经典高考立体几何知识点和例题(理科学生用).doc
《经典高考立体几何知识点和例题(理科学生用).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经典高考立体几何知识点和例题(理科学生用).doc（28页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高考立体几何知识点总结
整体知识框架：
一、空间几何体
（一）空间几何体的类型
1多面体：
由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2旋转体：
把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二）几种空间几何体的结构特征
1、棱柱的结构特征
1.1棱柱的定义：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
图1-1棱柱
1.2棱柱的分类
棱柱底面是四边形
四棱柱底面是平行四边形
平行六面体侧棱垂直于底面
直平行六面体底面是矩形
长方体底面是正方形
正四棱柱棱长都相等
正方体
性质：
Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；
Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；
1.3棱柱的面积和体积公式
（是底周长，是高）
S直棱柱表面=c·h+2S底
V棱柱=S底·h
2、棱锥的结构特征
2.1棱锥的定义
（1）棱锥：
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：
如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2正棱锥的结构特征
Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；
Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
A
B
C
D
P
O
H
正棱锥侧面积：
（为底周长，为斜高）
体积：
（为底面积，为高）
正四面体：
对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题。
对棱间的距离为（正方体的边长）
正四面体的高（）
正四面体的体积为（）
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）
正四面体的外接球半径为，外接球半径为，外接球半径
3、棱台的结构特征
3.1棱台的定义：
用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
3.2正棱台的结构特征
（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；
（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；
（4）各侧棱的延长线交于一点。
4、圆柱的结构特征
4.1圆柱的定义：
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
4.2圆柱的性质
（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；
（2）过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。
4.3圆柱的侧面展开图：
圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
4.4圆柱的面积和体积公式
S圆柱侧面=2π·r·h（r为底面半径，h为圆柱的高）
S圆柱全=2πrh+2πr2
V圆柱=S底h=πr2h
5、圆锥的结构特征
5.1圆锥的定义：
以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
5.2圆锥的结构特征
（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
图1-5圆锥
（2）轴截面是等腰三角形；
（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：
l2=r2+h2
5.3圆锥的侧面展开图：
圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。
6、圆台的结构特征
6.1圆台的定义：
用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。
6.2圆台的结构特征
⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；
⑵圆台的截面是等腰梯形；
⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。
6.3圆台的面积和体积公式
S圆台侧=π·（R+r）·l（r、R为上下底面半径）
S圆台全=π·r2+π·R2+π·（R+r）·l
V圆台=1/3（πr2+πR2+πrR）h（h为圆台的高）
7球的结构特征
7.1球的定义：
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。
空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。
7-2球的结构特征
⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：
r2=R2–d2
★7-3球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：
⑴根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；
⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
⑷注意圆与正方体的两个关系：
球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
7-4球的面积和体积公式
S球面=4πR2（R为球半径）V球=4/3πR3
练习：
1）将直角三角形绕它的一边旋转一周,形成的几何体一定是（）
A．圆锥B．圆柱C．圆台D．上均不正确
2）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）
A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都可能
3）下左一图是一个物体的三视图,根据图中尺寸（单位：
cm）,计算它的体积为cm3.
二、典型例题分析
例1：
（几何体的侧面展开图）
如上左二图,长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从到点，沿着表面爬行的最短距离是多少．
练习：
1）如上右二图,四面体P-ABC中,PA=PB=PC=2,APB=BPC=APC=300.一只蚂蚁
从A点出发沿四面体的表面绕一周,再回到A点,问蚂蚁经过的最短路程是_________．
练习.1）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
（三）空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积：
各个面面积之和
圆柱的表面积：
圆锥的表面积：
圆台的表面积：
球的表面积：
扇形的面积公式（其中表示弧长，表示半径，表示弧度）
空间几何体的体积
柱体的体积：
锥体的体积：
台体的体积：
球体的体积：
（四）空间几何体的三视图和直观图
正视图：
光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：
光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：
光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
★画三视图的原则：
主视图反映了物体的上、下和左、右位置关系；俯视图反映了物体的前、后和左、右位置关系；侧视图反映了物体的上、下和前、后位置关系。
三个视图之间的投影关系为：
正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
注：
球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形
直观图：
斜二测画法
斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤
（1）建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；
（2）画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面；
（3）画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，且长度保持不变；平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度变为原来的一半；
（4）擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线（虚线）．
原视图与直观图的关系：
例1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
解析：
如图所示，点D1的投影为点C1，点D的投影为点C，点A的投影为点B.
答案：
D
练习：
（1）如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（）
（2）判断：
①水平放置的正方形的直观图可能是等腰梯形
②两条相交的线段的直观图可能是平行线段
③两条互相垂直的直线的直观图仍然垂直
④平行四边形的直观图仍为平行四边形
⑤长度相等的两线段直观图仍然相等
（3）三角形是边长为正三角形，求其直观图三角形的面积
（4）如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长和面积
（5）如上右图，用斜二测画法作ABC水平放置的直观图形得A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在ABC中，下列四个结论中正确的是（）
A．AB=BC=AC B．ADBCC．AC>AD>AB>BC D．AC>AD>AB=BC
空间几何体三视图（重点）
例1如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 （ ）
A．6 B．9C．12 D．18
解析：
由三视图可还原几何体的直观图如图所示．此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和宽均为3，高为的长方体，所求体积V＝3×3×＝9.
答案：
B
（2）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．48B．32＋8C．48＋8D．80
（3）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．π＋12B．π＋18
C．9π＋42D．36π＋18
【答案】
（1）C
（2）B
【解析】
（1）由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱（如图所示），所以该直四棱柱的表面积为S＝2××（2＋4）×4＋4×4＋2×4＋2××4＝48＋8.
（2）由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3、高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：
V＝V1＋V2＝×π×3＋3×3×2＝π＋18，故选B.
（3）.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）
A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12
【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。
本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
，，，，因此该几何体表面积，故选B。
例题：
1.一空间几何体的三视图如下右图所示,则该几何体的体积为（）.
A.B.C.D.
2、上中图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A.9π B.10πC.11πD．12π
3、若一个正三棱柱的体积为，其三视图如上左图所示，则这个正三棱柱的侧视图的面积为_______。
4.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为（C）
A．12πB.45πC.57πD.81π
二、典型例题
考点一：
三视图
2
2
侧（左）视图
2
2
2
正（主）视图
1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________.
俯视图
第1题
2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.
第2题第3题
3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为.
4．若某几何体的三视图（单位：
cm）如图4所示，则此几何体的体积是.
3
正视图
俯视图
1
1
2
左视图
a
第4题第5题
5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是，则.
6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：
cm），可得这个几何体的体积是.
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图
第6题第7题
7.若某几何体的三视图（单位：
）如图所示，则此几何体的体积是
8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为_________m3。
俯视图
正（主）视图
侧（左）视图
2
3
2
2
第7题第8题
9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.
10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该三棱柱的表面积为_____________.
俯视图
正视图
图10
11.如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为_____________.
图
图11图12图13
12.如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为_____________.
13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其表面积是_____________.
14.如果一个几何体的三视图如图14所示（单位长度:
）,则此几何体的表面积是_____________.
图14
15．一个棱锥的三视图如图图9-3-7，则该棱锥的全面积（单位：
）_____________.
正视图左视图俯视图
图1
二、点、直线、平面之间的关系
（一）、立体几何网络图：
公理4
线线平行
线面平行
面面平行
线线垂直
线面垂直
面面垂直
三垂线逆定理
三垂线定理
⑴
⑵
⑷
⑶
⑸
⑹
⑾
⑿
⒀
⒁
⑼
⑽
⒂
⒃
⑺
⑻
1.平面的基本性质
公理1若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.
根据上面的公理，可得以下推论.
推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.
2.等角定理及其推论
定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的角相等.
2.空间线面的位置关系
共面平行—没有公共点
（1）直线与直线相交—有且只有一个公共点
异面（既不平行，又不相交）
直线在平面内—有无数个公共点
（2）直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点
（直线在平面外）相交—有且只有一公共点
（3）平面与平面相交—有一条公共直线（无数个公共点）
平行—没有公共点
唯一性定理：
（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。
（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。
（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。
1、线线平行的判断方法：
1.中位线、证明平行四边形、相似边互相平行（初中的方法）、内错角同位角相等、平行公理等
2.线面平行的性质、面面平行的性质
3.线面垂直的性质：
垂直于同一平面的两直线平行。
4.向量法，证明
2、线线垂直的判断：
1.勾股定理2.正方形、菱形、圆等特点3.等腰、等边三角形的中线4.线面垂直和面面垂直的转化
补充：
一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
3、线面平行的判断：
如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
符号表示：
4.线面平行的性质：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
5、面面平行的判断：
一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
注：
垂直于同一条直线的两个平面平行
5、面面平行的性质：
性质定理：
1.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2.两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
★判断或证明线面平行的方法
⑴利用定义（反证法）：
，则∥α（用于判断）；
⑵利用判定定理：
线线平行线面平行（用于证明）；
⑶利用平面的平行：
面面平行线面平行（用于证明）；
⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行（用于判断）。
2线面斜交和线面角：
∩α=A
2.1直线与平面所成的角（简称线面角）：
若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。
图2-3线面角
2.2线面角的范围：
θ∈[0°，90°]注意：
当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；当直线垂直于平面时，θ=90°
4、线面垂直的判断：
判定定理如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
5.线面垂直性质：
（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：
（2）垂直于同一平面的两直线平行。
即：
推论：
6、面面垂直的判断：
一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
判定定理：
6、面面垂直的性质：
如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
图2-10面面垂直性质2
定义法：
若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；
★判断或证明线面垂直的方法
⑴利用定义，用反证法证明。
⑵利用判定定理证明。
⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。
★1.5三垂线定理及其逆定理
图2-7斜线定理
⑴斜线定理：
从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。
如图：
⑵三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面
α内的一条直线。
①三垂线定理：
若a⊥OA，则a⊥PA。
即垂直射影则垂直斜线。
②三垂线定理逆定理：
若a⊥PA，则a⊥OA。
即垂直斜线则垂直射影。
图2-8三垂线定理
⑶三垂线定理及其逆定理的主要应用
①证明异面直线垂直；
②作出和证明二面角的平面角；
③作点到线的垂线段。
（二）、其他定理：
（1）确定平面的条件：
①不共线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线或平行直线；
（5）最小角定理：
斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。
（6）异面直线的判定：
①反证法；
②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。
（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。
（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。
考点六线面、面面关系判断题
1．已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：
（1）α∥β，则l⊥m
（2）若l⊥m，则α∥β
（3）若α⊥β，则l∥m （4）若l∥m，则α⊥β
其中正确的是__________________.
2.是空间两条不同直线，是空间两条不同平面，下面有四个命题：
①②
③④
其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。
5.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：
①若且，则；②若且，则；
③若且，则；④若且，则；
其中真命题的序号是_________________.
练习
1.判断下面命题的正确的是
平行于同一直线的两平面平行.垂直于同一平面的两直线平行.
平行于同一平面的两直线平行.垂直于同一直线的两平面平行.
平行于同一平面的两平面平行.
升级会员 