结
通过夯实知识的内在联系，培养了学生思维的缜密性，初步发展了学生独立思考问题的能力
梁村中学数学兴趣小组活动记录
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学小组活动室
活动目的
1、理解绝对值的代数意义。
2、理解绝对值的几何意义。
3．掌握绝对值的性质。
活动过程
（教案）
第二讲绝对值
一、知识要点
3、绝对值的代数意义；
4、绝对值的几何意义：
（1）|a|、
（2）|a-b|；
5、绝对值的性质：
（1）|-a|=|a|,|a|?
0,|a|?
a；
（2）|a|2=|a2|=a2；
（3）|ab|=|a||b|；（4）
（b?
0）；
4、绝对值方程：
（1）最简单的绝对值方程|x|=a的解：
（2）解题方法：
换元法，分类讨论法。
二、绝对值问题解题关键：
（1）去掉绝对值符号；
（2）运用性质；（3）分类讨论。
三、例题示范
例1已知a?
0，化简|2a-|a||。
提示：
多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。
例2已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则a+b=，满足条件的a有几个？
例3已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：
|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。
例4已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc?
0，求
的值。
注：
对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。
例5已知：
例6已知
，化简：
m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。
例7已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。
提示：
1、根轴法；2、几何法。
例8是否存在数x,使|x+3|-|x-2|?
7。
提示：
1、根轴法；2、几何法。
例9m为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。
提示：
结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。
结论：
最小值为8。
例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，
且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于___6_______.
例11（1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？
解由已知条件可得：
T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.
∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.
例12?
?
若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.
证?
设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.
∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.
∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.∴|b|-1=
＞0，∴|b|＞1.
同理可证|a|＞1.∴a、b都不在-1与1之间.
活动小结
?
?
?
?
?
?
?
?
通过解答习题，培养了学生的探索精神与举一反三的能力。
梁村中学数学兴趣小组活动记录表
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
理解掌握解方程（组）的基本思想：
消元（加减消元法、代入消元法）。
活动过程
（教案）
第三讲一次方程（组）
一、基础知识
1、方程的定义：
含有未知数的等式。
2、一元一次方程：
含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。
3、方程的解（根）：
使方程左右两边的值相等的未知数的值。
4、字母系数的一元一次方程：
ax=b。
其解的情况：
5、一次方程组：
由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。
常见的是二元一次方程组，三元一次方程组。
6、方程式组的解：
适合方程组中每一个方程的未知数的值。
7、解方程组的基本思想：
消元（加减消元法、代入消元法）。
二、例题示范
例1、解方程
例2、关于x的方程
中，a,b为定值，无论k为何值时，方程的解总是1，求a、b的值。
提示：
用赋值法，对k赋以某一值后求之。
例3、（第36届美国中学数学竞赛题）设a，a＇b，b＇是实数，且a和a＇不为零，如果方程ax+b=0的解小于a/x+b＇=0的解，求a，a＇b，b＇应满足的条件。
例4解关于x的方程
.
提示：
整理成字母系数方程的一般形式，再就a进行讨论
例5k为何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？
并求出正整数解。
提示：
整理成字母系数方程的一般形式，再就k进行讨论。
例6（1982年天津初中数学竞赛题）已知关于x，y的二元一次方程（a-1）x+（a+2）y+5－2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？
分析?
?
依题意，即要证明存在一组与a无关的x，y的值，使等式（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0恒成立，令a取两个特殊值（如a=1或a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证，
本例的另一典型解法
例7（1989年上海初一试题），方程
并且abc≠0，那么x____
提示：
1、去分母求解；2、将3改写为
。
例8（第4届美国数学邀请赛试题）若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组：
确定3x4+2x5的值.
说明：
整体代换方法是一种重要的解题策略.
例9解方程组
提示：
仿例8，注意就m讨论。
提示：
引进新未知数
活动小结
理解和掌握了解方程（组）的一般方法
梁村中学数学兴趣小组活动记录表
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
1.学会将生活语言代数化；
2.掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；
3.学会寻找数量间的等量关系。
活动过程
（教案）
第四讲列方程（组）解应用题
一、知识要点
1、列方程解应用题的一般步骤：
审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等.
2、列方程解应用题要领：
4.善于将生活语言代数化；
5.掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；
6.善于寻找数量间的等量关系。
二、例题示范
1、合理设立未知元
例1一群男女学生若干人，如果女生走了15人，则余下的男女生比例为2:
1，在此之后，男生又走了45人，于是男女生的比例为1:
5,求原来男生有多少人？
提示：
（1）直接设元
（2）列方程组：
例2?
在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？
例3甲、乙、丙、丁四个孩子共有45本书，如果甲减2本，乙加2本，丙增加一倍，丁减少一半，则四个孩子的书就一样多，问每个孩子原来各有多少本书？
提示：
（1）设四个孩子的书一样多时每人有x本书，列方程；
（2）设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t本书，列方程组：
例4（1986年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒？
提示：
用列表法分析数量关系。
例5如果某一年的5月份中，有五个星期五，它们的日期之和为80，求这一年的5月4日是星期几？
提示：
间接设元.设第一个星期五的日期为x，
例6甲、乙两人分别从A、B两地相向匀速前进，第一次相遇在距A点700米处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400米处，求A、B两地间的距离是多少米？
提示：
直接设元。
例7某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率。
提示：
商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为：
商品利润率=[（商品售价—商品进价）?
商品进价]?
100%。
例8?
（1983年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用
小时，求A、B两地相距多少千米？
提示：
1?
（选间接元）设坡路长x千米
2选直接元辅以间接元）设坡路长为x千米，A、B两地相距y千米
3（选间接元）设下坡需x小时，上坡需y小时，
2、设立辅助未知数
例9（1972年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x%增加到（x+10）%，x等于多少？
提示：
引入辅助元进货价M，则0.92M是打折扣的价格，x是利润，以百分比表示，那么写出售货价（固定不变）的等式。
例10（1985年江苏东台初中数学竞赛题）从两个重为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？
提示：
?
采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为x千克，并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1，n千克的铜合金中含铜百分数为q2。
例11 有一片牧场，草每天都在匀速生长（草每天增长量相等）．如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量是相等的，问如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草.
提示 设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，16头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a.布列含参方程组。
活动小结
初步掌握了运用方程（组）解决实际问题的方法
梁村中学数学兴趣小组活动记录表
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
1.理解乘方运算的意义。
2.掌握乘方运算性质。
活动过程
（教案）
第五讲整数指数
一、知识要点
1、定义：
（n?
2,n为自然数）
2、整数指数幂的运算法则：
（1）
（2）
（3）
，
，
3、规定：
a0=1（a?
0）a?
p=
（a?
0,p是自然数）。
4、当a，m为正整数时，am的末位数字的规律：
记m=4p+q，q=1,2,3之一，则
的末位数字与
的末位数字相同。
二、例题示范
例1、计算
（1）55?
23
（2）（3a2b3c）（?
5a3bc2）
（3）（3a2b3c）3（4）（15a2b3c）?
（?
5a3bc2）
例2、求
的末位数字。
提示：
先考虑各因子的末位数字，再考虑积的末位数字。
例3、
是目前世界上找到的最大的素数，试求其末位数字。
提示：
运用规律2。
例4、求证：
。
提示：
考虑能被5整除的数的特征，并结合规律2。
例5、已知n是正整数，且x2n=2，求（3x3n）2?
4（x2）2n的值。
提示：
将所求表达式用x2n表示出来。
例6、求方程（y+x）1949+（z+x）1999+（x+y）2002=2的整数解。
提示：
|y+z|,|z+x|,|x+y|都不超过1，分情况讨论。
例7、若n为自然数，求证：
10|（n1985?
n1949）。
提示：
n的末位数字对乘方的次数呈现以4为周期的循环。
例8、若
，求x和y。
结论：
x=5,y=2。
例9、对任意自然数n和k，试证：
n4+24k+2是合数。
提示：
n4+24k+2=（n2+22k+1）2?
（2n?
2k）2。
例10、对任意有理数x，等式ax?
4x+b+5=0成立，求（a+b）2003.
活动小结
初步掌握了乘法运算的性质。
梁村中学数学兴趣小组活动记录表
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
理解掌握整式运算的性质
活动过程
（教案）
第六讲整式的运算
一、知识要点
1、整式的概念：
单项式，多项式，一元多项式；
2、整式的加减：
合并同类项；
3、整式的乘除：
（1）记号f（x），f（a）；
（2）多项式长除法；
（3）余数定理：
多项式f（x）除以（x-a）所得的余数r等于f（a）；
（4）因数定理：
（x-a）|f（x）?
f（a）=0。
二、例题示范
1、整式的加减
例1、已知单项式0.25xbyc与单项式?
0.125xm-1y2n-1的和为0.625axnym，求abc的值。
提示：
只有同类项才能合并为一个单项式。
例2、已知A=3x2n?
8xn+axn+1?
bxn-1，B=2xn+1?
axn?
3x2n+2bxn-1，A?
B中xn+1项的系数为3，xn-1项的系数为?
12，求3A?
2B。
例3、已知a?
b=5，ab=?
1，求（2a+3b?
2ab）?
（a+4b+ab）?
（3ab+2b?
2a）的值。
提示：
先化简，再求值。
例4、化简：
x?
2x+3x?
4x+5x?
…+2001x?
2002x。
例5、已知x=2002，化简|4x2?
5x+9|?
4|x2+2x+2|+3x+7。
提示：
先去掉绝对值，再化简求值。
例6、5个数?
1,?
2,?
3,1,2中，设其各个数之和为n1，任选两数之积的和为n2，任选三个数之积的和为n3，任选四个数之积的和为n4，5个数之积为n5，求n1+n2+n3+n4+n5的值。
例7、王老板承包了一个养鱼场，第一年产鱼m千克，预计第二年产鱼量增长率为200%，以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。
（1）写出第五年的预计产鱼量；
（2）由于环境污染，实际每年要损失产鱼量的10%，第五年的实际产鱼量为多少？
比预计产鱼量少多少？
2、整式的乘除
例1、已知f（x）=2x+3，求f
（2）,f（-1）,f（a）,f（x2）,f（f（x））。
例2、计算：
（2x+1）?
（3x?
2）?
（6x?
4）?
（4x+2）
长除法与综合除法：
一个一元多项式f（x）除以另一个多项式g（x），存在下列关系：
f（x）=g（x）q（x）+r（x）其中余式r（x）的次数小于除式g（x）的次数。
当r（x）=0时，称f（x）能被g（x）整除。
例3、
（1）用竖式计算（x3?
3x+4x+5）?
（x?
2）。
（2）用综合除法计算上例。
（3）记f（x）=x3?
3x+4x+5,计算f
（2），并考察f
（2）与上面所计算得出的余数之间的关系。
例4、证明余数定理和因数定理。
证：
设多项式f（x）除以所得的商式为q（x），余数为r，则有
f（x）=（x?
b）q（x）+r，将x=b代入等式的两边，得
f（b）=（b?
b）q（b）+r，故r=f（b）。
特别地，当r=0时，f（x）=（x?
b）q（x），即f（x）有因式（x?
b），或称f（x）能被（x?
b）整除。
例5、证明多项式f（x）=x4?
5x3?
7x2+15x?
4能被x?
1整除。
例6、多项式2x4?
3x3+ax2+7x+b能被x2+x?
2整除，求a,b的值。
提示：
（1）用长除法，
（2）用综合除法，（3）用因数定理。
例7、若3x3?
x=1，求f（x）=9x4+12x3?
3x2?
7x+2001的值。
提示：
用长除法，从f（x）中化出3x3?
x?
1。
例8、多项式f（x）除以（x?
1）和（x?
2）所得的余数分别为3和5，求f（x）除以（x?
1）（x?
2）所得的余式。
提示：
设f（x）=[（x?
1）（x?
2）]q（x）+（ax+b），由f
（1）和f
（2）的值推出。
例9、试确定a,b的值，使f（x）=2x4?
3x3+ax2+5x+b能被（x+1）（x?
2）整除。
活动小结
初步掌握了整式运算的性质
梁村中学学兴趣小组活动记录表
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
1.理解乘法公式的几何意义和代数意义。
2.掌握乘法公式的运用。
活动过程
（教案）
第七讲乘法公式
一、知识要点
1、乘法公式
平方差公式：
（a+b）（a?
b）=a2?
b2
完全平方公式：
（a?
b）2=a2?
2ab+b2
立方和公式：
（a+b）（a2?
ab+b2）=a3+b3
立方差公式：
（a?
b）（a2+ab+b2）=a3?
b3
2、乘法公式的推广
（1）（a+b）（a?
b）=a2?
b2的推广
由（a+b）（a?
b）=a2?
b2,（a?
b）（a2+ab+b2）=a3?
b3，猜想：
（a?
b）（）=a4?
b4
（a?
b）（）=a5?
b5
（a?
b）（）=an?
bn
特别地，当a=1,b=q时，（1?
q）（）=1?
qn
从而导出等比数列的求和公式。
（2）多项式的平方
由（a?
b）2=a2?
2ab+b2，推出
（a+b+c）2=（）,（a+b+c+d）2=（）
猜想：
（a1+a2+…+an）=（）。
当其中出现负号时如何处理？
（3）二项式（a+b）n的展开式
一个二项式的n次方展开有n+1项；
字母a按降幂排列，字母b按升幂排列，每项的次数都是n；
各项系数的变化规律由杨辉三角形给出。
二、乘法公式的应用
例1、运用公式计算
（1）（3a+4b）（3a?
4b）
（2）（3a+4b）2
例2、运用公式，将下列各式写成因式的积的形式。
（1）（2x?
y）2?
（2x+y）2
（2）0.01a2?
49b2（3）25（a?
2b）?
64（b+2a）
例3、填空
（1）x2+y2?
2xy=（）2
（2）x4?
2x2y2+y4=（）2
（3）49m2+14m+1=（）2（4）64a2?
16a（x+y）+（x+y）2
（5）若m2n2+A+4=（mn+2）2,则A=;
（6）已知ax2?
6x+1=（ax+b）2，则a=,b=;
（7）已知x2+2（m?
3）x+16是完全平方式，则m=.
例4、计算
（1）200002?
19999?
20001
（2）372+26?
37+132（3）31.52?
3?
31.5+1.52?
100。
提示：
（1）19999=20000?
1
例5、计算
（1）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）（1+216）（1+232）+1。
（2）（1+3）（1+32）（1+34）（1+38）…（1+32n）。
例6、已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2。
提示：
（1）由x3+y3=（x+y）3?
3xy（x+y），x2+y2=（x+y）2?
2xy导出；
（2）将x+y=10，平方，立方可解。
例7、已知
，求
，
，
的值。
例8、已知a+b=1,a2+b2=2，求a3+b3，a4+b4，a7+b7的值。
提示：
由（a3+b3）（a4+b4）=a7+b7+a3b4+a4b3=a7+b7+a3b3（a+b）导出a7+b7的值。
例9、已知a+b+c=0,a2+b2+c2=1求下列各式的值：
（1）bc+ca+ab
（2）a4+b4+c4
例10、已知a,b,c,d为正有理数，且满足a4+b4+c4+d4=4abcd，求证a=b=c=d。
提示：
用配方法。
例11、已知x,y,z是有理数，且满足x=6?
3y,x+3y?
2z2=0,求x2y+z的值。
例12、计算19492?
19502+19512?
19522+…+20012?
20022。
活动小结
初步掌握了乘法公式的运用。
梁村中学数学兴趣小组活动记录表
活动名称
数学兴趣小组
活动日期
月日星期
负责人
参加学生
活动地点
数学活动室
活动目的
1.理解不等式运算的性质。
2.掌握不等式运算的性质。
活动过程
（教案）
第八讲不等式
一、知识要点
1、不等式的主要性质：
（1）不等式的两边加上（或减去）同一个数或整式，所得不等式与原不等式同向；
（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，所得不等式与原不等式同向；
（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，所得不等式与原不等式反向.
（4）若A＞B，B＞C，则A＞C；
（5）若A＞B，C＞D，则A+B＞C+D；
（6）若A＞B，C＜D，则A?
C＞B?
D。
2、比较两个数的大小的常用方法：
（1）比差法：
若A?
B＞0，则A＞B；
（2）比商法：
若
＞1，当A、B同正时，A＞B；A、B同负时，A＜B；
（3）
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