必修4平面向量数量积考点归纳.docx
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必修4平面向量数量积考点归纳
“平面向量”误区警示
“平而向呈:
”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水.现将与平而向量基本概念相关的误区整理如下.
①向量此是育向线段
解析：
向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
有向线段是向量的一种表示方法，不能说向疑就是有向线段.
⑵若向童砸与CD相普，则有向找段AB与CD*含
解析：
长度相等且方向相同的向疑叫做相等向量.因此，若AB=CD,则有向线段AB与CD长度相等且方向
相同，但它们可以不重合.
⑶若ABIICD,则筑段AB//CD
解析：
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.故由忑与Cb平行，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，
它们可能平行也可能共线.
购若向爻血与CD共线，则线段AB与CD共线
解析:
」行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量.
故由应与C&共线，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.
（5）若a//b,bII6,fljaIIc
解析：
由尹零色量与任一向量平行，故当b=0时，向量d、2不一定平行.
当且仅当亍、6、5都为非零向量时，才有丘IIc.
⑹若|a|=|6|,则a=6无a=-b
解析：
也131=1bl,只能㊇定向的长度相等,不能确定其方向有何关系.
当孑与B不共线时，a=b或d=—6都不能成立.
⑺草住向董都相等
解析：
长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一左相同，故单位向量也不一定相等.
⑻若I3|=0,则3=0
解析：
向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集.
故若la1=0,则a=0,不能够说a=0.
平面向量数量积四大考点解析
考点一.考査概念型问题
例1.已知7、I、7是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数（）
（1）a・b=a-boalib;
（2）a,b反向o"・b=—a-b
f—>f—>f—>fff
⑶么丄boa+b=u—b；（4）a=b<=>"・/?
=b-c
A.1B.2C.3D.4
评注：
两向量同向时，夹角为0（或（T）：
而反向时，夹角为n（或180°）：
两向量垂直时，夹角为90°,
因此当两向量共线时，夹角为0或几，反过来若两向量的夹角为0或兀，则两向量共线.
考点二、考査求模问题
例2•已知向虽：
方=（一2,2加=（5,小，若a+b不超过5,则k的取值范用是
评注：
本题是已知模的逆向题，运用左义即可求参数的取值范1刊。
例3.
（1）已知均为单位向量，它们的夹角为60。
，那么：
+3庁=（）
A.、厅B.V10C.y/\3D.4
（2）己知向虽a=（cos&,sin&）,向量&=（>/5,—1），则la-b的最大值是
评注：
模的问题采用平方法能使过程简化。
考点三.考査求角问题
例4•已知向量"+3&垂直于向>7a-5h，向量a-4方垂直于向量7“-2b，求向量"与丘的夹角.
练习一：
数量积（内积）的意义及运算
1.已知向量1方1=4,7为单位向量，当它们之间的夹角为冬时，方在？
方向上的投影与7在方方3
向上的投影分别为（）
A.2命，£B.2,2C.£,2的D.1,2
（1）求1方+力的值：
（2）当m为何值时，［与d垂直?
练习目的：
结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的.
练习二：
数量积的坐标运算、模及夹角
4.直角坐标系xOy中，人了分别是与上y轴正方向同向的单位向捲.在直角三角形ABC中，
若AB=2；+j,AC=3i+kj，则R的可能值个数是（）
A.1B.2C.3D.4
练习目的：
结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法.
5.已知向量Gl=2,I引=20a+b=（2>/392）
求
（1）\a-b\x
（2）“+厶与么一厶的夹角
练习目的：
巩固平而向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系.
6•设向^a.b满足01=2,1力=1,方/的夹角为60,若向^2ta+lb与向^a+tb夹角为钝角,
求实数/的取值范围。
练习目的：
综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特別注意特殊情况，
才能不遗漏地正确解题.
练习三.平面向量的综合应用
7.
（1）已知MBC中，AB=a,BC=btB是44BC中的最大角，若方.^<0,则zUBC的形
状为.
练习目的：
体会应用平而向量的夹角公式判断三角形的形状.平面向量巩固检测
L已知«=（cosa,sina）,Z?
=（cos0、sin0）,其中0（1）求证：
a+b与a-b互相垂直；
（2）若必+T与a-kb的长度相等，求0-a的值伙为非零的常数）.
sin0）
2.已知a、6是两个不共线的向疑，且a二（cosa,sina）,b=（cosp,（I）求证：
a+b^ja—B垂直：
（II）若兀（弓彳）,
fi-—>且a+b=
4
求sina・
fTTTTTTTTTTT
3.设m=0]+2d,b=—32e2,其中q丄岂且e,=1.
⑴计算a+b|的值；
⑵当&为何值时ka+2与；-3Z互相垂直?
4.已矢口向=（cos^x,sin^x）,百=（cos*.
•x、
~sin2}
，其中xG[0.y]
3
（1）求a•b及a4-b!
：
（2）若f（x）=a•b—2Xa+b的最小值为一㊁，求X的值
平面向量数量积四大考点解析
考点一.考査概念型问题
例1.已知方、I）、:
是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数（）
（1）a•b=a-b<=>allb;
（2）a,b反向o"・b=—a-b
f—>f—f—#fff
⑶a丄boa+b=a-h；（4）a-bOa-b=b-c
A.1B.2C.3D.4
分析：
需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的立义：
二是向量加法与减法的平行四边形法则.
解：
⑴Ta•乙二Ia丨•IFIcos0
・••由I：
・b\=\a丨・帀I及a.h为非零向量可得IcosOI二1
•••0二0或•••：
〃&且以上各步均可逆，故命题
（1）是真命题.
（2）若a,h反向，则g、b的夹有为n,:
.aa
以上各步可逆，故命题
（2）是真命题.
“IcosH二一I"I•Ib|且
（3）当：
丄5时，将向量二
&的起点确泄在同一点，则以向量：
，/；为邻边作平行四边形，则
该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有丨；；+&丨=丨I•反过来，若I
a^rb\=\a-b|,则以二&为邻边的四边形为矩形.所以有方丄G因此命题⑶是真命题.
⑷当|方丨="丨但：
与
的夹角和&与c的夹角不等时.就有丨么•cIH丨5•cI
反过来由丨：
・丨：
1=丨&・：
丨也推不出丨：
丨=丨&I•故（4）是假命题.
综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择（C）.
评注：
两向量同向时，夹角为0（或0°）：
而反向时，夹角为"（或180°）：
两向量垂直时，夹角为90°,因此当两向量共线时，夹角为0或it,反过来若两向虽的夹角为0或兀，则两向量共线.
考点二、考査求模问题
例2.已知向量：
=（一2,2诂=（5,灯，若a+h不超过5,则k的取值范用是。
分析：
若：
=（3）则p「"+y2,或p卜仪+于,对于求模有时还运用平方法。
解：
由：
+&=（3,2+A）,又a+b<5,由模的定义，得：
9+（2+/:
）2<25解得：
_65k52,故填［—6,2］。
评注：
本题是已知模的逆向题，运用左义即可求参数的取值范臥例3.
（1）已知N&均为单位向量，它们的夹角为60。
，那么a+3b=（）
A.V7B.VioC.V13D.4
<2）已知向量c=（cosO,sin&）,向量&=（語,一1），则2a-b的最大值是.
解：
（1）a+3b
+6abcos60°+9^|=1+3+9=13
所以：
+=Jii,故选c。
（2）由题意，知"=1,b=2,a•b=2sin——0又2a-b=4“-4a-b+b=8-8sin]j<16
则2a-h的最大值为4。
评注：
模的问题采用平方法能使过程简化。
考点三、考査求角问题
例4.已知向+3b垂直于向量7a-5b,向虽:
"-4b垂直于向量7。
-2b,求向量"与b的夹角.
分析：
要求方与5的夹角，首先要求出7与方的夹角的余弦值，即要求出丨：
I及"I、：
而本题中很难求出丨a丨、丨b丨及a•b,但由公式cos0=
a•h——-♦
可知，若能把a•b,丨“I
印;
及丨方丨中的两个用列一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得。
与b的夹角0・
解:
设：
与&的夹角为0.Va+3b垂直于向量7方-5方,a-4b垂直于7方-2亦
一完整版学习资料分享一一
£+3可.（7方_5乙）=0
（：
一4/；）.（7方一2可=0
la+16幺・方-15方=0
la-30a-h+8/?
=0
解之得b^2a-ba3=2a
..cos
_172
o二互二二二丄
2
•・・0二彳因此a与b的夹角为彳.
练习一：
数量积（内积）的意义及运算
—11T————
1.已知向Mlnl=4,0为单位向量，当它们之间的夹角为一时，"在£方向上的投影与£在〃3
£
2
方向上的投影分别为（）A.2V3，
B・2
C.£,2石D.1,2
1.答案B
解答：
方在2方向上的投影k/lcos-=4x-=2
32
-一—龙丨
g在d方向上的投影IeIcos—=1x—=—
322
达到正确理解投影的概念.
练习目的：
区别a/£e方向上的投影与2在方方向上的投影,
2.在边长为2的等边AABC中，而•茕的值是（）・
D.—4
A.2B.一2C.
2.答案B
解答：
由平而向量数量积公式得:
亦.BC=\AB\.\BC\COS\20=2x2x（-^）=-2
因此AB.BC的值为一2・
练习目的：
结合图形1,根据投影的意义，理解AB.BC的几何意义.
3.已知I禹=3,1力=2命与B的夹角为60,c=3a+5byd=ma-3b.
（1）求\a+b\的值⑵当m为何值时，7与d垂直?
3・解答（l）d•b=\a\\-b\cos60=3x2x—=3.
la+bf^af+\b\2+2方易=32+2?
+2x3=19
所以\a+b\=>JT9
（2）由2与&垂直，得c-d=0,即
（3a+5b）・（ma—3b）=0
3mIaI2一151厶I’一9a・h+5ma•/?
=0®
又因为I药=3,1张2肓与B的夹角为60
—f■■—
所以a・〃=lall・blcos60=3x2x-=32
代入①得加=一
14
29-
因此当加=一时，c与d垂直.
14
练习目的：
结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关
系，达到巩固数量积的运算目的.
练习二：
数量积的坐标运算、模及夹角
4•直角坐标系xOy中，7,了分別是与上y轴正方向同向的单位向量•在直角三角形ABC中,
若AB=2i+j,AC=3i+kj，贝IJR的可能值个数是（）
A・1B・2C.3D.4
4.答案B
提示：
由题设Bg=；+（k_l）j,
转化为坐标表示：
丽=（2,1）,
AC=（3J）,BC=（1^-1）
AA3C是直角三角形可以分为三种情况:
而丄疋丽走=2x3+1认=0得k=-6
（2）而丄応砸•说=2xl+lx伙一1）=0得比=一1
（3）疋丄BC.AC^BC=3x1+k（k-1）=0
即k2-k+3=0,无解
故R的可能有两个值一1,一6,
练习目的：
结合向量垂宜的等价关系，练刃数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法.
5.已知向Sl«l=2,lSl=2>/3,a+b=（2^392）
求
（1）\a-b\x
（2）a+万与°一5的夹角
5・解答：
由题设1丁1=2,1力=2馅,
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（1）由a+b=（2\f3,2）得\a+b\2=16
即Ia+b\2=（a+b）2=a+b~+2a»b=16
解得：
丽=0
所以\a—b^=（a—b'）2=a+b~—2a・b
=22+（2y/3）2—2a^b=16
因此\a-bl=4
（2）设夹角为&,X（«+b>（7i-b）=a2-h=22-（2^）2=-8
g、ic（ci+b）.（a-b）-81
所以cos&=__=——=一一
\a+b\.\a-b\4x42
练习目的：
巩固平面向量的模以及夹角公式，类比向疑的运算与实数多项式的运算的关系.
6.设向量满足la1=2,1方1=1,的夹角为60,若向量2/。
+7乙与向^La+tb夹角为
钝角，求实数7的取值范围。
6.解答:
由题设a-b=\a\\-b\cos60=2xlx—=1
2
因为向2ta+lb与向^ca+th夹角为钝角，
所以（2丫+70）・（?
+/0<°⑵匚+了初•（方+/厉\2ta+7b\^\a+tb\
由2t\a\2+lt\bI2+{2r+7）N厶=2r+15r+7<0
解得-7v/v-丄
2
另一方面，当夹角为兀时，也有2尸+15/+7<0,所以由向量2历+7乙与向^a+tb同方向
得：
2ta+7b=2（a+tb）（2<0）
因此2/=入7=几/
解得：
t=±—,A=±Vi4
2
由于2<0,所以/<0,Wr=-—
2
因此，当t=~—时，两向虽的夹角为0不合题意.
2
所以，若向^2ta+7b与向量方+厉的夹角为锐角，实数/的取值范围是：
一完整版学习资料分享一一
（一7,—
V141、
〒'一m
练习目的：
综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注意特殊情况，才能不遗漏地正确解题.
练习三.平面向量的综合应用
7.
（1）已知MBC中，AB=a,BC=b,B是MBC中的最大角，若方矗<0,则
AABC的形状为.
7.答案：
锐角三角形
提示:
由cosa=-———<0
\a\.\b\
可得cosa<0,即丽与荒的夹角为钝角，所以，ZABC为锐角,
因此44BC为锐角三角形.
练习目的：
体会应用平而向量的夹角公式判断三角形的形状.平面向量巩固检测
—A
L已知a=（cosa,sina）,/?
=（cos0、sin0）.其中0（1）求证：
a+b与a-b互相垂直：
证明：
•••@+b）・（N-b）=cl2-b2=（cos2c?
+sin2a）-（cos'0+sin‘0）=0
：
.（i+b与&互相垂直
⑵若必+T与a-kb的长度相等，求0-a的值伙为非零的常数）.
TT
解析:
ka+b=（kcosa+cosp.ksina+sin0）:
TT
a-kZ?
=（cosa-kcos0,sina-&sin0）
ka+h=Jk'+l+2Rcos（“-a）
a-kb=Jk'+1-2kcos（0-a）
而+1+2kcos（0-a）=+l+2kcos（0-a）cos（0_a）=O,p-a=—
2
2.已知a、6是两个不共线的向量，且a=（cosa,sina）,b=（cosp,sin0）（I）求证：
亍+E与丘一6垂直：
（II）若aW（-彳冷），0二f，且矗+6二｛罟，求sina.
解：
（1）Va=（4cosa♦3sina）,b=（3cosp,4sin0）
IaI=|b|=1
又T（a+b）•（a—b）=a:
—b:
=a:
—b:
=0
/.（a+b）丄（a-b）
（2）|S+bIs=（a+b）3=
--3
乂a•b=（cosacos/?
+sinorsin/7）=-
••（兀JT
•X（F）
Va_0VO
3
/.cos（a_0）=_
5
4
/.sin（or-0）=--
5
•:
sina=sing—0）+/?
]
sin（a-0）•cos0+cos（d-0）・sin0
乜+良返“返
25210
3.设$=e+2e：
、6=—3e】+2e2,其中弓丄岂且eyq=e#c
（1）计算I$+b\的值;
（2）当&为何值时ka+b与3&互相垂直?
解:
（1）
TT°T->?
?
TT
•・•Ia+b|・=（-2C]+4C2）・=4C]■一I65C2+I6C2-
（2）
TT.・・ere2=0.
/.Ia+bl2=20
/.Ia+bl=V20=2^.
・・・（ka+b）（a-3b）=ka2+（l-3k）ab-3b2
又a2=（e]+2e2）2=5
TTT
b^=（-3eI+2e2）2=13
TTTTTT
a-b=（eI+2e2）（-3e1+2e2）=-3+4=l
/.由（ka+b）•（a-3b）=0
即5k+（l—3k）—3x13=0得k=19・
已知向量M=（cos討sin|x）,E=（cos§
■-一宀|），其中xe[0,y]
3
⑴求a•b及ia+b:
（2）若f（x）=a•b—2Xa+b|的最小值为一才求入的值
4.
3x3x
解：
（1）a•b=cos^xcos^~sinpxsin^=cos2x,a+b!
=p2+2cos2x=2cosx
（2）f（x）=E•E—2A,卞+EI=cos2x—4Xcosx=2cos'x~1—4Xcosx=2（cosx—X）2—2X2—1注意到xW[0,,故cosxGEO,1],若X<0,当cosx=0时f（x）取最小值一1。
不合条件，舍
3
去.若0W'Wl,-Icosx=X时，f（x）取最小值一2X"—1,令一2X*—1=—-且0W’XWl,
13
解得入=承若X>b当cosx=1时，f（x）取最小值1-4X,令1-4X=—且X>1,无解综上:
V为所求.
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