清华大学微积分试题库完整.docx
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清华大学微积分试题库完整
.word格式,
（3343）．微分方程yytanxcosx0的通解为y（xC）cosx。
1y
（4455）．过点（,0）且满足关系式yarcsinx1的曲线方程为
21x2
1yarcsinxx。
2
C2（4507）．微分方程xy3y0的通解为yC122。
x2
（4508）．设y1（x）,y2（x）,y3（x）是线性微分方程ya（x）yb（x）yf（x）的三个特解，
且y2（x）y1（x）C，则该微分方程的通解为
y3（x）y1（x）
yC1（y2（x）y1（x））C2（（y3（x）y1（x））y1（x）。
22x
（3081）．设y13x2,y23x2ex是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相
应齐次方程的一个解为y3x，则该微分方程的通解为y3x2C1xC2ex。
（4725）．设出微分方程y2y3yxxexexcos2x的一个特解形式
*xx
y*AxBx（CxD）exex（Ecos2xFsin2x）。
（4476）．微分方程y2y2yex的通解为yex（1C1cosxC2sinx）。
2x12x
（4474）．微分方程y4ye2x的通解为yC1e2xC2xe2x。
4
（4477）．函数yC1cos2xC2sin2x满足的二阶线性常系数齐次微分方程为
y4y0。
2xt2x
（4532）．若连续函数f（x）满足关系式f（x）f
（2）dtln2，则f（x）e2xln2。
（6808）．设曲线积分[f（x）ex]sinydxf（x）cosydy与路径无关，其中f（x）具有一阶
连续导数，且f（0）0，则f（x）等于[]
11
（A）1（exex）。
（B）1（exex）。
22
专业.专注
.word格式,
1xx1xx
（C）（exex）1。
（D）1（exex）。
答B
1xx
注：
根据题意，f（x）cosy[f（x）ex]cosy，解得f（x）exCex。
由
11xx
f（0）0，得C，所以f（x）（exex），即选项（B）正确。
22
6907．若函数ycos2x是微分方程yp（x）y0的一个特解，则该方程满足初始条件
y（0）2的特解为[]
（A）ycos2x2。
（B）
ycos2x1。
（C）y2cosx。
（D）
y2cos2x。
答D
注：
根据解的结构，通解为yCcos2x，由y（0）2得C2。
故选项（D）正确。
其他选项经验证不满足方程或定解条件。
[]
（A）yC1y1C2y2。
（B）yy1Cy2。
yC（y2y1）。
（C）yy1C（y1y2）。
（D）
答D
注：
因为y1（x）,y2（x）是微分方程
yp（x）y0的两个不同特解，所以
y2y1是该
方程的一个非零特解。
根据解的结构，其通解为yC（y2y1），即选项（D）正确。
另：
根
据通解定义，选项（A）中有两个任意常数，故其不对。
当y20时，选项（B）不对。
当y2y1
时，选项（C）不对。
6579．已知函数yy（x）在任意点x处的增量yyx2o（x）,y（0），则y
（1）等
1x2
于[]
（A）2。
（B）。
（C）e4。
（D）e4。
答D
专业.专注
.word格式,
注：
根据微分定义及微分与导数的关系得yy2，解得lnyarctanxC，由1x2
y（0），得Cln，所以y
（1）earctan1e4。
因此选项（D）正确。
6215．设函数yf（x）是微分方程y2y4y0的一个解。
若f（x0）0,f（x0）0，则函数f（x）在点x0[]
（A）取到极大值。
（B）取到极小值。
（C）某个邻域内单调增加。
（D）某个邻域内单调减少。
答A
注：
因为f（x0）0，f（x0）4f（x0）0，所以选项（A）正确。
6316.设y1,y2是二阶常系数线性齐次方程ypyqy0的两个特解，C1,C2是两个任意常数，则下列命题中正确的是[]
（A）C1y1C2y2一定是微分方程的通解。
（B）C1y1C2y2不可能是微分方程的通解。
（C）C1y1C2y2是微分方程的解。
（D）C1y1C2y2不是微分方程的解。
答C
注：
根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误。
当y1,y2线性相关时，选项（A）错误,当y1,y2线性无关时，选项（B）错误。
答B
注：
相应齐次方程的特征根为
1,1，所以yyex的一个特解形式为axex，
专业.专注
.word格式,
yy1的一个特解形式为b。
根据叠加原理，原方程的一个特解形式为axexb，即选
项（B）正确。
其他选项经检验不满足方程。
1890.具有特解y1ex,y22xex,y33ex的三阶线性常系数齐次微分方程是[]
（A）yyyy0。
（B）yyyy0。
（C）y6y11y6y0。
（D）y2yy2y0。
答B
注：
根据题意，1,1是特征方程的两个根，且1是重根，所以特征方程为
（1）
（1）23210。
故所求微分方程为yyyy0，即选项（B）
正确。
7819.设y1ex,y2x是三阶线性常系数齐次微分方程yaybycy0的两个
特解，则a,b,c的值为[]
（A）a1,b1,c0。
（B）a1,b1,c0。
（C）a1,b0,c0。
（D）a1,b0,c0。
答C
注：
根据题意，1,0是特征方程的两个根，且0是重根，所以特征方程为
（1）2320。
故原微分方程应为yy0，所以a1,b0,c0即选项（C）正确。
2670.设二阶线性常系数齐次微分方程ybyy0的每一个解y（x）都在区间（0,）上有界，则实数b的取值范围是[]
（A）b0。
（B）b0。
（C）b4。
（D）b4。
答A
22
bb24xbb24x
注：
因为当b2时，y（x）C1e2C2e2，所以，当b240
时，要想使y（x）在区间（0,）上有界，只需要bb240,bb240，即
专业.专注
.word格式,
b2。
当b240时，要想使y（x）在区间（0,）上有界，只需要bb24与bb24的实部大于等于零，即0b2。
当b2时，y（x）C1exC2xex在区间（0,）上有界。
当b2时，y（x）C1exC2xex（C12C220）在区间（0,）上无
界。
综上所述，当且仅当b0时，方程ybyy0的每一个解y（x）都在区间（0,）上有界，即选项（A）正确。
0的通解。
3296．求微分方程x1y2yy1x2
dx
解：
方程两端同乘以
1y1x
xdx
1x2
1ydyy20，
此方程是一个变量分离方程，其通解为
1y21x2C（C2）。
5678．求微分方程ddxy1xysinx的通解。
ddxyx1y0，
dxx
得其通解为
C
y。
x
ClnylnC，即
x
令yC（x），代入原方程，x
sinx，
x
xC（x）C（x）C（x）
22
xx
解得
C（x）cosxC。
所以原方程的通解为
1
y（cosxC）。
x
注：
本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得
专业.专注
.word格式,
sinx1dx1dx1y（exdxdxc）exdx（cosxc）。
xx
22312．求解微分方程xdyydxy2eydy。
解：
将y看成自变量，
x看成是的y函数，则原方程是关于未知函数xx（y）的一阶线性
微分方程
dxxy
ye，
dyy
此方程通解为
xe
ydyCyeyeydydyCyyey，
其中C是任意常数。
2367．求微分方程
2
xy
xy
y2满足初始条件
y
（1）1的特解。
解：
将原方程变形，得
y，
x
这是一个齐次型方程。
令yxu，代入上式，得
xuu22u，
分离变量，得
dudx
u22ux
积分，得
因为y
（1）1，所以C1。
于是所求特解为
2x
1x2
专业.专注
.word格式,
xexp（x）exx，
解出
p（x）xexx。
所以原方程为
xy（xexx）yx，
解其对应的齐次方程，得
yCexex。
所以原方程的通解为
由y（ln2）0，得C
1
2。
所以原微分方程的通解为
专业.专注
.word格式,
xx
x
u（y），
y
2405．求微分方程（1ey）dxey（1x）dy0的通解。
y
解：
将y看成自变量，则xx（y）是y的函数。
由于原方程是齐次型方程，令
原微分方程化为
u
yu
eu，eu1
这是一个变量可分离的方程，解得
y（eu
u）C。
所以原方程的通解为
xyey
另解：
令P（x,y）1ey,Q（x,y）
x
ey（1x），则P（x,y）yy
x
2ey2
Q（x,y），
x
所以，在y0时，原方程为全微分方程。
令
（x,y）
u（x,y）（0,1）（1
xyx
）dxey
（1）dy，
y
由于此曲线积分与路径无关，所以u（x,y）就是全微分式（1ey）dxey（1x）dy的一个原y
函数，且
xx
u（x,y）
（x,y）yyx
（1ey）dxey
（1）dy
（0,1）y
0x
y0x
1ey（10）dy0（1ey）dx
1y0
x
y1xy（ey1）
x
yeyx1。
所以原方程的通解为
x
yeyxC。
2489．设为实数，求微分方程
yy0的通解。
专业.专注
.word格式,
解：
此方程的特征方程为20，所以，
（1）当0时，特征方程有一对复根i，方程有两个线性无关解
cosx,sinx。
因此微分方程的通解为
yC1cosxC2sinx（C1,C2R）。
（2）当0时，特征方程有一个二重根0。
方程有两个线性无关解1,x,于是微
分方程的通解为
yC1C2x。
（3）当0时，特征方程有两个单重实根。
方程有两个线性无关解
ex,ex，所以微分方程的通解为
yC1exC2ex（C1,C2R）。
2909．求微分方程yy2x21的通解。
解将方程写作yy（2x21）e0x。
因为0是特征方程20的单根，所以原
方程一个特解形式为
*32
y（x）axbxcx，将此解代入原方程，得
3ax2（2b6a）x（c2b）2x21，比较两端同次项的系数，有
3a2,2b6a0,c2b1。
解上述方程组，得
2
a,b2,c5。
3
从而得到原方程的一个特解
*232
y*（x）x32x25x。
3
又因为相应齐次方程yy0的通解为
yC1C2ex。
专业.专注
.word格式,
所以原方程的通解为
yC1C2ex2x32x25x。
另解：
方程yy2x21两端积分，得
23
yyx3xC1，
31这是一个一阶线性微分方程，其通解为
yex（C2（2x3xC1）exdx）
3
C1C2ex2x32x25x5
3
2
C1C2exx32x25x。
123
2356．求解微分方程y2yy4xex。
解：
因为1是特征方程2210的重根，所以原方程的一个待定特解为y*x2（axb）ex，将此解代入原方程，得
（6ax2b）ex4xex。
2
比较两端系数，得a,b0。
于是得到原方程的一个特解
3
*23x
yxe。
3又因为相应齐次方程的通解是
y（C1C2x）ex。
因此原方程的通解为
x23x
y（C1C2x）exx3ex。
1123．求微分方程yyxcosx的通解。
解：
原方程所对应齐次方程的通解为
yC1cosxC2sinx。
设非齐次方程yyx的一个特解为
专业.专注
.word格式,
y1AxB，代入次方程，得A1,B0。
所以y1x。
设非齐次方程yycosx的一个特解为
y2ExcosxDxsinx，
11
代入方程，得E0,D。
所以y2xsinx。
222因为y1y2为原方程的一个特解，所以原方程的通解为
1yC1cosxC2sinxxxsinx。
1221278．求解微分方程yy（y）2y2lny。
解：
因为原微分方程不显含自变量x，所以这是一个可降阶微分方程。
令u（y）y（x），则y（x）u（y）y（x）uu。
原方程变为
ylny。
22
yuuu
再令p（y）u2（y），则有
2ylny，
2ppy
这是一个一阶线性微分方程，求得
22
py2（Cln2y）。
所以
uy2（Cln2y），
故
yy2（Cln2y）。
这是个变量可分离微分方程，解得
lnlnyCln2yxC1，这就是原微分方程的通解。
注：
方程yuuu2y2lny是一个伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解。
专业.专注
.word格式,
2456．求解微分方程y3y3yyex（x5）。
解：
微分方程y3y3yy0的特征方程为
32
332310，
1是其三重特征根。
所以该齐次方程的通解为
yex（C1C2xC3x2）。
令原微分方程的一个特解形式为
y*x3（axb）ex，
代入原微分方程，并整理得
24ax6bx5，
所以
a1,b5。
因此原微分方程的一个特解为
246
（4x5）e，
故所求通解为
x31
ye（C1C2xC3x）6（4x5）e。
3214．求解微分方程xyyx2。
解：
令u（x）y（x），则原方程化为
1
uux，
x这是个一阶线性微分方程，解得
ux（C1x）。
因此yx（C1x），所以原微分方程的通解为
1312132
yx3C1x2C2x3C1x2C2，
3212312
其中C1,C2是任意常数。
x（xC1）
另解：
令p（x）y（x），则原方程化为p1，所以pxC1。
由yxp
x
专业.专注
.word格式,
132yxC1xC2。
312
3333．求解微分方程x2y2xy2yx3lnx。
解：
原方称为二阶欧拉方程。
令xet，得
所以原微分方程化为
dy2d2ydy
xy,xy2。
dtdt2dt
d2ydy3t
232ye3tt，dt2dt
其中t是自变量。
这是一个二阶线性常系数非齐次方程，解得
所以原微分方程的通解为
t2t133tyC1eC2e（t）e。
1222
2133yC1xC2x22x3（lnx2），
其中C1,C2是任意常数。
3337．已知函数f（x）在［0，）上可导，f（0）1，且满足等式
1x
f（x）f（x）10f（t）dt0，
x10
求f（x），并证明exf（x）1（x0）。
解：
根据条件，得
x
（x1）（f（x）f（x））0f（t）dt0，
因为f（x）在［0，）上可导，由上式，知f（x）在［0，）上二阶导数存在，所以
1
f（x）（11）f（x）0，
x1
这是f（x）满足的一个一阶线性齐次方程，解得
由于f（0）f（0）1，所以C1，故
专业.专注
.word格式,
f（x）
x1
当x0时，因为f（x）0，所以f（x）f（0）1。
又x0时，x1
xx
f（x）exeexxe0，所以f（x）exf（0）e00。
x1x1
故
exf（x）1（x0）。
注：
证明不等式时，只需要知道导数的符号及函数在某点上的值，并不要求一定知道函
数的表达式。
3338．设p（x）,q（x）为连续函数,证明方程yp（x）yq（x）的所有积分曲线上横坐标相同
的点的切线交于一点。
证：
记yy1（x）为方程yp（x）yq（x）的一条积分曲线，则方程yp（x）yq（x）的
任一条积分曲线可记为yCy1（x）。
曲线yy1（x）在点（x0,y1（x0））的切线方程为
yy1（x0）y1（x0）（xx0），
曲线yCy1（x）在点（x0,Cy1（x0））的切线方程为
yCy1（x0）Cy1（x0）（xx0）。
求解方程组
yy1（x0）y1（x0）（xx0）
，yCy1（x0）Cy1（x0）（xx0）
得
y1（x0）
0y1（x0）
所以，任一条积分曲线yCy1（x）与积分曲线yy1（x）在横坐标为x0的点处的切线
相交于与C无关的点（x0y1（x0）,0），即方程yp（x）yq（x）的所有积分曲线上横坐y1（x0）
标相同的点的切线交于一点。
专业.专注
.word格式,
3339．设p（x）在［0,）上连续非负，证明微分方程yp（x）y0的任意非零解满足limy（x）0的充要条件是广义积分p（x）dx发散。
x0
证：
设y（x）是方程yp（x）y0的任一解，则
y（x）C
0xp（t）dt
0e
其中C0是非零常数。
所以
x
limp（t）dt，
x0
即limy（x）0的充要条件是广义积分p（x）dx发散。
x0
2359．设a0，函数f（x）在［0,）上连续有界，证明微分方程yayf（x）的解在
［0,）上有界。
证：
因为原方程的通解为
y（x）eax（C0xf（t）eatdt），满足定解条件y（x0）y0的解为
y（x）eax（y00f（t）eatdt）。
记f（x）在［0,）上的界为M，则当x0时，有
y（x）eax（y00f（t）eatdt）
y0Meax0xeatdt
y0
（1eax）
y0
M，
a
即y（x）在［0,）上有界。
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