2平行四边形性质和判定2提取.docx

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2平行四边形性质和判定2提取

平行四边形性质和判定2

一．解答题

1．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

（1）求证：

四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则

（1）中的结论是否成立？

（不用说明理由）

2．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．

（1）求证：

AF=CE；

（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

3．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2

（1）求证：

D是EC中点；

（2）求FC的长．

4．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．

（1）求证：

四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证：

AE=AD．

5．如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

（1）请判断四边形EFGH的形状？

并说明为什么；

（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

6．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．

（1）当AB≠AC时，证明：

四边形ADFE为平行四边形；

（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？

直接写出构成图形的类型和相应的条件．

7．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？

如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．

8．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：

BE=CF．

9．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且

cm，

，求平行四边形ABCD的面积．

10．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：

PD+PE+PF=AB．

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．

11．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：

以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．

探究：

（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；

（3）经历

（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；

如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；

（注意：

错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

12．在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；

（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有　_________　组；

（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；

（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

13．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．

（1）求CD的长；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；

（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？

若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

14．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，

），B（﹣2，3

），C（2，3

），点D在第一象限．

（1）求D点的坐标；

（2）将平行四边形ABCD先向右平移

个单位长度，再向下平移

个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？

（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？

15．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少？

答案与评分标准

1．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

（1）求证：

四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则

（1）中的结论是否成立？

（不用说明理由）

分析：

（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，AB∥CD，根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF．再由SAS可证△GBE≌△HDF，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE，从而得GE∥HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．

（2）仍成立．可仿照

（1）的证明方法进行证明．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．

又∵AG=CH，∴BG=DH．

又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．

∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，

∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．

（2）解：

仍成立．（证法同上）

2．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．

（1）求证：

AF=CE；

（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

分析：

（1）由AF∥EC，根据平行线的性质得到∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，而DA=DC，易证得△DAF≌△DCE，得到结论；

（2）由AF∥EC，AF=CE，根据平行四边形的判定得到四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线相等即AC=EF，可判断平行四边形AFCE是矩形，则∠FCE=∠CFA=90°，通过

∠ACB=135°，可得到∠FCA=135°﹣90°=45°，则易判断矩形AFCE是正方形．

解答：

（1）证明：

∵AF∥EC，

∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，

∵D是AC的中点，

∴DA=DC，

∴△DAF≌△DCE，

∴AF=CE；

（2）解：

四边形AFCE是正方形．理由如下：

∵AF∥EC，AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，

又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形，∴∠FCE=∠CFA=90°，

而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°﹣90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，

∴矩形AFCE是正方形．

3．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2

（1）求证：

D是EC中点；

（2）求FC的长．

分析：

（1）根据平行四边形的对边平行可以得到AB∥CD，又AE∥BD，可以证明四边形ABDE是平行四边形，所以AB=DE，故D是EC的中点；

（2）连接EF，则△EFC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到△CDF是等腰三角形，再利用∠ABC=60°推得∠DCF=60°，所以△CDF是等边三角形，FC=DF，FC的长度即可求出．

解答：

（1）证明：

在平行四边形ABCD中，

AB∥CD，且AB=CD，

又∵AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB=DE，

∴CD=DE，

即D是EC的中点；

（2）解：

连接EF，∵EF⊥BF，

∴△EFC是直角三角形，

又∵D是EC的中点，

∴DF=CD=DE=2，

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，

∴△CDF是等边三角形，∴FC=DF=2．故答案为：

2．

4．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．

（1）求证：

四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证：

AE=AD．

分析：

（1）由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF∥DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；

（2）如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又

△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，然后即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD．

解答：

证明：

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，

∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），

∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形；

（2）连接BE

∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形，

∴EB=EF，∠EBF=60°

∵DC=EF，∴EB=DC，

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，∴∠EBF=∠ACB，

∴△AEB≌△ADC，∴AE=AD．

5．如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

（1）请判断四边形EFGH的形状？

并说明为什么；

（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

分析：

（1）连接AC，利用中位线定理即可证明四边形EFGH是平行四边形；

（2）由于四边形EFGH为正方形，那么它的邻边互相垂直且相等，根据中位线定理可以推出四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．

解答：

解：

（1）如图，四边形EFGH是平行四边形．连接AC，

∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF∥AC，EF=

AC

同理HG∥AC，

∴EF∥HG，EF=HG

∴EFGH是平行四边形；

（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．

∵假若四边形EFGH为正方形，

∴它的每一组邻边互相垂直且相等，

∴根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．

6．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．

（1）当AB≠AC时，证明：

四边形ADFE为平行四边形；

（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？

直接写出构成图形的类型和相应的条件．

分析：

（1）要证明ADEF是平行四边形，可通过证明EF=AD，DF=AE来实现，AD=AC，AE=AB，那么只要证明△ABC≌△DFC以及△FEB≌△CAB即可．AD=DC，CF=CB，又因为∠FCB=∠ACD=60°，那么都减去一个∠ACE后可得出∠BCA=∠FCD，那么就构成了SAS，△ABC≌△DFC，就能求出AE=DF，同理可通过证明△FEB≌△CAB得出EF=AD．

（2）可按∠BAC得度数的不同来分情况讨论，如果∠BAC=60°，∠EAD+∠BAC+∠DAC=180°，因此，A与F重合A、D、F、E四点所构成的图形为一条线段．

当∠BAC≠60°时，由

（1）AE=AB=AC=AD，因此A、D、F、E四点所构成的图形是菱形．

解答：

（1）证明：

∵△ABE、△BCF为等边三角形，

∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．

∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．

又∵△ADC为等边三角形，

∴CD=AD=AC．∴EF=AD．

同理可得AE=DF．

∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）解：

构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．

当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）

当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．

7．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？

如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．

分析：

由等边三角形的性质易得△BED≌△BCA，△CBA≌△CEF，从而得到DE=FC=AF，AD=BC=EF，再由两组对边相等的四边形是平行四边形得到四边形AFED是平行四边形．

解答：

解：

四边形AFED是平行四边形．

证明如下：

在△BED与△BCA中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）

∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA

∴△BED≌△BCA（SAS）

∴DE=AC

又∵AC=AF∴DE=AF

在△CBA与△CEF中，CB=CE，CA=CF

∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE

∴△CBA≌△CEF（SAS）

∴BA=EF

又∵BA=DA，∴DA=EF

故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

8．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：

BE=CF．

分析：

由于ABCD是平行四边形，且AF平分∠BAD，所以可得AF=BF，再由垂直平分线及角之间的转化得出CE=CD，进而得出结论．

解答：

证明：

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAF=∠F，

又AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF，∴∠BAF=∠F，∴AB=BF，

又AF平分∠BAD，DE⊥AF，∴∠AOD=∠ADO，

又∠BOE=∠AOD=∠EDC，∠ADO=∠E，∴∠EDC=∠E，

∴CE=CD，又AB=CD，∴BE=CF．

9．28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且

cm，

，求平行四边形ABCD的面积．

分析：

对于同一个平行四边形面积是一定的，因此以AB为底，DE为高或者以BC为底，DF为高求出结果应该是一致的．又由题可知，AB和BC之间存在和为18的关系，所以可列方程进行解答．

解答：

解：

设AB=x，则BC=18﹣x，

由AB•DE=BC•DF

F得：

，

解之x=10，

所以平行四边形ABCD的面积为

．

点评：

解此题的关键是把几何问题抽象到解方程中来，利用方程进行解答．

10．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：

PD+PE+PF=AB．

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．

考点：

平行四边形的性质。

专题：

探究型。

分析：

在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=AB．

解答：

解：

图2结论：

PD+PE+PF=AB．

证明：

过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，

由题意得PE+PF=AM．

∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．

∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，

即PD+PE+PF=AB．

图3结论：

PE+PF﹣PD=AB．

11．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：

以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．

探究：

（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；

（3）经历

（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；

如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；

（注意：

错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

分析：

连接BE，根据边角边可证三角形PAM和三角形EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又BC⊥AC，所以DE也和AC垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．

解答：

解：

（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．

（2）如图4，如图5．

（3）方法一：

如图6，

连接BE，

∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，

∴△PMA≌△EMB．

∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．

∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，

∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．

∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC，

∴DE⊥AC．

方法二：

如图7，连接BE，PB，AE，

∵PM=ME，AM=MB，

∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，

余下部分同方法一：

方法三：

如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，

∵平行四边形PADC，

∴AN=NC，PN=ND．

∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=

BC．

又∵PN=ND，PM=ME，

∴MN∥DE，MN=

DE．

∴DE∥BC，DE=BC．

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．

（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．

点评：

此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，

难易程度适中．

12．在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；

（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有　无数　组；

（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；

（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

分析：

注意由于平行四边形是中心对称图形，故只要过它的对称中心画直线即可．

解答：

解：

（1）无数；

（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可．如图有：

AE=BE=DF=CF，AM=CN．

（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．

点评：

平行四边形是中心对称图形，平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．

13．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．

（1）求CD的长；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；

（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？

若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

分析：

（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图示，由题可得：

BP=10﹣3t，DQ=2t，所以可以列出方程10﹣3t=2t，解得t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根据勾股定理，求出BQ即可．

（3）此题要分三种情况进行讨论：

即①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，根据三种情况点的位置，可以确定t的值．

解答：

解：

（1）过点A作AM⊥CD于M，

根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，

∴DM=

=6，∴CD=16；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，

点P在AB上，点Q在DC上，如图，

由题知：

BP=10﹣3t，DQ=2t

∴10﹣3t=2t，解得t=2

此时，BP=DQ=4，CQ=12∴

∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=

；

（3）①当点P在线段AB上时，即

时，如图

∴

．

②当点P在线段BC上时，即

时，如图

BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t

∴

化简得：

3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程无实数解．

③当点P在线段CD上时，

若点P在Q的右侧，即6≤t≤

，则有PQ=34﹣5t

，

＜6，舍去

若点P在Q的左侧，即

，

则有PQ=5t﹣34，

，

t=7.8．

综合得，满足条件的t存在，其值分别为

，t2=7.8．

点评：

本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．

14．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，

），B（﹣2，3

），C（2，3

），点D在第一象限．

（1）求D点的坐标；

（2）将平行四边形ABCD先向右平移

个单位长度，再向下平移

个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？

（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？

分析：

（1）由B、C的坐标可得BC的长，即AD的长，进而可得点D的横坐标，点D的纵坐标则与点A的纵坐标相等，可得点D的坐标．

（2）按题中要求先向右右平移

个单位长度，再向下平移

个单位长即可得到新坐标．

（3）由题意，则重叠部分为平行四边形，由坐标可得重叠部分的边长及高，进而运用面积公式求解平行四边形DEFG的面积即可．

解答：

解：

（1）由B、C的坐标可知，AD=BC=4，则可得点D的横坐标为1，点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为

，可得点D的坐标为（1，

）．

（2）依题意得A1、B1、C1、D1的坐标分别为A（﹣3+

，0），B（﹣2+

，2

）C（2+

，2

），D（1+

，0）．

（3）如图，

平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积，

由题意可得GD=AD﹣AG=4﹣

，

平行四边形DEFG的高为2

﹣

=

，

∴重叠部分的面积为（4﹣

）•

=4

﹣2．

15．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少？