必修二 立体几何复习经典例题.docx
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必修二立体几何复习经典例题
必修二--立体几何复习+经典例题．
一、判定两线平行的方法
1、平行于同一直线的两条直线互相平行
2、垂直于同一平面的两条直线互相平行
3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明
二、判定线面平行的方法
1、据定义：
如果一条直线和一个平面没有公共点
2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个
平面平行
3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面
5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面
2
三、判定面面平行的方法
1、定义：
没有公共点
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行
3垂直于同一直线的两个平面平行
4、平行于同一平面的两个平面平行
四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面
3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行
4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面
五、判定线面垂直的方法
1、定义：
如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直
2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直
3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面
4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个3
平面，它也垂直于另一个平面
5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面
六、判定两线垂直的方法
1、定义：
成角?
902、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直
3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直
七、判定面面垂直的方法
1、定义：
两面成直二面角,则两面垂直
2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面
八、面面垂直的性质
4
1、二面角的平面角为?
902、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是：
?
?
?
0?
?
90?
?
?
?
900、直线与平面所成的角的取值范围是：
2?
?
?
?
0?
90?
?
900?
?
斜线与平面所成的角的取值范围是：
3、?
?
90?
?
0?
?
?
?
900?
、二面角的大小用它的平面角来度量；取4值范围是：
?
?
?
?
0?
180?
?
180?
?
0十、三角形的心内心：
内切圆的圆心，角平分线的交点1、
外心：
外接圆的圆心，垂直平分线的交2、
点重心：
中线的交点3、
垂心：
高的交点、4
【例题分析】5
例2在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：
MN∥平面PAD．
【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造（添加）中位线辅助证明．
证明：
方法一，取PD中点E，连接AE，NE．
∵底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，
1，MA∥CD∴.MA?
CD2∵E是PD的中点，
1，CDNE∴∥?
.NECD2∴MA∥NE，且MA＝NE，
∴AENM是平行四边形，
6
∴MN∥AE．
又AE平面PAD，MN平面PAD，?
?
∴MN∥平面PAD．
方法二取CD中点F，连接MF，NF．
∵MF∥AD，NF∥PD，
∴平面MNF∥平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：
（1）证明线线平行：
?
?
?
（2）证明线面平行：
a∩αα∥β＝∥ab?
bα，aαβa?
?
?
a∥αa∥αa∥α?
?
?
（3）证明面面平行：
?
?
，β∥∥⊥，⊥∥，∥＝∩αβaβbβaαaβα?
?
?
7
b∩，aa，bα?
A＝∥β∥αβαα∥βα∥β?
?
?
?
＝中，AA－ABC例3在直三棱柱ABC1111．⊥ACBCAC，AB⊥AC，求证：
11
，可通过“线【分析】要证明“线线垂直”垂直于经C进行转化，因此设法证明A面垂直”1的平面即可．过BC1．证明：
连接AC1C是直三棱柱，ABC∵－AB111ABC，∴AA⊥平面1．AB⊥AA∴1，⊥AC又ABACC，⊥平面∴ABA11．①⊥ABA∴C1，AC又AA＝1是正方形，ACCA∴侧面118
∴AC⊥AC．②11由①，②得AC⊥平面ABC，11∴AC⊥BC．11【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化．
例4在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：
平面PAC⊥平面PBC．
【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化．
证明：
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
∴AP⊥BC．
9
又AP⊥PB，
∴AP⊥平面PBC，
又AP平面PAC，?
∴平面PAC⊥平面PBC．
【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：
（1）证明线线垂直：
a⊥c，b∥c，a⊥α
bα?
a⊥ba⊥b?
?
（1）证明线面垂直：
α∥β⊥b，a∥ba⊥m，a⊥nαm，nα，?
nm∩＝a⊥a⊥α?
?
GEDBCF
，a⊥α⊥β，α∩βlaβ，a?
α⊥B5图
?
A
?
aa
α
⊥
（1）证明面面垂直：
a⊥β，aα?
α⊥β?
例5如图，在斜三棱柱ABC－ABC中，111侧面AABB是菱形，且垂直于底面ABC，∠11AAB＝60°，E，F分别是AB，BC的中点．1110
；∥平面AACC（Ⅰ）求证：
直线EF11EFG，使平面上确定一点G（Ⅱ）在线段AB，并给出证明．⊥平面ABC．AE连接AC，证明：
（Ⅰ）11的中是ABE∵侧面AABB是菱形，111点，B的中点，E也是A∴1．AEF∥C又F是BC的中点，∴1，AACCEF平面AACC，平面C∵A?
?
11111．AACC∴直线EF∥平面11BG1，⊥平面解：
当ABC时，平面EFG
（2）?
3GA证明如下：
．EG，FG连接°，＝60AB∵侧面AABB是菱形，且∠A111AB是等边三角形．∴△A1BG1的中点，是EAB∵．⊥，∴EGAB?
13GA11
∵平面AABB⊥平面ABC，且平面AABB1111∩平面ABC＝AB，
∴EG⊥平面ABC．
又EG平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC．?
例6如图，正三棱柱ABC－ABC中，E111是AC的中点．
（Ⅰ）求证：
平面BEC⊥平面ACCA；（Ⅱ）111求证：
AB∥平面BEC．11【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．
证明：
（Ⅰ）∵ABC－ABC是正三棱柱，∴111AA⊥平面ABC，1∴BE⊥AA．1∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACCA，又BE平面?
11BEC，112
．⊥平面ACCA∴平面BEC111．＝DBCC，设∩BC（Ⅱ）证明：
连接B111∴BC的中点，D∵BCCB是矩形，是111．∥ABDE1BEC，BEC，AB平面又DE平面?
?
111BEC．∴AB∥平面11⊥中，平面PADP－ABCD例7在四棱锥是等边三角形，PAD∥DC，△平面ABCD，AB，．8＝已知BD＝2AD5?
4AB?
2DC
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：
平面MBDPAD；⊥平面P（Ⅱ）求四棱锥－ABCD的体积．【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD．
证明：
（Ⅰ）在△ABD中，
13
，，由于AD＝4，BD＝854AB?
222AB．＋BD＝所以AD．AD⊥BD故∩平ABCD，平面PAD⊥平面又平面PAD平面ABCD，面ABCD＝AD，BD?
PAD，所以BD⊥平面⊥平面MBD平面又BDMBD，故平面?
．PADAD于O，⊥（Ⅱ）解：
过P作POAD交⊥平POABCD，所以由于平面PAD⊥平面ABCD面．的高，ABCD因此PO为四棱锥P－的等边三角形．因此4又△PAD是边长为3.PO?
?
?
4232
＝DC，AB在底面四边形ABCD中，AB∥DC，2中，ADB是梯形，所以四边形ABCD在Rt△5884?
的ABCD边上的高为，即为梯形斜边AB?
5
54高，的面积为所以四边形ABCD155825?
4故.?
S?
?
24.3163?
?
?
V242?
52
ABCDP?
314
9.如图4,在边长为1的等边三角形中,分E,DABC别是边上的点,,是的中点,AC,ABBCAFFAEAD?
与交于点,将沿折起,得到如图5GAFDEABF?
2.
其中所示的三棱锥,?
BCBCFA?
2;平面
（1）证明:
//BCFDE;
（2）证明:
平面CF?
ABFA
2锥三（3）当棱时,求?
AD
3.
的体积GEVDEG?
FDEGF?
DA
CF
4图
中,
（1）9.在等边三角形ABCAE?
AD【答案】
AEAD?
?
中,在折叠后的三棱锥
BCFA?
ECDB,
,平面也成立BCFDEBC/DE?
/?
;
平面平面,BCF/BCF?
DE/BC?
所以,的中点是中在等边三角形
（2）,BCABCF15
1?
?
CFBF.①,
BC?
AF2三棱锥在BCFA?
2BC?
,中②
222?
CF?
?
?
BCCF?
BFBF2;
ABF平面?
CF?
BF?
CF?
F
结合
（2）可得（3）由
（1）可知GE//CF.
DFGGE?
平面?
?
131111131?
V?
V?
?
?
DG?
FG?
GF?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
DFGEDEG?
F?
33223233243?
?
4.如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．
（1）证明：
EF∥面
PAD；⊥）证明：
面PDC（2；面PAD的体积．—ABCD）求四棱锥（3PAC，如图，连接4.
的中点，是为矩形且FBD∵ABCD分1必经过∴ACF
的中点，是又EPC16
所以，EF∥AP2分
∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
又AP面PAD，∴AP⊥CD?
又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD
又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD
?
（3）取AD中点为O，连接PO，
因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P—ABCD的高
∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P—ABCD的体21积?
V?
AB?
AD?
PO
331.如图，三棱柱ABC－ABC中，侧棱垂直底1111面，∠ACB=90°，AC=BC=AA，D是棱AA
11217
的中点⊥平面BDC）证明：
平面BDC（Ｉ1分此棱柱为两部分，求这两部（Ⅱ）平面BDC1.
分体积的比，AC⊥,BC⊥1.【解析】（Ⅰ）由题设知BCCC1,面,∴?
BCA?
ACCACCCC?
CB11111又∵面，∴,DCDCA?
BCACC?
A11111由题,设知045ADC?
ADC?
?
?
11D
∴=,即,
0DC?
DCCDC?
9011B
C⊥∴,又∵C?
BCDC?
DC1A
，,∵面面BDCDCBDC?
11∴面⊥面；BDCBDC1（Ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由ACVDACCB?
111?
211=，题意得，=V11?
?
?
1223由三棱柱的体积=1，VCB?
AABC111∴=1:
1，∴平面分此棱柱为两部VV）:
?
（VBDC111分体积之比为1:
1.
18
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