二次函数与平行四边形.docx

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二次函数与平行四边形

二次函数与平行四边形

我们先思考三个问题：

1.已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？

2.在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？

3.在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？

如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个D。

如图2，已知点A（0,3），B（-2,0），C（3,1），如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？

点B先向右平移两个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D（5,4）。

如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直）。

点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等。

关系式

和

有时候用起来很方便。

1.（青海倒一）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）猜想△EDB的形状并加以证明；

（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2.（陕西倒二）在同一直角坐标系中，抛物线C1:

y=ax2-2x-3与抛物线C2:

y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．

（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；

（2）求A、B两点的坐标；

（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

3.（宿迁倒一）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．

（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；

（2）求△ABC外接圆的半径；

（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．

请说明理由.

7.（邵阳倒一）如图所示，顶点为（1/2，－9/4）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y＝k/x （k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．

8.（岳阳倒一）如图，抛物线

经过点B（3,0），C（0，-2），直线

交y轴于点E，且与抛物线交于A、D两点.P为抛物线上一动点（不与A、D重合）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线

下方时，过点P作PM∥

轴交

于点M，PN交y轴交

于点N.求PM+PN的最大值

（3）设F为直线

上的点，以E、C、P、F,为顶点的四边形能否构成平行四边形？

若能求出点F的坐标；若不能，请说明理由.

9.（湖北咸宁）如图，抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.

⑴求抛物线的解析式及点D的坐标；

⑵连接BD,F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；

⑶平行于x轴的直线交抛物线于M,N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=1/2MN时，求菱形对角线MN的长.

10.（雅安倒一）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过A（1，0），B（-3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD.

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．

（3）在

（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F、N、G、M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？

并求出最大面积；

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．