高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合学案理北师大版.docx

高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合学案理北师大版.docx

《高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合学案理北师大版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合学案理北师大版.docx（40页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合学案理北师大版

2019-2020年高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合学案理北师大版

最新考纲

考情考向分析

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．

2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．

5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

7.能使用韦恩（Venn）图表达集合的基本关系及集合的基本运算.

集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩（Venn图），考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.

1．集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N＋（或N*）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都是集合B中的元素（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B（或B⊇A）

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB（或BA）

集合相等

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

3.集合的基本运算

运算

自然语言

符号语言

Venn图

交集

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

知识拓展

1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.

2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．A∩（∁UA）＝∅；A∪（∁UA）＝U；∁U（∁UA）＝A.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集．（　×　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　×　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　×　）

（4）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（　√　）

（5）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．（　√　）

（6）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×　）

题组二　教材改编

2．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U（A∪B）＝________.

答案　{x|x是直角}

3．已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．

答案　2

解析　集合A表示以（0,0）为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点

，

，则A∩B中有两个元素．

题组三　易错自纠

4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（　　）

A．5B．4C．3D．2

答案　C

解析　当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3，故选C.

5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x

答案　（3，＋∞）

解析　A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，

∵A⊆B，B＝{x|x3.

6．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.

答案　0或

解析　若a＝0，则A＝

，符合题意；

若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝

.

综上，a的值为0或

.

题型一　集合的含义

1．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.

答案　0或1

解析　若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；

若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；

若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；

当a＝－1时，不符合题意．

综上可知，a＝0或a＝1.

2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是（　　）

A．9B．8C．7D．6

答案　B

解析　当a＝0时，a＋b＝1,2,6；

当a＝2时，a＋b＝3,4,8；

当a＝5时，a＋b＝6,7,11.

由集合中元素的互异性知，P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11，共8个元素．

思维升华

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．

（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

题型二　集合的基本关系

典例

（1）设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是（　　）

A．5B．4C．3D．2

答案　B

解析　∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，

∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．

（2）已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x

________________________________________________________________________．

答案　[2018，＋∞）

解析　由x2－2019x＋2018<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

可得a≥2018.

引申探究

本例

（2）中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．

答案　（－∞，1]

解析　A＝{x|1

思维升华

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

跟踪训练

（1）已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（　　）

A.

或－

B．－

或

C.

或－

或0D．－

或

或0

答案　D

解析　由题意知，A＝{2，－3}．

当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；

当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝

，

由B⊆A，可得

＝－3或

＝2，

∴a＝－

或a＝

.

综上可知，a的值为－

或

或0.

（2）已知集合A＝

，B＝{x|x＋m2≥1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________________________．

答案　

∪

解析　因为y＝

2＋

，x∈

，

所以y∈

.又因为A⊆B，所以1－m2≤

，

解得m≥

或m≤－

.

题型三　集合的基本运算

命题点1　集合的运算

典例

（1）（xx·全国Ⅰ）已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则（　　）

A．A∩B＝{x|x<0}B．A∪B＝R

C．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝∅

答案　A

解析　∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．

又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．

故选A.

（2）（xx·山东）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于（　　）

A．（－1,1）B．（0,1）

C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）

答案　C

解析　∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1

∴A∪B＝（－1，＋∞），故选C.

命题点2　利用集合的运算求参数

典例

（1）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．－12

C．a≥－1D．a>－1

答案　D

解析　因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

（2）集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为（　　）

A．0B．1C．2D．4

答案　D

解析　由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.

（3）设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．

答案　（－∞，－1]∪{1}

解析　因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，

解得a<－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞，－1]∪{1}．

思维升华

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

跟踪训练

（1）（xx·天津）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C等于（　　）

A．{2}B．{1,2,4}

C．{1,2,4,6}D．{x∈R|－1≤x≤5}

答案　B

解析　A∪B＝{1,2,4,6}．

又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝{1,2,4}，

故选B.

（2）已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

A．[－1,2）B．[－1,3]

C．[2，＋∞）D．[－1，＋∞）

答案　D

解析　由x2－x－12≤0，得（x＋3）（x－4）≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A.

①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；

②当B≠∅时，有

解得－1≤m<2.

综上，m的取值范围为[－1，＋∞）．

题型四　集合的新定义问题

典例已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则AB中元素的个数为（　　）

A．77B．49

C．45D．30

答案　C

解析　如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{（x，y）||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{（－3，－3），（－3,3），（3，－3），（3,3）}之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.

思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．

跟踪训练定义一种新的集合运算△：

A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于（　　）

A．{x|3

C．{x|3

答案　B

解析　A＝{x|1

1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．－3∈AB．3∉B

C．A∩B＝BD．A∪B＝B

答案　C

解析　由题意知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故选C.

2．（xx·浙江）已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于（　　）

A．（－1,2）B．（0,1）C．（－1,0）D．（1,2）

答案　A

解析　∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，

∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．

故选A.

3．（xx届齐鲁名校协作体联考）已知集合A＝

，B＝{y|y＝2x}，则A∩B等于（　　）

A．（0,4]B．（0,1）

C．（0,1]D．[－4,1]

答案　B

解析　∵A＝{x|－4≤x<1}，B＝{y|y>0}，∴A∩B＝（0,1），故选B.

4．设集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　D

解析　由A＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1

B＝{x|2x－3>0}＝

，

得A∩B＝

＝

，故选D.

5．（xx·潍坊调研）已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{0,1}B．{1}

C．{1,2}D．{0,1,2}

答案　B

解析　因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．

6．（xx·郑州平顶山二模）已知复数f（n）＝in（n∈N＋），则集合{z|z＝f（n）}中元素的个数是（　　）

A．4B．3

C．2D．无数

答案　A

解析　复数f（n）＝in（n∈N＋），

可得f（n）＝

k∈N.

集合{z|z＝f（n）}中元素的个数是4.

7．（xx·全国Ⅱ）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于（　　）

A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}

答案　C

解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.

8．已知集合A＝{x|－1

A．（－∞，0]B．[0，＋∞）

C．（－∞，0）D．（0，＋∞）

答案　B

解析　用数轴表示集合A，B（如图），

由A⊆B，得a≥0.

9．（xx·广东、广西、福建十校联考）若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3（2－x）≤1}，则A∩（∁UB）＝________________.

答案　{x|x<－1或x≥2}

解析　集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，

∵log3（2－x）≤1＝log33，∴0<2－x≤3，

∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，

∴∁UB＝{x|x<－1或x≥2}，

∴A∩（∁UB）＝{x|x<－1或x≥2}．

10．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为__________．

答案　－

解析　∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－

或m＝1（舍去），

当m＝－

时，m＋2＝

≠3，符合题意，

∴m＝－

.

11．（xx·南阳模拟）设全集U＝R，集合A＝{x|y＝

}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B＝__________.

答案　（－∞，－1]∪（1，＋∞）

解析　因为A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y>1}，

所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}．

12．已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．

答案　[1，＋∞）

解析　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

13．已知集合A＝{x|1

A.

B.

C．（－∞，0]D．[0，＋∞）

答案　D

解析　∵A∩B＝∅，

①若当2m≥1－m，即m≥

时，B＝∅，符合题意；

②若当2m<1－m，即m<

时，

需满足

或

解得0≤m<

或∅，即0≤m<

.

综上，实数m的取值范围是[0，＋∞）．

14．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝______，n＝________.

答案　－1　1

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<1，

则B＝{x|m

15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

答案　6

解析　依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．

16．设集合M＝

，N＝

，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．

答案　

解析　由已知，可得

即0≤m≤

；

即

≤n≤1，当集合M∩N的长度取最小值时，M与N应分别在区间[0,1]的左、右两端．

取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝

，N＝

，所以M∩N＝

∩

＝

，此时集合M∩N的“长度”的最小值为

－

＝

.

2019-2020年高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词逻辑联结词学案文北师大版

最新考纲

考情考向分析

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2.理解全称量词和存在量词的意义．

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.

1．全称量词与存在量词

（1）常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等．

（2）常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．

2．全称命题与特称命题

（1）含有全称量词的命题叫全称命题．

（2）含有存在量词的命题叫特称命题．

3．命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

（2）p或q的否定：

非p且非q；p且q的否定：

非p或非q.

4．简单的逻辑联结词

（1）命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．

（2）简单复合命题的真值表：

p

q

綈p

綈q

p或q

p且q

真

真

假

假

真

真

真

假

假

真

真

假

假

真

真

假

真

假

假

假

真

真

假

假

知识拓展

1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

（1）p或q：

p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真．

（2）p且q：

p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假．

（3）綈p：

与p的真假相反，即一真一假，真假相反．

2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

3．命题的否定和否命题的区别：

命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）命题“3≥2”是真命题．（　√　）

（2）命题p和綈p不可能都是真命题．（　√　）

（3）若命题p，q中至少有一个是真命题，则p或q是真命题．（　√　）

（4）“全等三角形的面积相等”是特称命题．（　×　）

（5）命题綈（p且q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．（　×　）

题组二　教材改编

2．已知p：

2是偶数，q：

2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　B

解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．

3．命题“正方形都是矩形”的否定是______________________________．

答案　存在一个正方形，这个正方形不是矩形

题组三　易错自纠

4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p且q为假”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　由綈p为真知，p为假，可得p且q为假；反之，若p且q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件，故选A.

5．下列命题中，为真命题的是（　　）

A．任意x∈R，－x2－1<0

B．存在x∈R，x2＋x＝－1

C．任意x∈R，x2－x＋

>0

D．存在x∈R，x2＋2x＋2<0

答案　A

6．若“任意x∈

，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

答案　1

解析　∵函数y＝tanx在

上是增函数，

∴ymax＝tan

＝1.

依题意知，m≥ymax，即m≥1.

∴m的最小值为1.

题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

1．设命题p：

函数y＝log2（x2－2x）的单调增区间是[1，＋∞），命题q：

函数y＝

的值域为（0,1），则下列命题是真命题的为（　　）

A．p且qB．p或q

C．p且（綈q）D．綈q

答