勾股定理6.docx

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勾股定理6

执笔：

 陆小芸

审核：

八年级数学组

备课时间：

2016。

3。

1

授课时间：

2016。

3.13

勾股定理及逆定理（复习课）

班级:

八年级

姓名:

陆小芸

一、学习目标：

1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际

2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．

3.熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度．

重点：

掌握勾股定理以及逆定理的应用．

难点：

应用勾股定理以及逆定理．

考点一、已知两边求第三边

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为______．

2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

3．在数轴上作出表示

的点．

4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．

求①AD的长；②ΔABC的面积．

考点二、利用列方程求线段的长

1．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形

1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）3、4、5

（2）5、12、13（3）8、15、17

（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有

2.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2（a>b>0）,则这个三角形是.

3.如图1，在△ABC中，AD是高，且

，求证：

△ABC为直角三角形。

考点四、灵活变通

1.在Rt△ABC中，a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=

2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7

，8

，则以斜边为边长的正方形的面积为_________

．

3.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外

壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm

4.如图：

带阴影部分的半圆的面积是（

取3）

5.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是

6.如图：

在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，

则该地毯的长度至少是米。

考点五、能力提升

1.已知：

如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．

求证：

AB2-AC2=BC（BD-DC）．

2.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，

且

．你能说明∠AFE是直角吗？

3.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

三.随堂检测

1．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（ ）．

   A．1：

1：

1   B．1：

1：

2   C．1：

2：

3   D．1：

4：

1

2．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．

   A．6，7，8   B．5，6，7   C．4，5，6   D．3，4，5

3．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）．

A．

cm2   B．2cm2   C．3cm2    D．4cm2

4.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（　　）

A．6cm　　B．8．5cmC．30／13cmD．60／13cm

5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．

6.一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．

7.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿．

8.已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是．

9.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．

10.如图1所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?

11.已知：

如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．

求：

BD的长．

四.小结与反思

勾股定理复习学案

一、重点：

1、明确勾股定理及其逆定理的内容2、能利用勾股定理解决实际问题

二、知识小管家：

通过本章的学习你都学到了

三、练习：

考点一、已知两边求第三边

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________．

2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

3．在数轴上作出表示的点．

4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．

考点二、利用列方程求线段的长

5．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

6．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，

又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形

7、分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）3、4、5

（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有-----------

8、若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2（a>b>0）,则这个三角形是---------------.

9、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？

四、灵活变通

10、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为_________．

11、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外

壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm

12、．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，

高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？

13、如图：

带阴影部分的半圆的面积是-----------（取3）

14、若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形是______________________．

五、能力提升

15、已知：

如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．

求证：

AB2-AC2=BC（BD-DC）．

16、

如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，

且．你能说明∠AFE是直角吗？

复习第一步：

：

勾股定理的有关计算

例1：

（2006年甘肃省定西市中考题）下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为．

析解：

图中阴影是一个正方形，面积正好是直角三角形一条直角边的平方，因此由勾股定理得正方形边长平方为：

172-152=64，故正方形面积为6

勾股定理解实际问题

例2．（2004年吉林省中考试题）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：

cm）．其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆旗顶到地面的高度为220cm．在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．

析解：

彩旗自然下垂的长度就是矩形DCEF

的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，

得DE=

h=220-150=70（cm）

所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70cm

与展开图有关的计算

例3、（2005年青岛市中考试题）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．

　析解：

正方体是由平面图形折叠而成，反之，一个正方体也可以把它展开成平面图形，如图是正方体展开成平面图形的一部分，在矩形ACC’A’中，线段AC’是点A到点C’的最短距离．而在正方体中，线段AC’变成了折线，但长度没有改变，所以顶点A到顶点C’的最短距离就是在图2中线段AC’的长度．

　　在矩形ACC’A’中，因为AC=2，CC’=1

　　所以由勾股定理得AC’=．

∴从顶点A到顶点C’的最短距离为

复习第二步：

1．易错点：

本节同学们的易错点是：

在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形．

例4：

在Rt△ABC中，a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，求边长c．

错解：

因为a=6，b=10，根据勾股定理得c=

剖析：

上面解法，由于审题不仔细，忽视了∠B=90°，这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角边，错把c当成了斜边．

正解：

因为a=6，b=10，根据勾股定理得，c=

温馨提示：

运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用c2=a2+b2

例5：

已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是

错解：

因为Rt△ABC的两边长分别为3和4，根据勾股定理得:

第三边长的平方是32+42=25

剖析：

此题并没有告诉我们已知的边长4一定是直角边，而4有可能是斜边，因此要分类讨论．

正解：

当4为直角边时，根据勾股定理第三边长的平方是25；当4为斜边时，第三边长的平方为：

42-32=7，因此第三边长的平方为：

25或7．

温馨提示：

在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论．

例6：

已知a，b，c为⊿ABC三边，a=6，b=8，b

错解：

由勾股定理得c=

剖析：

此题并没有告诉你⊿ABC为直角三角形，因此不能乱用勾股定理．

正解：

由b

温馨提示：

只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条件中是否为直角三角形．

2．思想方法：

本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；

例7：

如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

析解：

因两直角边AC=6cm，BC=8cm，所以由勾股定理求得AB=10cm，设CD=x，由题意知则DE=x，AE=AC=6，BE=10-6=4，BD=8-x．在Rt△BDE由勾股定理得：

42+x2=（8-x）2，解得x=3，故CD的长能求出且为3．

运用中的质疑点：

（1）使用勾股定理的前提是直角三角形；

（2）在求解问题的过程中，常列方程或方程组来求解；（3）已知直角三角形中两边长，求第三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能确定时，要分类讨论．

复习第三步：

选择题

1．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（）．

A．1：

1：

B．1：

：

2C．1：

：

D．1：

4：

1

2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．

A．B．3C．D．

3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．

A．6，7，8B．5，6，7C．4，5，6D．3，4，5

4．下列各命题的逆命题成立的是（）

A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等

C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等

5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．

A．cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2

6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．

7．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（　　）

A．6cm　　B．8．5cmC．cmD．cm

8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）

A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm

9、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．

10．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．

11．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿．

12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线BE＝13，另一条中线AD2＝331，则AB＝＿＿＿．

13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．

14．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？

请你试一试．

15．如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?