221 提公因式法一.docx

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221提公因式法一

2.2.1提公因式法

（一）

第二课时●课 题§2.2.1 提公因式法

（一）●教学目标

（一）教学知识点让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.

（二）能力训练要求通过找公因式，培养学生的观察能力.（三）情感与价值观要求在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.●教学重点能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.●教学难点让学生识别多项式的公因式.●教学方法独立思考——合作交流法.●教具准备投影片两张第一张（记作§2.2.1A）第二张（记作§2.2.1B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课投影片（§2.2.1A）一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积.解法一：

S=×+×+×=++=2解法二：

S=×+×+×=（++）=×4=2［师］从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：

先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.Ⅱ.新课讲解1.公因式与提公因式法分解因式的概念.［师］若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？

各项之间有什么联系？

等式右边的项有什么特点？

［生］等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解［例1］将下列各式分解因式：

（1）3x+6;

（2）7x2－21x;（3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－24x3－12x2+28x.分析：

首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.［师］请大家互相交流.［生］解：

（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;

（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;（3）8a3b2－12ab3c+abc=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c=ab（8a2b－12b2c+c）（4）－24x3－12x2+28x=－4x（6x2+3x－7）3.议一议［师］通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.［生］首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.4.想一想［师］大家总结得非常棒.从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？

［生］提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.Ⅲ.课堂练习

（一）随堂练习1.写出下列多项式各项的公因式.

（1）ma+mb （m）

（2）4kx－8ky （4k）（3）5y3+20y2 （5y2）（4）a2b－2ab2+ab （ab）2.把下列各式分解因式

（1）8x－72=8（x－9）

（2）a2b－5ab=ab（a－5）（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）

（二）补充练习投影片（§2.2.1B）把3x2－6xy+x分解因式［生］解：

3x2－6xy+x=x（3x－6y）［师］大家同意他的做法吗？

［生］不同意.改正：

3x2－6xy+x=x（3x－6y+1）［师］后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？

将x写成x·1,这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1.Ⅳ.课时小结1.提公因式法分解因式的一般形式，如：

ma+mb+mc=m（a+b+c）.这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5.公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.Ⅴ.课后作业习题2.21.解：

（1）2x2－4x=2x（x－2）;

（2）8m2n+2mn=2mn（4m+1）;（3）a2x2y－axy2=axy（ax－y）;（4）3x3－3x2－9x=3x（x2－x－3）;（5）－24x2y－12xy2+28y3=－（24x2y+12xy2－28y3）=－4y（6x2+3xy－7y2）;（6）－4a3b3+6a2b－2ab=－（4a3b3－6a2b+2ab）=－2ab（2a2b2－3a+1）;（7）－2x2－12xy2+8xy3=－（2x2+12xy2－8xy3）=－2x（x+6y2－4y3）;（8）－3ma3+6ma2－12ma=－（3ma3－6ma2+12ma）=－3ma（a2－2a+4）;2.利用因式分解进行计算

（1）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21=12.1×1.3+12.1×0.9－1.2×12.1=12.1×（1.3+0.9－1.2）=12.1×1=12.1

（2）2.34×13.2+0.66×13.2－26.4=13.2×（2.34+0.66－2）=13.2×1=13.2（3）当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时πR12+πR22+πR32=π（R12+R22+R32）=3.14×（202+162+122）=2512Ⅳ.活动与探究利用分解因式计算：

（1）32004－32003;

（2）（－2）101+（－2）100.解：

（1）32004－32003=32003×（3－1）=32003×2=2×32003

（2）（－2）101+（－2）100=（－2）100×（－2+1）=（－2）100×（－1）=－（－2）100=－2100●板书设计§2.2.1 提公因式法

（一）一、1.公因式与提公因式法分解因式的概念2.例题讲解（例1）3.议一议（找公因式的一般步骤）4.想一想二、课堂练习1.随堂练习2.补充练习三、课时小结四、课后作业●备课资料参考练习一、把下列各式分解因式：

1.2a－4b;2.ax2+ax－4a;3.3ab2－3a2b;4.2x3+2x2－6x;5.7x2+7x+14;6.－12a2b+24ab2;7.xy－x2y2－x3y3;8.27x3+9x2y.参考答案：

1.2（a－2b）;2.a（x2+x－4）;3.3ab（b－a）;4.2x（x2+x－3）;5.7（x2+x+2）;6.－12ab（a－2b）;7.xy（1－xy－x2y2）;8.9x2（3x+y）. 

教学建议

　　1．知识结构：

　　本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.

　　2．重点和难点分析：

　　教学重点和难点：

直角三角形的解法.

　　本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键.

　　3.深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

　　锐角三角函数的定义：

　　实际上分别给了三个量的关系：

a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.

　　当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

　　如：

已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.

　　画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式

，

　　由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

.

　　即得BC的长为.

　　又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.

　　画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是

　　也就是

　　这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

.

　　由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.

　　4.直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

　　5.注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

　　由上述（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例.

　　例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）

　　这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高（想一想：

作其它边上的高为什么不好.），问题就转化为两个解直角三角形的问题.

　　在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：

　　解：

作于D，在Rt中，有

　　；

　　又，在Rt中，有

　　∴

　　又，

　　∴ 

　　于是，有

　　由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.

（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.

　　（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.

　　（4）如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.

　　6.要善于把某些实际问题转化为解直角三角形问题.

　　很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为解直角三角形问题.

　　我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的（如图）.螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分？

　　据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

，

　　另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

，

　　设螺纹初始角为，则在Rt中，有

　　∴.

　　即，螺纹的初始角约为.

　　这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个解直角三角形问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.

　一、教学目标

　　1．使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；

　　2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；

　　3．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯.

　　二、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．重点：

直角三角形的解法。

　　2．难点：

三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

　　3．疑点：

学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。

　　4．解决办法：

设置疑问，引导学生主动发现方法与途径，解决重难点，以相似三角形知识为背景解决疑点。

　　三、教学步骤

（一）明确目标

　　1．在三角形中国共产党有几个元素？

　　2．如图直角三角形ABC中，这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系

（2）三边之间关系

　　（勾股定理）

　　（3）锐角之间关系 。

　　以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。

（二）整体感知

　　教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐用三角函数知识，对其加以复习巩固。

同时，本课又为以后的应用举例打下基础。

因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的。

综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。

　　（三）教学过程（）

　　1．我们已掌握Rt的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素。

这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢，激发了学生的学习热情。

　　2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？

”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？

（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形）。

　　3．例题

　　【例1】 在中，为直角，所对的边分别为，且，解这个三角形。

　　解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。

因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想。

其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

　　解：

（1），

（2），

　　∴

　　（3）

　　∴

　　完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？

”

　　答：

先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边。

计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。

　　【例2】 在Rt中，，解这个三角形。

　　在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

　　解：

（1），

　　查表得；

（2）

　　（3），

　　∴。

　　注意：

例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘（或除）以另一含四位有效数字的数要方便一些。

但先后要查两次表，并作一次加法（或减法）或者使用计算器求平方、平方根及三角正数值等。

　　4．巩固练习

　　解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握。

为此，教材配备了练习P．23中1、2练习1针对各种条件，使学生熟练解直角三角形；练习2代入数据，培养学生运算能力。

　　[参考答案]

　　1．

（1）；

（2）由求出或；

　　（3），

　　或；

　　（4）或。

　　2．

（1）；

（2）。

　　说明：

解直角三角形计算上比较繁琐，条件好的学校允许用计算器。

但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程。

要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯。

　　（四）总结扩展

　　1．请学生小结：

在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出另三个元素。

　　2．幻灯片出示图表，请学生完成

　　四、布置作业

　　教材P．32习题6．4A组3。

　　[参考答案]

　　3．；

　　五、板书设计

初中数学活动课教案一

                    函数图象的性质

活动目标：

1、利用几何画板的形象性，通过量的变化，验证并进一步研究

函数图象的性质。

2、利用几何画板的动态性，从变化的几何图形中，寻找不变的几

何规律。

3、学会作简单函数的图象，并对图象作初步了解。

4、通过本节课的教学，把几何画板作为学生认知的工具，从而激

发学生学习和探索数学的兴趣。

活动重点：

图形的性质和规律的探索 

活动难点：

几何画板的操作（作函数的图象）

活动设施：

微机室（有液晶投影仪和大屏幕或大彩电）；软件：

windows操作平台、几何画板、office2000等、教师准备好的五个画板文件：

hstx1.gsp、hstx2.gsp、hstx3.gsp、ymdl1.gsp、ymdl2.gsp。

活动过程：

一、展示活动主题和目标：

二、活动过程：

   操作练习一：

按下列步骤进行操作，并回答相应的问题。

1、打开c:

\sketch\hstx1.gsp画板文件；

2、拖动点E和点F沿坐标轴运动（或双击按钮“动画1”），同时观看解析式中的k和b的变化。

①当k>0时，图象经过哪几个象限？

②当k0和k 

初中数学活动课教案一

                    函数图象的性质

活动目标：

1、利用几何画板的形象性，通过量的变化，验证并进一步研究

函数图象的性质。

2、利用几何画板的动态性，从变化的几何图形中，寻找不变的几

何规律。

3、学会作简单函数的图象，并对图象作初步了解。

4、通过本节课的教学，把几何画板作为学生认知的工具，从而激

发学生学习和探索数学的兴趣。

活动重点：

图形的性质和规律的探索 

活动难点：

几何画板的操作（作函数的图象）

活动设施：

微机室（有液晶投影仪和大屏幕或大彩电）；软件：

windows操作平台、几何画板、office2000等、教师准备好的五个画板文件：

hstx1.gsp、hstx2.gsp、hstx3.gsp、ymdl1.gsp、ymdl2.gsp。

活动过程：

一、展示活动主题和目标：

二、活动过程：

   操作练习一：

按下列步骤进行操作，并回答相应的问题。

1、打开c:

\sketch\hstx1.gsp画板文件；

2、拖动点E和点F沿坐标轴运动（或双击按钮“动画1”），同时观看解析式中的k和b的变化。

①当k>0时，图象经过哪几个象限？

②当k0和k 

　　圆内接四边形

　　执教者：

刁正久

　　一、教学目标：

　　掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理。

　　二、教学重点和难点：

　　重点：

圆内接四边形的性质定理。

　　难点：

圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用。

　　三、教学过程：

　　1、带领学生复习圆内接三角形和三角形的外接圆的概念。

　　2、利用几何画板：

　　①②

（1）探索：

如图，点D在⊙O上（和A、C不重合）移动，试讨论∠D和∠B的大小关系？

　　（学生对第一种情况比较熟悉，但对于第二种情况做适当的提示：

利用几何画板把D点在圆上移动！

）

　　通过学生的思维，可归纳出∠D和∠B的大小关系是互补。

　　利用此时的几何图形，由学生模仿圆内接三角形的定义得到圆内接四边形的概念并用电脑加以显示。

立即让学生利用给出的圆内接四边形的定义把刚才的结论重新归纳，从而得到定理：

　　圆内接四边形的对角互补。

（书写符号语言）

（2）对定理进行巩固

　　①如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

　　已知∠BOD=140°，则∠BAD=       °∠BCD=     °

　　②如图，已知AB是圆O的直径，∠BAC=40°，D是弧AB上的任意一点，那么∠D的度数是°

　　（3）外角的引入

　　紧接着前面的练习，和学生共同研究探索题：

　　（对于上面的探究性应用题，针对不同层次的学生都可以得到一定的发挥）

　　当学生最后得到∠E的度数后，立即提问：

　　从∠A=70°到求出∠E=110°，在整个过程中，哪个角起了关键的作用？

从而把学生的注意力转向外角∠DCF（目的是让学生明白学习定理的原因）并且引导学生讨论∠DCF和∠A的大小关系？

从而得到∠DCF=∠A的结论。

利用几何画板的优势，隐藏⊙O2和线段DE、EF得到外角的基本图形

　　再引导学生得出外角和内对角的定义，让学生把刚才的结论归纳成定理即：

圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。

　　（书写符号语言）

　　（4）对定理进行必要的巩固练习

　　如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，图中有两组相等的角，每组有三只角相等，你发现了吗？

　　（5）讲解例题：

　　如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线与⊙O1相交于点C，与⊙O2相交于点D,经过点B的直线与⊙O1相交于点E，与⊙O2相交于点F.试猜想CE和DF有何特殊的位置关系？

并加以证明。

　　（突出作辅助线的必要性，并在黑板上书写过程）

　　3、课堂小结：

　　通过本节课的学习，你学会了那些知识点？

（学生完成）

　　4、课堂练习：

　　①②

（1）如图，已知∠BAE=125°，则∠BCD=   °∠BOD=       °

（2）如图，已知在圆的内接四边形中，AB=AC，E是CD延长线上一点，你能猜想出∠ADE和∠ADB的大小关系吗？

并证明。

　　（3）探索：

　　圆内接平行四边形是什么特殊的四边形？

　　（给学生一定的时间思考，然后充分利用几何画板，让学生自己上前去操作电脑拖动鼠标移动平行四边形，调动学生思维的积极性，并且让学生的思维得到了充分的展示）

　　思考：

　　你能说出下面图中有几对相似三角形吗？

并说出其中一对相似三角形的证明过程。

　　（4）

　　5、布置作业：

P86—15、16、17

　　注：

参加2003年12月区评优课比赛并获一等奖

　　圆内接四边形

　　执教者：

刁正久

　　一、教学目标：

　　掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理。

　　二、教学重点和难点：

　　重点：

圆内接四边形的性质定理。

　　难点：

圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用。

　　三、教学过程：

　　1、带领学生复习圆内接三角形和三角形的外接圆的概念。

　　2、利用几何画板：

　　①②

（1）探索：

如图，点D在⊙O上（和A、C不重合）移动，试讨论∠D和∠B的大小关系？

　　（学生对第一种情况比较熟悉，但对于第二种情况做适当的提示：

利用几何画板把D点在圆上移动！

）

　　通过学生的思维，可归纳出∠D和∠B的大小关系是互补。

　　利用此时的几何图形，由学生模仿圆内接三角形的定义得到圆内接四边形的概念并用电脑加以显示。

立即让学生利用给出的圆内接四边形的定义把刚才的结论重新归纳，从而得到定理：

　　圆内接四边形的对角互补。

（书写符号语言）

（2）对定理进行巩固

　　①如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

　　已知∠BOD=140°，则∠BA