高考立体几何大题经典例题.docx
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高考立体几何大题经典例题
N
M
P
C
B
A
<一>常用结论
1.证明直线与直线的平行的思考途径:
（1转化为判定共面二直线无交点;（2转化为二直
线同与第三条直线平行;（3转化为线面平行;（4转化为线面垂直;（5转化为面面平行.
2.证明直线与平面的平行的思考途径:
（1转化为直线与平面无公共点;（2转化为线线平
行;（3转化为面面平行.
3.证明平面与平面平行的思考途径:
（1转化为判定二平面无公共点;（2转化为线面平行;
（3转化为线面垂直.
4.证明直线与直线的垂直的思考途径:
（1转化为相交垂直;（2转化为线面垂直;（3转
化为线与另一线的射影垂直;（4转化为线与形成射影的斜线垂直.5.证明直线与平面垂直的思考途径:
（1转化为该直线与平面内任一直线垂直;（2转化为该直线与平面内相交二直线垂直;（3转化为该直线与平面的一条垂线平行;（4转化为该直线垂直于另一个平行平面;（5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6.证明平面与平面的垂直的思考途径:
（1转化为判断二面角是直二面角;（2转化为线面垂直.
3、如图,在正方体1111ABCDABCD-中,E是1AA的中点,求证:
1//AC平面BDE。
5、已知正方体1111ABCDABCD-,O是底ABCD对角线的交点.
求证:
（1C1O∥面11ABD;（21
AC⊥面11ABD.
9、如图P是ABC∆所在平面外一点,,PAPBCB=⊥平面PAB,M是PC的中点,N是
AB上的点,3ANNB=
A
D1
C
B
D
C
DD
B
AC1
BA1
C
例4、如图,在RtAOB△中,π6
OAB∠=,斜边4AB=.RtAOC△可以通过RtAOB△以直
线AO为轴旋转得到,且二面角BAOC--的直二面角.D是AB的中点.（错误!
未找到引用源。
求证:
平面COD⊥平面AOB;
（错误!
未找到引用源。
求异面直线AO与CD所成角的大小.
例5.四棱锥SABCD-中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD.已知45ABC=∠,2AB=
BC=
SASB=
（Ⅰ证明SABC⊥;
（Ⅱ求直线SD与平面SAB所成角的大小.
例1如图,正三棱柱111ABCABC-的所有棱长都为2,D为1CC中点.（Ⅰ求证:
1AB⊥平面1ABD;（Ⅱ求二面角1AADB--的大小;（Ⅲ求点C到平面1ABD的距离.
例2已知三棱锥ABCS-,底面是边长为24的正三角形,棱SC的长为2,且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点,求CD与SE间的距离.
例3.如图,在棱长为2的正方体1AC中,G是1AA的中点,求BD到平面11DGB的距离
证明:
连接AC交BD于O,连接EO,∵E为1AA的中点,O为AC的中点
BD
1
A1
C
1
B
B
D
C
A
A
1
A1
D1
∴EO为三角形1AAC的中位线∴1//EOAC又EO在平面BDE内,1AC在平面BDE外∴1//AC平面BDE
证明:
（1连结11AC,设
11111
ACBDO⋂=,连结1AO
∵1111ABCDABCD-是正方体11AACC∴是平行四边形
∴A1C1∥AC且11ACAC=又1,OO分别是11,ACAC的中点,∴O1C1∥AO且11OCAO=
11AOCO∴是平行四边形111,COAOAO∴⊂
∥面11ABD,1CO⊄面11ABD∴C1O∥面11ABD
（21CC⊥面1111ABCD11!
CCBD∴⊥又
1111
ACBD⊥∵,1111BDACC∴⊥面111ACBD⊥即
同理可证
1
1ACAD⊥,又
1111
DBADD⋂=
∴1
AC⊥面11ABD
（1求证:
MNAB⊥;（2当90APB∠=
24ABBC==时,求MN的长。
证明:
（1取PA的中点Q,连结,MQNQ,∵M是PB的中点,
∴//MQBC,∵CB⊥平面PAB,∴MQ⊥平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影,取AB的中点D,连结PD,∵,PAPB=∴
PDAB⊥,又3ANNB=,∴BNND=∴//QNPD,∴QNAB⊥,由三垂线定理得MNAB⊥
（2∵90APB∠=
,PAPB=∴122
PDAB==,∴1QN=,∵MQ⊥平面PAB.
∴MQNQ⊥,且1
12
MQBC==
∴MN=
（错误!
未找到引用源。
由题意,COAO⊥,BOAO⊥,
BOC∴∠是二面角BAOC--是直二面角,COBO∴⊥,又AOBOO=,CO∴⊥平面AOB,
又CO⊂平面COD.
∴平面COD⊥平面AOB.
（错误!
未找到引用源。
作DEOB⊥,垂足为E,连结CE（如图,则,DEAO∥CDE∴∠是异面直线AO与CD所成的角.
在RtCOE△中,2COBO==,112
OEBO==,
CE∴=
又12
DEAO=
∴在RtCDE△
中,tanCECDEDE
===.
∴异面直线AO与CD
所成角的大小为
（Ⅰ作SOBC⊥,垂足为O,连结AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.
因为SASB=,所以AOBO=,
又45ABC=∠,故AOB△为等腰直角三角形,AOBO⊥,由三垂线定理,得SABC⊥.
（Ⅱ由（Ⅰ知SABC⊥,依题设ADBC∥,故SAAD⊥
由ADBC==
SA=
AO=
得
1SO=
SD=.SAB△
的面积112
SAB=
连结DB,得DAB△的面积21
sin13522
SABAD=
=设D到平面SAB的距离为h,由于DSABSABDVV--=,得
1211
33
hSSOS=
解得h=设SD与平面SAB所成角为α
则sinhSDα=.
所以,直线SD与平面SBC
所成的我为
（Ⅰ取BC中点O,连结AO.
ABC△为正三角形,AOBC∴⊥.
正三棱柱111ABCABC-中,平面ABC⊥平面11BCCB,
B
1
A1
C
1
B
AO∴⊥平面11BCCB.
连结1BO,在正方形11BBCC中,OD,分别为
1BCCC,的中点,1BOBD∴⊥,1ABBD∴⊥.
在正方形11ABBA中,11ABAB⊥,1AB∴⊥平面1ABD.
（Ⅱ设1AB与1AB交于点G,在平面1ABD中,作1GFAD⊥于F,连结AF,由（Ⅰ得1AB⊥平面1ABD.
1AFAD∴⊥,AFG∴∠为二面角1AADB--的平面角.
在1AAD△
中,由等面积法可求得AF=
又112
AGAB=
sinAGAFGAF
∴==
∠.所以二面角1AADB--
的大小为
（Ⅲ1ABD△
中,1
11ABDBDADABS===∴=△1BCDS=△.
在正三棱柱中,1A到平面11BCCB
设点C到平面1ABD的距离为d.
由1
1
ABCDCABDVV--=
得1
1133
BCDABDSSd△△,
1ABDd∴=
△
∴点C到平面1ABD
如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF,
EF∴为BCD∆的中位线,EF∴∥CDCD∴,∥面SEF,
CD∴到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.
又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF的距离,设其为h,由题意知,24=BC,D、E、F分别是
AB、BC、BD的中点，\CD=26,EF=\VS-CEF=1CD=6,DF=2,SC=22111123××EF×DF×SC=××6×2×2=32323在RtDSCE中，SE=在RtDSCF中，SF=又QEF=SC2+CE2=23SC2+CF2=4+24+2=306,\SDSEF=3123231，解得h=×SDSEF×h，即×3×h=333323.3由于VC-SEF=VS-CEF=故CD与SE间的距离为思路启迪：
把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：
解析一QBD∥平面GB1D1，\BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求，以下求点O平面GB1D1的距离,QB1D1^A1C1，B1D1^A1A，\B1D1^平面A1ACC1,又QB1D1Ì平面GB1D1\平面A1ACC1^GB1D1，两个平面的交线是O1G,作OH^O1G于H，则有OH^平面GB1D1，即OH是O点到平面GB1D1的距离.在DO1OG中，SDO1OG=又SDO1OG=11×O1O×AO=×2×2=2.221126.×OH×O1G=×3×OH=2,\OH=22326.3即BD到平面GB1D1的距离等于
解析二QBD∥平面GB1D1，\BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求，以下求点B平面GB1D1的距离.设点B到平面GB1D1的距离为h，将它视为三棱锥B-GB1D1的高，则VB-GB1D1=VD1-GBB1,由于SDGB1D1=1´22´3=6，2426114=,VD1-GBB1=´´2´2´2=,\h=33236即BD到平面GB1D1的距离等于26.3
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