必修二 立体几何复习经典例题Word文档格式.docx
《必修二 立体几何复习经典例题Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《必修二 立体几何复习经典例题Word文档格式.docx(16页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
1、定义:
如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线面垂直
2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直
3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面
4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个3
平面,它也垂直于另一个平面
5、如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面
六、判定两线垂直的方法
成角?
902、直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直
3、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
4、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直
5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直
七、判定面面垂直的方法
两面成直二面角,则两面垂直
2、一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面
八、面面垂直的性质
4
1、二面角的平面角为?
902、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
3、相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是:
?
?
0?
90?
900、直线与平面所成的角的取值范围是:
2?
90?
900?
斜线与平面所成的角的取值范围是:
3、?
90?
900?
、二面角的大小用它的平面角来度量;
取4值范围是:
180?
180?
0十、三角形的心内心:
内切圆的圆心,角平分线的交点1、
外心:
外接圆的圆心,垂直平分线的交2、
点重心:
中线的交点3、
垂心:
高的交点、4
【例题分析】5
例2在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,求证:
MN∥平面PAD.
【分析】要证明“线面平行”,可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化;
题目中出现了中点的条件,因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.
证明:
方法一,取PD中点E,连接AE,NE.
∵底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,
1,MA∥CD∴.MA?
CD2∵E是PD的中点,
1,CDNE∴∥?
.NECD2∴MA∥NE,且MA=NE,
∴AENM是平行四边形,
6
∴MN∥AE.
又AE平面PAD,MN平面PAD,?
∴MN∥平面PAD.
方法二取CD中点F,连接MF,NF.
∵MF∥AD,NF∥PD,
∴平面MNF∥平面PAD,
【评述】关于直线和平面平行的问题,可归纳如下方法:
(1)证明线线平行:
(2)证明线面平行:
a∩αα∥β=∥ab?
bα,aαβa?
a∥αa∥αa∥α?
(3)证明面面平行:
,β∥∥⊥,⊥∥,∥=∩αβaβbβaαaβα?
7
b∩,aa,bα?
A=∥β∥αβαα∥βα∥β?
=中,AA-ABC例3在直三棱柱ABC1111.⊥ACBCAC,AB⊥AC,求证:
11
,可通过“线【分析】要证明“线线垂直”垂直于经C进行转化,因此设法证明A面垂直”1的平面即可.过BC1.证明:
连接AC1C是直三棱柱,ABC∵-AB111ABC,∴AA⊥平面1.AB⊥AA∴1,⊥AC又ABACC,⊥平面∴ABA11.①⊥ABA∴C1,AC又AA=1是正方形,ACCA∴侧面118
∴AC⊥AC.②11由①,②得AC⊥平面ABC,11∴AC⊥BC.11【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的.如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化.
例4在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,AP⊥PB,求证:
平面PAC⊥平面PBC.
【分析】要证明“面面垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化.
∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,且AB⊥BC,
∴BC⊥平面PAB,
∴AP⊥BC.
9
又AP⊥PB,
∴AP⊥平面PBC,
又AP平面PAC,?
∴平面PAC⊥平面PBC.
【评述】关于直线和平面垂直的问题,可归纳如下方法:
(1)证明线线垂直:
a⊥c,b∥c,a⊥α
bα?
a⊥ba⊥b?
(1)证明线面垂直:
α∥β⊥b,a∥ba⊥m,a⊥nαm,nα,?
nm∩=a⊥a⊥α?
GEDBCF
,a⊥α⊥β,α∩βlaβ,a?
α⊥B5图
A
aa
α
⊥
(1)证明面面垂直:
a⊥β,aα?
α⊥β?
例5如图,在斜三棱柱ABC-ABC中,111侧面AABB是菱形,且垂直于底面ABC,∠11AAB=60°
,E,F分别是AB,BC的中点.1110
;
∥平面AACC(Ⅰ)求证:
直线EF11EFG,使平面上确定一点G(Ⅱ)在线段AB,并给出证明.⊥平面ABC.AE连接AC,证明:
(Ⅰ)11的中是ABE∵侧面AABB是菱形,111点,B的中点,E也是A∴1.AEF∥C又F是BC的中点,∴1,AACCEF平面AACC,平面C∵A?
11111.AACC∴直线EF∥平面11BG1,⊥平面解:
当ABC时,平面EFG
(2)?
3GA证明如下:
.EG,FG连接°
,=60AB∵侧面AABB是菱形,且∠A111AB是等边三角形.∴△A1BG1的中点,是EAB∵.⊥,∴EGAB?
13GA11
∵平面AABB⊥平面ABC,且平面AABB1111∩平面ABC=AB,
∴EG⊥平面ABC.
又EG平面EFG,∴平面EFG⊥平面ABC.?
例6如图,正三棱柱ABC-ABC中,E111是AC的中点.
(Ⅰ)求证:
平面BEC⊥平面ACCA;
(Ⅱ)111求证:
AB∥平面BEC.11【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图,这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求,可以根据几何体自身的性质,适当添加辅助线帮助思考.
(Ⅰ)∵ABC-ABC是正三棱柱,∴111AA⊥平面ABC,1∴BE⊥AA.1∵△ABC是正三角形,E是AC的中点,∴BE⊥AC,∴BE⊥平面ACCA,又BE平面?
11BEC,112
.⊥平面ACCA∴平面BEC111.=DBCC,设∩BC(Ⅱ)证明:
连接B111∴BC的中点,D∵BCCB是矩形,是111.∥ABDE1BEC,BEC,AB平面又DE平面?
111BEC.∴AB∥平面11⊥中,平面PADP-ABCD例7在四棱锥是等边三角形,PAD∥DC,△平面ABCD,AB,.8=已知BD=2AD5?
4AB?
2DC
(Ⅰ)设M是PC上的一点,证明:
平面MBDPAD;
⊥平面P(Ⅱ)求四棱锥-ABCD的体积.【分析】本题中的数量关系较多,可考虑从“算”的角度入手分析,如从M是PC上的动点分析知,MB,MD随点M的变动而运动,因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD.
(Ⅰ)在△ABD中,
13
,,由于AD=4,BD=854AB?
222AB.+BD=所以AD.AD⊥BD故∩平ABCD,平面PAD⊥平面又平面PAD平面ABCD,面ABCD=AD,BD?
PAD,所以BD⊥平面⊥平面MBD平面又BDMBD,故平面?
.PADAD于O,⊥(Ⅱ)解:
过P作POAD交⊥平POABCD,所以由于平面PAD⊥平面ABCD面.的高,ABCD因此PO为四棱锥P-的等边三角形.因此4又△PAD是边长为3.PO?
4232
=DC,AB在底面四边形ABCD中,AB∥DC,2中,ADB是梯形,所以四边形ABCD在Rt△5884?
的ABCD边上的高为,即为梯形斜边AB?
5
54高,的面积为所以四边形ABCD155825?
4故.?
S?
24.3163?
V242?
52
ABCDP?
314
9.如图4,在边长为1的等边三角形中,分E,DABC别是边上的点,,是的中点,AC,ABBCAFFAEAD?
与交于点,将沿折起,得到如图5GAFDEABF?
2.
其中所示的三棱锥,?
BCBCFA?
2;
平面
(1)证明:
//BCFDE;
(2)证明:
平面CF?
ABFA
2锥三(3)当棱时,求?
AD
3.
的体积GEVDEG?
FDEGF?
DA
CF
4图
中,
(1)9.在等边三角形ABCAE?
AD【答案】
AEAD?
中,在折叠后的三棱锥
BCFA?
ECDB,
,平面也成立BCFDEBC/DE?
/?
;
平面平面,BCF/BCF?
DE/BC?
所以,的中点是中在等边三角形
(2),BCABCF15
1?
CFBF.①,
BC?
AF2三棱锥在BCFA?
2BC?
,中②
222?
CF?
BCCF?
BFBF2;
ABF平面?
BF?
F
结合
(2)可得(3)由
(1)可知GE//CF.
DFGGE?
平面?
131111131?
V?
DG?
FG?
GF?
DFGEDEG?
F?
33223233243?
4.如图,四棱锥P—ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°
,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点.
(1)证明:
EF∥面
PAD;
⊥)证明:
面PDC(2;
面PAD的体积.—ABCD)求四棱锥(3PAC,如图,连接4.
的中点,是为矩形且FBD∵ABCD分1必经过∴ACF
的中点,是又EPC16
所以,EF∥AP2分
∵EF在面PAD外,PA在面内,∴EF∥面PAD
(2)∵面PAD⊥面ABCD,CD⊥AD,面PAD面ABCD=AD,∴CD⊥面PAD,
又AP面PAD,∴AP⊥CD?
又∵AP⊥PD,PD和CD是相交直线,AP⊥面PCD
又AD面PAD,所以,面PDC⊥面PAD
(3)取AD中点为O,连接PO,
因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形,所以PO⊥面ABCD,
即PO为四棱锥P—ABCD的高
∵AD=2,∴PO=1,所以四棱锥P—ABCD的体21积?
AB?
AD?
PO
331.如图,三棱柱ABC-ABC中,侧棱垂直底1111面,∠ACB=90°
,AC=BC=AA,D是棱AA
11217
的中点⊥平面BDC)证明:
平面BDC(I1分此棱柱为两部分,求这两部(Ⅱ)平面BDC1.
分体积的比,AC⊥,BC⊥1.【解析】
(Ⅰ)由题设知BCCC1,面,∴?
BCA?
ACCACCCC?
CB11111又∵面,∴,DCDCA?
BCACC?
A11111由题,设知045ADC?
ADC?
11D
∴=,即,
0DC?
DCCDC?
9011B
C⊥∴,又∵C?
BCDC?
DC1A
,,∵面面BDCDCBDC?
11∴面⊥面;
BDCBDC1(Ⅱ)设棱锥的体积为,=1,由ACVDACCB?
111?
211=,题意得,=V11?
1223由三棱柱的体积=1,VCB?
AABC111∴=1:
1,∴平面分此棱柱为两部VV):
(VBDC111分体积之比为1:
1.
18