三角函数最值问题的十种常见解法.docx

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三角函数最值问题的十种常见解法

三角函数最值问题的十种常见解法

[分析]利用

将原函数转化为

，令

，则

配方，得

当t=1时,即cosx=1时，

四.引入参数转化（换元法）

对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式

一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.

例4.求函数

的最大值.

[分析]解：

令

，设

则

，其中

当

五.利用基本不等式法

利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.

例5.已知

，求函数

的最小值.

[分析]此题为

型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.

设

，当且仅当

时等号成立.

六．利用函数在区间内的单调性

例6.已知

，求函数

的最小值.

[分析]此题为

型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.

设

，在（0，1）上为减函数，当t=1时，

.

七．转化部分分式

例7．求函数

的值域

[分析]此为

型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解.

解法一：

原函数变形为

，可直接得到：

或

解法一：

原函数变形为

或

八．数形结合

由于

，所以从图形考虑，点（cosx,sinx）在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得.

例8．求函数

的最小值.

[分析]法一：

将表达式改写成

y可看成连接两点A（2,0）与点（cosx,sinx）的直线的斜率.由于点（cosx,sinx）的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.

设过点A的切线与半圆相切与点B,则

可求得

所以y的最小值为

（此时

）.

法二：

该题也可利用关系式asinx+bcosx=

（即引入辅助角法）和有界性来求解.

九．判别式法

例9．求函数

的最值.

[分析]同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.

解：

时此时一元二次方程总有实数解

由y=3，tanx=-1，

由

十．分类讨论法

含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.

例10.设

，用a表示f（x）的最大值M（a）.

解：

令sinx=t,则

（1）当

，即

在[0，1]上递增，

（2）当

即

时，

在[0，1]上先增后减，

（3）当

即

在[0，1]上递减，

以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.

挑战自我：

1.求函数y=5sinx+cos2x的最值

2.已知函数

当函数y取得最大值时，求自变量x的集合.

3.已知函数

，求函数f（x）的最小正周期和最大值.

参考答案：

1.[分析]：

观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一.

2.[分析]此类问题为

的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为

型求解.

解：

f（x）的最小正周期为

，最大值为

.

3.[分析]在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式.

解：