高三数学立体几何经典例题.docx

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高三数学立体几何经典例题

一、选择题（10X5'=50'）

1.如图，设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心,过O的动平面与P-ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记

为QRS则—-—（）

PQPRPS

A.有最大值而无最小值

B.有最小值而无最大值

C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等

D.是一个与平面QRSi置无关的常量

2.在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是

a.nA,b.口

nn

3.正三棱锥P-ABC勺底面边长为面积的取值范围是

B.

C.

D.

2a,点E、

F、G

H分别是

PA

PB

A.（0,+g）B.

C.

a2

D.

4.已知二面角a若B€a

-a-B为60°,点A在此二面角内，且点,C€B,则厶ABC勺周长的最小值是（

B.2

5.如图，正四面体A-BCD中,E在棱AB上,

F在棱CD上,

使得詈（0＜入＜+g）,记f（入）=八心,其中

与AC所成的角，B入表示EF与BD所成的角，贝U（）

入）在（0,+g）单调增加

入）在（0,+g）单调减少

入）在（0,1）单调增加,在（1,+g）单调减少

入）在（0,+g）为常数

（

（

（

（

n1

n

BCAC的中点，则四边形EFG啲

A到平面a、

a入表示EF

6.直线a//平面B,直线a到平面B的距离为1,则到直线

合是（）

A.一条直线B.

7.正四棱锥底面积为

一个平面

Q

B的距离分别是AE=4,AF=2,

D

第5题图

a的距离与平面B的距离都等于

彳的点的集

A.；,q（s2q2）

C.1■Q（S2

2

Q2）

8.已知球O的半径为

A.:

0,2R]

9.已知平面aQ平面B=l

R

B.（0,2R

侧面积为

S,则它的体积为（

）

B.

*Jq（S2Q2）

D.

-QS

3

AB是球面上任意两点，则弦长

|AB的取值范围为（

]

C.（0,2RD.

[R2R]

l,m是平面

a内的一条直线，则在平面B内

（）

两条平行直线

C.

）

D.两个平面

A.

m垂直

.—定存在直线与直线m平行，也一定存在直线与直线

B.一定存在直线与直线m平行，但不一定存在直线与直线

C.不一定存在直线与直线m平行，但一定存在直线与直线m垂直

D.不一定存在直线与直线m平行，也不一定存在直线与

直线m垂直

10.如图为一个简单多面体的表面展开图（沿图中虚线折叠即可还原），则这个多面体的顶点数为（）

.7C

二、填空题（4X4'=16'）

11.边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值为;推广到空间，棱

长为a的正四面体内任一点到各面距离之和为

12.在厶ABC中，AB=9,AG=15,/BAC120°,其所在平面外一点P到ABC三个顶点的距离都是

14,则P点到直线BC的距离为

13.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并

且该六面体的最短棱的长为2,则最远的两顶点间的距离是.

14.有120个等球密布在正四面体A-BCD内，问此正四面体的底部放有个球.

三、解答题（4X10'+14'=54'）

15.定直线I1丄平面a,垂足为M动直线l2在平面a内过定点N,但不过定点=a为定值，在I1、l2上分别有动线段AB=b,CD：

、c为定值.问在什么情况下四面体ABCD勺体积最大？

最大值是多少？

16.如图所示，已知四边形ABCDEADI和MDC都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中

第16题图

点，求：

（1）pm与FQ所成的角；

（2）P点到平面EFB的距离；

（3）异面直线PM与FQ的距离.

17.如图，在梯形ABCDKAB//CD/ADC=90°,3AD=DC=3,AB=2,E是CD上一点，满足DE=1，连结AE将厶DA曰沿AE折起到△DAE的位置，使得/DAB=60°,设AC与BE的交点为Q

（1）试用基向量AB,AE,AD1表示向量OD1

（2）求异面直线OD与AE所成的角.

（3）判断平面DAE与平面ABCE1否垂直，并说明理由.

第17题图

18.如图，在斜棱柱ABC-A1B1G中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的角为60°,顶点B在底面ABG上的射影0恰好是AB的中点•

（1）求证：

BC丄GA;

（2）求二面角G-AB-C的大小.

第18题图

19.如图所示，在三棱锥

P-ABG中，PA=PB=PCBG=2a,AG=a,AB=.3a,点P到平面ABG的距离为-a.

2

（1）求二面角P-AG-B的大小；

（2）求点B到平面PAG的距离.

第19题图

立体几何练习参考答案

一、选择题

设正三棱锥P-ABC中，各棱之间的夹角为a,棱与底面夹角为B,h为点S到平面PQR的距离，则

Vs-pqf=丄Sapqr-h=—（—PQ-PR-sina）•PS-sin3,另一方面，记0到各平面的距离为d,则有

332

1iid1・d1

2

丄1_sinPRPS=d

乂-pqf=V>pq+Vo-prs+V>pq=Spqr•d+Saprs•d+S^pqs•d=••PQ-PR-sina+—•PS*PR*sina

333323

+d•1•PQ-PS-sina.故有PQ-PR-PS-sin3=d（PQ-PF+PR-PS^PQ-P$,即丄

32PQ

常量•

设正n棱锥的高为h,相邻两侧面所成二面角为B.当hi0时，正n棱锥的极限为正n边形，这时相

邻两侧面所成二面角为平面角，即二面角Q^n.

当his时，正n棱锥的极限为正n棱柱，这时相邻两侧面所成二面角为正n边形的内角，即A2

n

7t

.故选B.

如图，易知四边形EFGH^矩形，当L底面△ABC勺中心O时，矩形EFGH＞矩形EFiGH

S矩形e1f1gh=ElFl•FlGa•a=~a.

即S矩形EFGH^-3a〔当时，S矩形EFGFT^m.

3

如图，•••a丄AEa丄AF•a丄平面AEF

-a-B的平面角，/EG=60°,/EAF=120°,且易知当厶

设a交平面AEF于点G,则/EGF是二面角a

ABO的周长最小时，B€EGC€FG

设点A关于平面a的对称点为A,点A关于平面B的对称点为A,连结AA〃,分别交线段EG、FG于点BC,则此时△ABO勺周长最短，记为1.由中位线定理及余弦定理得

I=2EF=2.4222242cos120=47.

因为ABCD是正四面体，故ACLBD作EG/AC交BC于G连结GF则a入=ZGEF且-CG-AE■OFGBEBFD

•GF//BD故GFLEG且B产/EFG•f（入）=ax+B入=90°为常数.

这两条直线在距a为丄的平面上，分布在a在该平面上的射影的两侧

5

设正四棱锥各棱长均为1,贝UQ=1,S=、3，此时，正四棱锥的高h=—2

2

2=丄01=丄，将Q=1,S=3代入选择支，知A正确.

36

考虑A、B两点在球面上无限靠近但又不重合，及A、B两点应为直径的两端点时的情况.

点评若忽视几何里的两点、两直线、两平面等均应是相异的两兀素，就会误选A,球的最长弦就是

m平行的直线；若m与I相交，则B内无直线与m平行.

m平行，排除A、B.又B内一定存在与m在B内的射影垂直的直线，由三垂m垂直,故选C.

直径，但球没有最短弦.

若m1，则b内必有与

•••不一定存在直线与直线线定理知，B内一定存在直线与

该多面体是正方体切割掉

本题考查简单多面体的表面展开与翻折，着重考查考生的空间想像能力

一个顶点，故有7个顶点.

二、填空题

11.a；a本题通过等积找规律•

23

12.7.7分析P点到AB、C距离相等，故P点在平面ABC±的射影是三角形ABC的外心，故可2

由厶ABC的已知条件求出△ABC外接圆半径，进而求得P点到平面ABC的距离，及外心到直线BC的距离，从而最终解决问题.

解记P点在平面ABC上的射影为Q贝UAOBOCC分别是PAPBPC在平面ABC上的射影

•/PA=PB=PC.OA=OB=QC

•••OABC的外心.

在厶ABO中,BO92152915=21

由正弦定理，2F=-^1,•R=7.3

sin120

■2

P点到平面ABC勺距离为，142737.

易证EFLAD

则/CEF为面ADF和面ACD所成二面角的平面角•设G为CD的中点，同理/AGB^面ACD和面BCD所成二面角的平面角，由已知/CEI=ZAGB

设底面△CDF的边长为2a,侧棱AD长为b.在厶ACD中,

如图所示，作CELAD连结EF,

CE・b=AG・2a,所以

I22

CE=AG2aba2a

bb

在厶ABC中，易求得

AB=2b2

23a22

3

b2

A

L

U

第13题图解

解得b=4a,因此b=2时,

3

2a=3,•最远的两顶点间距离为3.

•/OPL平面ABCODLBC•PDLBC

正四面体ABCD勺底部是正厶BCD假设离BC边最近的球有n个，则与底面△BCD相切的球也有n排,

各排球的个数分别为n、n-1、…、3、2、1,这样与底面相切的球共有1+2+…+n=加卩个•由于正四面体

2

各面都是正三角形.因此，正四面体内必有n层球，自上而下称为：

第1层、第2

层、…第n层，那么第n-1层，第n-2层，…第2层，第1层球的个数分别是:

1+2+…+n-仁Ml

2

1+2=23,1=12

2'2

n（n1）（n1）n

22__

12

~T~

120,

即Ln（n+1）（n+2）=120.

6

2

即（n-8）（n+11n+90）=0,「.n=8,因此正四面体内共有

三、解答题

15.分析在四面体ABCD勺基础上，补上一个三棱锥解如图，连结MCMD则

•••AML平面MDCBML平面MDC

1

•••VA-BC[=V\-MDC-VB-MD=SaMDC-（AM-BM

3

=丄Samdc，AB

3

设M到CD的距离为x,则&md=1CD-x=^cx,

22

第15题图解

111

VA-bcd=xcx-b=bcx

326

•/x

即MN为l1与12的公垂线时，VA-bcd最大，它的最大值为丄abc.

6

点评x

16.解建立空间直角坐标系，使得D（0,0,0）,A（a,0,0）,B（a,a,0）,C（0,a,0）,M（0,0,a）,E（a,0,a）,

F（0,a,a）,

则由中点坐标公式得R耳,0,a）,Q◎，旦,0）,

2222

（1）所以PM=（-a,0,-）,FQ（-^，-a，-a）,PM-FQ=（-2）X222

aa32

+0+x（-a）=-a,

2

且|PM|=—^a,|FQ|^—6a,所以cosPM,FQ=PMFQ

22|PMIIFQI

、26

aa

22

故得两向量所成的角为150°;

⑵设n=（x,y,z）是平面EFB的单位法向量，即|n|=1,n丄平面EFB所以n丄EF,且n丄BE,

..3

"T,

.3

"T,

3，

x2y2z21,

又EF=（-a,a,0）,BE=（0,-a,a）,即有得其中的一个解是

ayaz0,

设所求距离为d,则d=|PE•n|=—2a;

3

（3）设e=（xi,yi,zi）是两异面直线的公垂线上的单位方向向量,

则由PM=旦,0,旦，FQ=空，2,a,

2222

222,

xiyizii,

得旦Xi2zi0,求得其中的一个e=』，丄，上3，

22333

—xi■—yiazi0.

22

而MF=（0,a,0），设所求距离为m,则m=|MF]•e|=|-

3

2

所以°D与AE所成角为arccos—.

3

⑶设AE的中点为M则MDi=ADi-丄AE.

2

1i—

•••MDi•AB=ADi•AB-AE•AB=iX2Xcos60°-丄X、2X2cos45°=0,

22

3

i7.解（i）根据已知，可得四边形

ABCE为平行四边形，

所以

O为BE中点.

i

ii-

OD〔ADiA°ADi

（ABAE）

ADiABAE

2

22

（2）ODiAE（ADi

ii—

丄AB-AE）

AEi、2cos45

丄2

■-2cos45—G2）2i

22

2

2

2i

T（ODi）=（ADi-丄

i2

AB-丄AE）=

2

5

2

2

2

■6

•-|ODi|=.

2

•••cos=°DiAE,-1』，

|ODi||AE|如込3

•-MDi丄AB.

MDi•AE=ADi•AE-丄AE2=、2cos45°-—X（.2）2=0,•MDi丄AE.22

所以Ml»直于平面ABCE内两条相交直线,•MD丄平面ABCE

而DM平面ADE,所以平面ADE丄平面ABCE

18.

（1）解法一连结BC、COTBC丄平面ABCCOLAB二BC丄AB

又t在菱形BBCC中，BC丄BC,

•••BC丄平面ABC,：

BC丄CA

（2）作CQ±平面ABC于Q点，连接AQ

•••/CiCQ是侧棱与底面所成的角，即/CQQ=60°,

在厶CCQ中,C（=1CC=AOCQ=_ACC,

22

由BCBC,OQ平行且相等，又TCOLAE,•QALAB•CA丄AB

QAC是二面角Ci-ABC的平面角，

第18题图解

（1）

第18题图解

（2）

在厶AQC中,CQ=AQ•••/QAC=45°

解法二

（1）以O为原点，OC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图,

•••B0丄平面ABC

•••/BBO是侧棱与底面所成角，•/BBO=6O°.

设棱长为2a,则OB=逅a,BO=a,又CO为正三角形的中线，•C（=V3a.

则A（0,a,0）,耳0,-a,0）,C（..3a,0,0）,B（0,0,.3a）,C（..3a,a,3a）.

B1C=（■■•■/3a,0,-3a）,C1A=（-3a,0,-，；：

3a）.

■■122

•/B1C•C1A=-3a+0+3a=0,•BC丄CA

⑵在厶CAB中，ICAF^a」BC1|=|（..3a,2a,■.3a）|=.10a,|AB|=2a,

•.Sac1ab=.6a,

作CQ!

平面ABC于Q点，贝UQJ3a,a,0）.

•-Saab（=3a,设二面角Ci-AB-C的平面角为B

二面角C-ABC的平面角为45°.

19.

（1）解法一由条件知厶ABC为直角三角形，/BAC90

•••PA=PB=PC.点P在平面ABCh的射影是厶ABC的外心，即斜边BC的中点E,取AC中点D,连结PD

DEPEPEL平面ABC

DELAQ•••DE//AB./.ACLPD/PDE为二面角P-AC-B的平面角.tanPDE星

2

DE

•••/PDE60°,故二面角P-AC-B的平面角为60°.

解法二设0为BC的中点，则可证明POL面ABC建立如图空间直角坐标系,

则A丄a,—a,0,B（-a,0,0）,qa,0,0）,P0,0-a,

222

AC中点D3a,-a,0

44

AB=3a,3a,0,DP=—a^^a,—a

22442

•/ABLACPA=PCPDLACcos即为二面角P-AGB的余弦值.

3333

（-a）（-a）-a-a0

而cos=2424

（9232c/923292

a—a0a—a—a

>4416164

二面角P-AC-B的平面角为60°

⑵解法一PD=.PE2DE23a29a2..3a,

X44

Saapc=1•AC-PD=」a2

22

设点B到平面PAC勺距离为h,

则由Vp-abcfVb-apc得—•Saabg

3

-PE=—•Saapg"h,

3

h=sABCPE

SAPC

1a.3a—a

22

罷22a

a故点B到平面PAC的距离为Aa.

2

解法二点E到平面PAC勺距离容易求得，为la,而点B到平面PAC勺距离是其2倍,

4

•••点B到平面PAC勺距离为2a.

2