（3）A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}．
（4）M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[解]
（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
（2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.
（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
（4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.
判断集合间关系的2种方法
（1）用定义判断．
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；
若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.
（2）数形结合判断．
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
[活学活用]
1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是（ ）
解析：
选B 解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
（1）A________B；
（2）A________C；
（3）{2}________C；（4）2________C.
解析：
集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故
（1）A＝B；
（2）AC；（3）{2}C；（4）2∈C.
有限集合子集的确定
答案：
（1）＝
（2） （3） （4）∈
[例2]
（1）集合M＝{1,2,3}的真子集个数是（ ）
A．6 B．7
C．8D．9
（2）满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．
[解析]
（1）集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}，{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.
（2）由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：
{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；
含有四个元素：
{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；
含有五个元素：
{1,2,3,4,5}．
故满足题意的集合M共有7个．
[答案]
（1）B
（2）7
1．求集合子集、真子集个数的3个步骤
2．与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为2n个；
②A的真子集的个数为2n－1个；
③A的非空真子集的个数为2n－2个．
[活学活用]
3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选B 根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
4．设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的B的个数是（ ）
A．5B．4
C．3D．2
解析：
选B 满足条件的集合B可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，所以满足A⊆B的B的个数是4.故选B.
由集合间的关系求参数值（或范围）
[例3] 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．
[解] ∵A⊆B，
∴解得
故3≤m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
[一题多变]
1．[变条件]本例中若将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，求m的取值范围．
解：
（1）当B＝∅时，m－6>2m－1，即m<－5.
当B≠∅时，
即m∈∅.
故实数m的取值范围是{m|m<－5}．
2．[变条件]本例若将集合A，B分别改为A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}，其他条件不变，求实数m的值．
解：
因为A⊆B，所以m2＝2m－1，即（m－1）2＝0，所以m＝1，当m＝1时，B＝{－1,3,1}，A＝{3,1}满足A⊆B.
由集合间的关系求参数的2种方法
（1）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；
（2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
层级一 学业水平达标
1．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于（ ）
A．2 B．－1
C．2或－1D．4
解析：
选C ∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.
2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是（ ）
A．0⊆AB．{0}∈A
C．∅∈AD．{0}⊆A
解析：
选D 集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，∅⊆A，D正确．
3．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（ ）
A．A⊆BB．C⊆B
C．D⊆CD．A⊆D
解析：
选B 由已知x是正方形，则x必是矩形，所以C⊆B，故选B.
4．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是（ ）
A．1B．－1
C．1或－1D．0,1或－1
解析：
选D 由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1.
5．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为（ ）
A．6B．5
C．4D．3
解析：
选A 集合{0,1,2}的子集为：
∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.
6．集合{（1,2），（－3,4）}的所有非空真子集是____________________．
解析：
{（1,2），（－3,4）}的所有真子集有∅，{（1,2）}，{（－3,4）}，其非空真子集是{（1,2）}，{（－3,4）}．
答案：
{（1,2）}，{（－3,4）}
7．设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
解析：
因为B＝＝{（x，y）|y＝x，且x≠0}，故BA.
答案：
B
A
8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x解析：
将数集A在数轴上表示出来，如图所示，
要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.
答案：
m≥3
9．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
（1）若AB，求a的取值范围；
（2）若B⊆A，求a的取值范围．
解：
（1）若AB，由图可知，a>2.
（2）若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.
10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B
A，求a的值．
解：
∵B
A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
（1）当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.
经检验，满足题意．
（2）当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．
综上所述，a＝－1或a＝2为所求．
层级二 应试能力达标
1．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于（ ）
A．0 B．1
C．2D．－1
解析：
选C 由A＝B，得x＝0或y＝0.
当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1B．2
C．3D．4
解析：
选D 因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故集合C有4个．
3．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是（ ）
A．A⊆BB．A＝B
C．ABD．AB
解析：
选D 对于x＝3k（k∈Z），当k＝2m（m∈Z）时，x＝6m（m∈Z）；当k＝2m－1（m∈Z）时，x＝6m－3（m∈Z）．由此可知AB.
4．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是（ ）
A．1B．－1
C．0,1D．－1,0,1
解析：
选D 因为集合A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0（a∈R）仅有一个根．
当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，
即a2＝1，故a＝±1.
此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．
综上所述，a＝0，或a＝±1.
5．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1,1－2a}，且B⊆A，则a的值为________．
解析：
由题意，得1－2a＝3或1－2a＝a，解得a＝－1或a＝.当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，符合题意；当a＝时，A＝，B＝，符合题意．所以a的值为－1或.
答案：
－1或
6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．
解析：
∵y＝（x－1）2－2≥－2，
∴M＝{y|y≥－2}，∴NM.
答案：
N
M
7．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
解：
∵B⊆A，
∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种．
①当B≠∅时，
∵B⊆A，∴或成立，
解得a>3；
②当B＝∅时，由a>2a－1，得a<1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．
8．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（2）若A⊇B，求m的取值范围．
解：
化简集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．
（1）∵x∈Z，
∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为28－2＝254（个）．
（2）①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅⊆A；
②当m>－2时，
B＝{x|m－1因此，要B⊆A，
则只要⇒－1≤m≤2.
综上所述，知m的取值范围是
{m|－1≤m≤2或m≤－2}．
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