高三数学立体几何经典例题Word下载.docx
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n
BCAC的中点，则四边形EFG啲
A到平面a、
a入表示EF
6.直线a//平面B,直线a到平面B的距离为1,则到直线
合是（）
A.一条直线B.
7.正四棱锥底面积为
一个平面
Q
B的距离分别是AE=4,AF=2,
D
第5题图
a的距离与平面B的距离都等于
彳的点的集
A.；
q（s2q2）
C.1■Q（S2
2
Q2）
8.已知球O的半径为
A.:
0,2R]
9.已知平面aQ平面B=l
R
B.（0,2R
侧面积为
S,则它的体积为（
*Jq（S2Q2）
-QS
3
AB是球面上任意两点，则弦长
|AB的取值范围为（
]
C.（0,2RD.
[R2R]
l,m是平面
a内的一条直线，则在平面B内
（）
两条平行直线
D.两个平面
A.
m垂直
.—定存在直线与直线m平行，也一定存在直线与直线
B.一定存在直线与直线m平行，但不一定存在直线与直线
C.不一定存在直线与直线m平行，但一定存在直线与直线m垂直
D.不一定存在直线与直线m平行，也不一定存在直线与
直线m垂直
10.如图为一个简单多面体的表面展开图（沿图中虚线折叠即可还原），则这个多面体的顶点数为（）
.7C
二、填空题（4X4'
=16'
11.边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值为;
推广到空间，棱
长为a的正四面体内任一点到各面距离之和为
12.在厶ABC中，AB=9,AG=15,/BAC120°
其所在平面外一点P到ABC三个顶点的距离都是
14,则P点到直线BC的距离为
13.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并
且该六面体的最短棱的长为2,则最远的两顶点间的距离是.
14.有120个等球密布在正四面体A-BCD内，问此正四面体的底部放有个球.
三、解答题（4X10'
+14'
=54'
15.定直线I1丄平面a,垂足为M动直线l2在平面a内过定点N,但不过定点=a为定值，在I1、l2上分别有动线段AB=b,CD：
、c为定值.问在什么情况下四面体ABCD勺体积最大？
最大值是多少？
16.如图所示，已知四边形ABCDEADI和MDC都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中
第16题图
点，求：
（1）pm与FQ所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线PM与FQ的距离.
17.如图，在梯形ABCDKAB//CD/ADC=90°
3AD=DC=3,AB=2,E是CD上一点，满足DE=1，连结AE将厶DA曰沿AE折起到△DAE的位置，使得/DAB=60°
设AC与BE的交点为Q
（1）试用基向量AB,AE,AD1表示向量OD1
（2）求异面直线OD与AE所成的角.
（3）判断平面DAE与平面ABCE1否垂直，并说明理由.
第17题图
18.如图，在斜棱柱ABC-A1B1G中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的角为60°
顶点B在底面ABG上的射影0恰好是AB的中点•
（1）求证：
BC丄GA;
（2）求二面角G-AB-C的大小.
第18题图
19.如图所示，在三棱锥
P-ABG中，PA=PB=PCBG=2a,AG=a,AB=.3a,点P到平面ABG的距离为-a.
（1）求二面角P-AG-B的大小；
（2）求点B到平面PAG的距离.
第19题图
立体几何练习参考答案
一、选择题
设正三棱锥P-ABC中，各棱之间的夹角为a,棱与底面夹角为B,h为点S到平面PQR的距离，则
Vs-pqf=丄Sapqr-h=—（—PQ-PR-sina）•PS-sin3,另一方面，记0到各平面的距离为d,则有
332
1iid1・d1
丄1_sinPRPS=d
乂-pqf=V>
pq+Vo-prs+V>
pq=Spqr•d+Saprs•d+S^pqs•d=••PQ-PR-sina+—•PS*PR*sina
333323
+d•1•PQ-PS-sina.故有PQ-PR-PS-sin3=d（PQ-PF+PR-PS^PQ-P$,即丄
32PQ
常量•
设正n棱锥的高为h,相邻两侧面所成二面角为B.当hi0时，正n棱锥的极限为正n边形，这时相
邻两侧面所成二面角为平面角，即二面角Q^n.
当his时，正n棱锥的极限为正n棱柱，这时相邻两侧面所成二面角为正n边形的内角，即A2
7t
.故选B.
如图，易知四边形EFGH^矩形，当L底面△ABC勺中心O时，矩形EFGH＞矩形EFiGH
S矩形e1f1gh=ElFl•FlGa•a=~a.
即S矩形EFGH^-3a〔当时，S矩形EFGFT^m.
如图，•••a丄AEa丄AF•a丄平面AEF
-a-B的平面角，/EG=60°
/EAF=120°
且易知当厶
设a交平面AEF于点G,则/EGF是二面角a
ABO的周长最小时，B€EGC€FG
设点A关于平面a的对称点为A,点A关于平面B的对称点为A,连结AA〃,分别交线段EG、FG于点BC,则此时△ABO勺周长最短，记为1.由中位线定理及余弦定理得
I=2EF=2.4222242cos120=47.
因为ABCD是正四面体，故ACLBD作EG/AC交BC于G连结GF则a入=ZGEF且-CG-AE■OFGBEBFD
•GF//BD故GFLEG且B产/EFG•f（入）=ax+B入=90°
为常数.
这两条直线在距a为丄的平面上，分布在a在该平面上的射影的两侧
5
设正四棱锥各棱长均为1,贝UQ=1,S=、3，此时，正四棱锥的高h=—2
2=丄01=丄，将Q=1,S=3代入选择支，知A正确.
36
考虑A、B两点在球面上无限靠近但又不重合，及A、B两点应为直径的两端点时的情况.
点评若忽视几何里的两点、两直线、两平面等均应是相异的两兀素，就会误选A,球的最长弦就是
m平行的直线；
若m与I相交，则B内无直线与m平行.
m平行，排除A、B.又B内一定存在与m在B内的射影垂直的直线，由三垂m垂直,故选C.
直径，但球没有最短弦.
若m1，则b内必有与
•••不一定存在直线与直线线定理知，B内一定存在直线与
该多面体是正方体切割掉
本题考查简单多面体的表面展开与翻折，着重考查考生的空间想像能力
一个顶点，故有7个顶点.
二、填空题
11.a；
a本题通过等积找规律•
23
12.7.7分析P点到AB、C距离相等，故P点在平面ABC±
的射影是三角形ABC的外心，故可2
由厶ABC的已知条件求出△ABC外接圆半径，进而求得P点到平面ABC的距离，及外心到直线BC的距离，从而最终解决问题.
解记P点在平面ABC上的射影为Q贝UAOBOCC分别是PAPBPC在平面ABC上的射影
•/PA=PB=PC.OA=OB=QC
•••OABC的外心.
在厶ABO中,BO92152915=21
由正弦定理，2F=-^1,•R=7.3
sin120
■2
P点到平面ABC勺距离为，142737.
易证EFLAD
则/CEF为面ADF和面ACD所成二面角的平面角•设G为CD的中点，同理/AGB^面ACD和面BCD所成二面角的平面角，由已知/CEI=ZAGB
设底面△CDF的边长为2a,侧棱AD长为b.在厶ACD中,
如图所示，作CELAD连结EF,
CE・b=AG・2a,所以
I22
CE=AG2aba2a
bb
在厶ABC中，易求得
AB=2b2
23a22
b2
A
L
U
第13题图解
解得b=4a,因此b=2时,
2a=3,•最远的两顶点间距离为3.
•/OPL平面ABCODLBC•PDLBC
正四面体ABCD勺底部是正厶BCD假设离BC边最近的球有n个，则与底面△BCD相切的球也有n排,
各排球的个数分别为n、n-1、…、3、2、1,这样与底面相切的球共有1+2+…+n=加卩个•由于正四面体
各面都是正三角形.因此，正四面体内必有n层球，自上而下称为：
第1层、第2
层、…第n层，那么第n-1层，第n-2层，…第2层，第1层球的个数分别是:
1+2+…+n-仁Ml
1+2=23,1=12
2'
2
n（n1）（n1）n
22__
12
~T~
120,
即Ln（n+1）（n+2）=120.
6
即（n-8）（n+11n+90）=0,「.n=8,因此正四面体内共有
三、解答题
15.分析在四面体ABCD勺基础上，补上一个三棱锥解如图，连结MCMD则
•••AML平面MDCBML平面MDC
1
•••VA-BC[=V\-MDC-VB-MD=SaMDC-（AM-BM
=丄Samdc，AB
设M到CD的距离为x,则&
md=1CD-x=^cx,
22
第15题图解
111
VA-bcd=xcx-b=bcx
326
•/x<
MNa,•当x=a时，
即MN为l1与12的公垂线时，VA-bcd最大，它的最大值为丄abc.
点评x<
MN包含x=MN也包含xvMN垂线段小于斜线段•
16.解建立空间直角坐标系，使得D（0,0,0）,A（a,0,0）,B（a,a,0）,C（0,a,0）,M（0,0,a）,E（a,0,a）,
F（0,a,a）,
则由中点坐标公式得R耳,0,a）,Q◎，旦,0）,
2222
（1）所以PM=（-a,0,-）,FQ（-^，-a，-a）,PM-FQ=（-2）X222
aa32
+0+x（-a）=-a,
且|PM|=—^a,|FQ|^—6a,所以cosPM,FQ=PMFQ
22|PMIIFQI
、26
aa
故得两向量所成的角为150°
;
⑵设n=（x,y,z）是平面EFB的单位法向量，即|n|=1,n丄平面EFB所以n丄EF,且n丄BE,
..3
"
T,
.3
3，
x2y2z21,
又EF=（-a,a,0）,BE=（0,-a,a）,即有得其中的一个解是
ayaz0,
设所求距离为d,则d=|PE•n|=—2a;
（3）设e=（xi,yi,zi）是两异面直线的公垂线上的单位方向向量,
则由PM=旦,0,旦，FQ=空，2,a,
222,
xiyizii,
得旦Xi2zi0,求得其中的一个e=』，丄，上3，
22333
—xi■—yiazi0.
而MF=（0,a,0），设所求距离为m,则m=|MF]•e|=|-
所以°
D与AE所成角为arccos—.
⑶设AE的中点为M则MDi=ADi-丄AE.
1i—
•••MDi•AB=ADi•AB-AE•AB=iX2Xcos60°
-丄X、2X2cos45°
=0,
22
i7.解（i）根据已知，可得四边形
ABCE为平行四边形，
所以
O为BE中点.
i
ii-
OD〔ADiA°
ADi
（ABAE）
ADiABAE
（2）ODiAE（ADi
ii—
丄AB-AE）
AEi、2cos45
丄2
■-2cos45—G2）2i
2i
T（ODi）=（ADi-丄
i2
AB-丄AE）=
■6
•-|ODi|=.
•••cos<
ODi'
AE>
=°
DiAE,-1』，
|ODi||AE|如込3
•-MDi丄AB.
MDi•AE=ADi•AE-丄AE2=、2cos45°
-—X（.2）2=0,•MDi丄AE.22
所以Ml»
直于平面ABCE内两条相交直线,•MD丄平面ABCE
而DM平面ADE,所以平面ADE丄平面ABCE
18.
（1）解法一连结BC、COTBC丄平面ABCCOLAB二BC丄AB
又t在菱形BBCC中，BC丄BC,
•••BC丄平面ABC,：
BC丄CA
（2）作CQ±
平面ABC于Q点，连接AQ
•••/CiCQ是侧棱与底面所成的角，即/CQQ=60°
在厶CCQ中,C（=1CC=AOCQ=_ACC,
由BCBC,OQ平行且相等，又TCOLAE,•QALAB•CA丄AB
QAC是二面角Ci-ABC的平面角，
第18题图解
（1）
第18题图解
（2）
在厶AQC中,CQ=AQ•••/QAC=45°
解法二
（1）以O为原点，OC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图,
•••B0丄平面ABC
•••/BBO是侧棱与底面所成角，•/BBO=6O°
.
设棱长为2a,则OB=逅a,BO=a,又CO为正三角形的中线，•C（=V3a.
则A（0,a,0）,耳0,-a,0）,C（..3a,0,0）,B（0,0,.3a）,C（..3a,a,3a）.
B1C=（■■•■/3a,0,-3a）,C1A=（-3a,0,-，；
：
3a）.
■■122
•/B1C•C1A=-3a+0+3a=0,•BC丄CA
⑵在厶CAB中，ICAF^a」BC1|=|（..3a,2a,■.3a）|=.10a,|AB|=2a,
•.Sac1ab=.6a,
作CQ!
平面ABC于Q点，贝UQJ3a,a,0）.
•-Saab（=3a,设二面角Ci-AB-C的平面角为B
二面角C-ABC的平面角为45°
19.
（1）解法一由条件知厶ABC为直角三角形，/BAC90
•••PA=PB=PC.点P在平面ABCh的射影是厶ABC的外心，即斜边BC的中点E,取AC中点D,连结PD
DEPEPEL平面ABC
DELAQ•••DE//AB./.ACLPD/PDE为二面角P-AC-B的平面角.tanPDE星
DE
•••/PDE60°
故二面角P-AC-B的平面角为60°
解法二设0为BC的中点，则可证明POL面ABC建立如图空间直角坐标系,
则A丄a,—a,0,B（-a,0,0）,qa,0,0）,P0,0-a,
222
AC中点D3a,-a,0
44
AB=3a,3a,0,DP=—a^^a,—a
22442
•/ABLACPA=PCPDLACcos<
AB,DP>
即为二面角P-AGB的余弦值.
3333
（-a）（-a）-a-a0
而cos<
=2424
（9232c/923292
a—a0a—a—a
>
4416164
二面角P-AC-B的平面角为60°
⑵解法一PD=.PE2DE23a29a2..3a,
X44
Saapc=1•AC-PD=」a2
设点B到平面PAC勺距离为h,
则由Vp-abcfVb-apc得—•Saabg
-PE=—•Saapg"
h,
h=sABCPE
SAPC
1a.3a—a
罷22a
a故点B到平面PAC的距离为Aa.
解法二点E到平面PAC勺距离容易求得，为la,而点B到平面PAC勺距离是其2倍,
4
•••点B到平面PAC勺距离为2a.
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