2.5.1向量在平面几何中解题的应用.ppt

2.5.1向量在平面几何中解题的应用.ppt

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向量在平面几何中解题的应用,一、向量有关知识复习,

（1）向量共线的充要条件:

与共线,

（2）向量垂直的充要条件：

（3）两向量相等充要条件：

且方向相同。

二、应用向量知识证明平面几何有关定理,例一、证明直径所对的圆周角是直角,分析：

要证ACB=90，只须证向量，即。

解：

设则，由此可得：

即，ACB=90,思考：

能否用向量坐标形式证明？

二、应用向量知识证明平面几何有关定理,例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知：

平行四边形ABCD。

求证：

解：

设，则,分析：

因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量用它们表示。

三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例一、已知：

如图AD、BE、CF是ABC三条高求证：

AD、BE、CF交于一点,H,只须证,由此可设,如何证？

利用ADBC，BECA，对应向量垂直。

解：

设AD与BE交于H，,即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。

三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例一、已知：

如图AD、BE、CF是ABC三条高求证：

AD、BE、CF交于一点,分析：

如图建立坐标系，,设A（0,a）B（b,0）C（c,0）,只要求出点H、F的坐标，就可求出、的坐标进而确定两向量共线，即三点共线。

再设H（0,m）F（x,y）,由A、B、F共线；CFAB对应向量共线及垂直解得：

可得：

可得：

即而CF、CH有公共点C，所以C、H、F共线，即AD、BE、CF交于一点,三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例二、如图已知ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM。

求证：

P、A、Q三点共线,解：

设,则,由此可得,即故有，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线,四、应用向量知识证明等式、求值,例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求AEM的面积,四、应用向量知识证明等式、求值,例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求AEM的面积,解：

如图建立坐标系，设E（e,0），由正方形面积为64，可得边长为8由题意可得M（8,4），N是AM的中点，故N（4,2）,=（4,2）-（e,0）=（4-e,1）,解得：

e=5即AE=5,四、应用向量知识证明等式、求值,例二、PQ过OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求证：

分析:

由题意OP=mOA,OQ=nOB,联想线段的定比分点，利用向量坐标知识进行求解。

由PO=mOA,QO=nOB可知：

O分的比为，O分的比为,由此可设由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量，得到mn的关系。

-m-n,?

四、应用向量知识证明等式、求值,例二、PQ过OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求证：

证：

如图建立坐标系，设,所以重心G的坐标为,求得,由向量可得：

化简得：

例3如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

猜想：

AR=RT=TC,解：

设则,由于与共线，故设,又因为共线，所以设,因为所以,线，,故AT=RT=TC,你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

简述：

形到向量向量的运算向量和数到形,五、巩固练习：

1：

证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形,3：

已知：

A、B、C三点坐标分别为（2，0）、,（4，2）、（0，4），直线l过A、B两点，求点C到l的距离.,分析一：

如图，,谢谢指导！