高考数学二轮复习专题三不等式第1讲不等式的解法与三个二次.docx

高考数学二轮复习专题三不等式第1讲不等式的解法与三个二次.docx

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高考数学二轮复习专题三不等式第1讲不等式的解法与三个二次

第1讲　不等式的解法与三个“二次”的关系

[考情考向分析]　不等式是数学解题的重要工具，一元二次不等式是江苏考试说明中的C级内容，高考会重点考查．主要考查方向是一元二次不等式的解法及恒成立问题，其次考查不等式与其他知识的综合运用．

热点一　不等式解法

例1　

（1）（2018·江苏兴化一中模拟）已知定义在区间[－2,2]上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当－2≤x＜0时，f（x）＝x2－x，则不等式f（x）≤x的解集为_________．

答案　[1,2]

解析　当－2≤x＜0时，解f（x）≤x即x2－x≤x得0≤x≤2，舍去；

当0≤x＜2时，f（x）＝f（x－2）＝（x－2）2－（x－2），

解f（x）≤x得x2－7x＋6≤0,所以1≤x≤6，因此1≤x＜2；

当x＝2时，f

（2）＝f（0）＝f（－2）＝＜2.

综上，不等式f（x）≤x的解集为.

（2）解关于x的不等式（x－2）（ax－2）>0.

解　当a＝0时，原不等式可化为x－2<0，所以x<2.

当a≠0时，原不等式化为a（x－2）>0，

①当a>1时，<2，原不等式化为（x－2）>0，所以x<或x>2.

②当a＝1时，＝2，原不等式化为（x－2）2>0，所以x∈R且x≠2.

③当02，原不等式化为（x－2）·>0，则x<2或x>.

④当a<0时，<2，原不等式化为（x－2）<0，所以

综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；

当a>1时，原不等式的解集为；

当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}；

当0

当a<0时，原不等式的解集为.

思维升华　不等式的解法主要是两种：

一种是直接利用其解法直接求解，含参数的一元二次不等式要讨论二次项系数，判别式符号及两根大小；另一种方法是利用函数图象及性质求解．

跟踪演练1　

（1）已知函数f（x）＝则不等式f（x）≥x2的解集是________．

答案　[－1,1]

解析　依题意得或

⇒－1≤x≤0或0＜x≤1⇒－1≤x≤1.

（2）在R上定义运算⊙：

a⊙b＝ab＋2a＋b，则不等式x⊙（x－2）＜0的解集是____________．

答案　

解析　由题意得，x⊙（x－2）＝x（x－2）＋2x＋x－2，

解x（x－2）＋2x＋x－2<0，得－2

热点二　三个“二次”之间的关系

例2　已知函数f（x）＝x|x－a|，a∈R，g（x）＝x2－1.

（1）当a＝1时，解不等式f（x）≥g（x）；

（2）记函数f（x）在区间[0,2]上的最大值为F（a），

求F（a）的表达式．

解　

（1）由f（x）≥g（x），当a＝1时，

即解不等式x|x－1|≥x2－1.

当x≥1时，不等式为x2－x≥x2－1，

解得x≤1，所以x＝1；

当x<1时，不等式为x－x2≥x2－1，

解得－≤x≤1，所以－≤x<1.

综上，不等式f（x）≥g（x）的解集为.

（2）因为x∈[0,2]，当a≤0时，f（x）＝x2－ax，则f（x）在区间[0,2]上是增函数，所以F（a）＝f

（2）＝4－2a.

当0

而f＝，f

（2）＝4－2a，令f＜f

（2），

即＜4－2a，解得－4－4＜a＜－4＋4，

所以当0＜a＜4－4时，F（a）＝4－2a；

令f≥f

（2），即≥4－2a，

解得a≤－4－4或a≥－4＋4，

所以当4－4≤a<2时，F（a）＝.

当a≥2时，f（x）＝－x2＋ax，

当1≤<2，即2≤a<4时，f（x）在区间上是增函数，在上是减函数，则F（a）＝f＝；

当≥2，即a≥4时，f（x）在区间[0,2]上是增函数，

则F（a）＝f

（2）＝2a－4.

综上，F（a）＝

思维升华　三个“二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<0的情况转化为a>0时的情形．

跟踪演练2　

（1）已知m，n为实数，若关于x的不等式x2＋mx＋n＜0的解集为（－1,3），则m＋n的值为____________________________________________________________________．

答案　－5

解析　由题意得，－1,3为方程x2＋mx＋n＝0的两根，因此解得m＝－2，n＝－3，m＋n＝－5.

（2）（2018·江苏徐州三中月考）已知函数f（x）＝－x2＋ax＋b的值域为，若关于x的不等式f（x）>c－1的解集为，则实数c的值为________．

答案　－

解析　由题意得Δ＝0，a2＋4b＝0，

∴f（x）＝－2，由f（x）>c－1有解得c<1，

即2<1－c，－

因此－＝m－4，＋＝m＋1，

∴2＝5，c＝－.

热点三　一元二次不等式的综合问题

例3　

（1）（2018·镇江期末）已知函数f（x）＝x2－kx＋4对任意的x∈，不等式f（x）≥0恒成立，则实数k的最大值为________．

答案　4

解析　∵函数f（x）＝x2－kx＋4对任意的x∈，不等式f（x）≥0恒成立，

∴x2－kx＋4≥0，化简可得k≤x＋.

∵x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，

∴k≤4，

∴实数k的最大值为4.

（2）已知函数f（x）＝loga（x2－a|x|＋3）（a>0，且a≠1）．若对于－1≤x1

答案　（0,1）∪[2,4）

解析　易知已知函数为偶函数，

则当x∈时为减函数．

对于x∈，

f（x）＝loga（x2－ax＋3）（a>0，且a≠1），

设g（x）＝x2－ax＋3，

由题意得或

则2≤a<4或0

思维升华　

（1）二次不等式在R上的恒成立问题，可以利用判别式的符号解决；在某个区间上的恒成立问题，可以利用最值或者参变量分离解决．

（2）含多个变量的恒成立问题首先要清楚选谁为主元，一般地，求谁的范围，谁就是参数．

跟踪演练3　

（1）若不等式x2－kx＋k－1>0对x∈（1,2）恒成立，则实数k的取值范围是________．

答案　（－∞，2]

解析　不等式x2－kx＋k－1>0对x∈（1,2）恒成立可化为（1－x）k>1－x2对x∈（1,2）恒成立，

即k<1＋x对x∈（1,2）恒成立，

而函数y＝1＋x在（1,2）上为单调递增函数，

所以k≤1＋1＝2，

即实数k的取值范围是（－∞，2]．

（2）若关于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．

答案　

解析　方法一　设f（x）＝a|x|2－|x|＋2a，原不等式ax2－|x|＋2a<0的解集为∅，即f（x）≥0恒成立，

令t＝|x|，即g（t）＝at2－t＋2a在[0，＋∞）上恒有g（t）≥0，则或解得a≥.

方法二　当a＝0时，－|x|<0，不等式解集为{x|x≠0}，不满足题意；

当a≠0时，根据题意得

解得a≥.

综上所述，a的取值范围是.

1．（2018·江苏）函数f（x）＝的定义域为________．

答案　{x|x≥2}

解析　由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，

满足x＞0，

所以函数f（x）＝的定义域为{x|x≥2}．

2．已知函数f（x）＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．

答案　

解析　作出二次函数f（x）的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）<0，

则有

即解得－

3．已知a∈R，关于x的一元二次不等式2x2－17x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围为________．

答案　（30,33]

解析　二次函数f（x）＝2x2－17x＋a的对称轴为x＝，所以3个整数为3,4,5.所以

解得30

4．已知函数f（x）＝，x∈R，则不等式f（x2－2x）

答案　（1,2）

解析　由题意得f（x）＝作出其图象如图所示．

∵f（x2－2x）

∴

解得∴1

5．（2018·江苏省南京市金陵中学月考）已知0≤x≤2时，不等式－1≤tx2－2x≤1恒成立，则t的取值范围是________．

答案　

解析　当x＝0时，－1<0<1成立；

当0

因为＝－2＋1，所以max＝1，

则t≥1；①

因为＝2－1在上单调递增，

所以min＝2－1＝，则t≤；②

由①②可得，1≤t≤.

A组　专题通关

1．已知函数f（x）＝的定义域为A,2∉A，则a的取值范围是________．

答案　（1,3）

解析　∵2∉A，∴4－4a＋a2－1<0，

即a2－4a＋3<0，解得1

2．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________．

答案　（－∞，5a）∪（－a，＋∞）

解析　由x2－4ax－5a2>0，得（x－5a）（x＋a）>0，

因为a<0，所以x<5a或x>－a.

3．函数y＝的定义域是R，则实数k的取值范围为________．

答案　[0,1]

解析　由题意知，kx2＋4kx＋（k＋3）≥0的解集为R.

（1）当k＝0时，不等式为3≥0，成立．

（2）当k≠0时，kx2＋4kx＋（k＋3）≥0的解集为R等价于函数y＝kx2＋4kx＋（k＋3）的图象与x轴至多有一个公共点，且图象上的其他点总在x轴上方，

所以

解得0

综上，实数k的取值范围是[0,1]．

4．如果关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a的取值范围是________．

答案　[80,125）

解析　由5x2－a≤0，得－≤x≤，

而正整数解是1,2,3,4，

则4≤＜5，∴80≤a＜125.

5．若存在实数x∈[1,2]满足2x2－ax＋2>0，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，5）

解析　令f（x）＝2x2－ax＋2，若存在实数x∈[1,2]满足2x2－ax＋2>0，则f

（1）＞0或f

（2）＞0，即4－a＞0或10－2a＞0，即a＜4或a＜5，故a＜5，即实数a的取值范围是（－∞，5）．

6．已知函数f（x）＝则不等式f（f（x））≤3的解集为________．

答案　（－∞，]

解析　由题意得f（f（x））≤3⇒f（x）≥0或⇒f（x）≥－3⇒x＜0或⇒x≤.

7．关于x的不等式x2－4ax＋4a2＋a＋≤0对任意x∈R都不成立，则实数a的取值范围是________．

答案　（1，＋∞）

解析　由题意，不等式x2－4ax＋4a2＋a＋≤0的解集为∅，

则x2－4ax＋4a2＋a＋>0对任意x∈R恒成立，

∴Δ＝16a2－4<0，

即a＋>0，∴>0.

又∵a2－a＋1＝2＋>0恒成立，

∴a－1>0，即a>1.

8．已知对于任意的x∈（－∞，1）∪（5，＋∞），都有x2－2（a－2）x＋a>0，则实数a的取值范围是________．

答案　（1,5]

解析　令f（x）＝x2－2（a－2）x＋a，则当Δ＝4（a－2）2－4a<0，即10在R上恒成立，符合题意；当Δ≥0，即a≤1或a≥4时，函数f（x）的两个零点都在[1,5]上，

则

解得4≤a≤5.

综上，实数a的取值范围是（1,5]．

9．已知集合A＝{x|（x－6）（x－2a－5）＞0}，集合B＝{x|[（a2＋2）－x]·（2a－x）＜0}．

（1）若a＝5，求集合A∩B；

（2）已知a>，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

解　

（1）由集合A中的不等式（x－6）（x－15）＞0，

解得x＜6或x＞15，

即A＝（－∞，6）∪（15，＋∞），

集合B中的不等式为（27－x）·（10－x）＜0，

即（x－27）（x－10）＜0，解得10＜x＜27，

即B＝（10,27），∴A∩B＝（15,27）．

（2）当a＞时，2a＋5＞6，

∴A＝（－∞，6）∪（2a＋5，＋∞），

a2＋2＞2a，∴B＝（2a，a2＋2），

∵x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，∴B⊆A，

∴a2＋2≤6，∴＜a≤2.即实数a的取值范围是.

10．解关于x的不等式：

x2－（3a＋1）x＋3a>0（a∈R）．

解　x2－（3a＋1）x＋3a＞0（a∈R）等价于（x－3a）（x－1）＞0（a∈R）．

（1）当a＜时，3a＜1，∴x＜3a或x＞1；

（2）当a＝时，3a＝1，∴x≠1；

（3）当a＞时，3a＞1，∴x＜1或x＞3a；

综上，原不等式的解集

（1）当a＜时为（－∞，3a）∪（1，＋∞）；

（2）当a＝时为（－∞，1）∪（1，＋∞）；

（3）当a＞时为（－∞，1）∪（3a，＋∞）．

B组　能力提高

11．对任意x∈[－1,1]，函数f（x）＝x2＋（a－4）x＋4－2a的值恒大于零，则a的取值范围为________．

答案　（－∞，1）

解析　函数f（x）＝x2＋（a－4）x＋4－2a的对称轴为

x＝－＝.

①当<－1，即a>6时，f（x）在[－1,1]上单调递增，

f（x）的值恒大于零等价于f（－1）＝1＋（a－4）×（－1）＋4－2a>0，

解得a<3，故有a∈∅；

②当－1≤≤1，即2≤a≤6时，f（x）在[－1,1]上的最小值为f，

只要f＝2＋（a－4）×＋4－2a>0，

即a2<0，故有a∈∅；

③当>1，即a<2时，f（x）在[－1,1]上单调递减，

只要f

（1）＝1＋（a－4）＋4－2a>0，

即a<1，故有a<1.

综上，a的取值范围是（－∞，1）．

12．已知函数f（x）＝loga（a>0且a≠1）在上恒为正，则实数a的取值范围是________．

答案　∪

解析　设g（x）＝ax2－x＋，x∈，需满足g（x）＝ax2－x＋>0，即a>－，设h（x）＝－，则h′（x）＝·，

∵x∈，∴h′（x）≤0，h（x）在上单调递减，

∴max＝，

从而a>，可得函数g（x）＝ax2－x＋的对称轴为

x＝<1，

从而函数g（x）＝ax2－x＋在上单调递增，

当a>1时，函数f（x）在上单调递增，

∴f

（1）＝loga>0⇒a>，

当

∴f＝loga>0⇒

即

故答案为∪.

13．已知函数f（x）＝|x|＋|x－4|，则不等式f（x2＋2）＞f（x）的解集用区间表示为________．

答案　（－∞，－2）∪（，＋∞）

解析　函数f（x）的图象如图，可知图象关于直线x＝2对称．

因为x2＋2＞0且f（x2＋2）＞f（x），则必有

或

解得x∈（－∞，－2）∪（，＋∞）．

14．设函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R）．

（1）当b＝＋1时，求函数f（x）在区间[－1,1]上的最小值g（a）的表达式；

（2）已知函数f（x）在区间[－1,1]上存在零点，且0≤b－2a≤1，求实数b的取值范围．

解　

（1）当b＝＋1时，函数f（x）＝2＋1，

故其图象的对称轴为直线x＝－.

当－≥1，即a≤－2时，f（x）在[－1,1]上单调减，

g（a）＝f

（1）＝＋a＋2；

当－1≤－＜1，即－2

当－＜－1，即a>2时，f（x）在[－1,1]上单调增，

g（a）＝f（－1）＝－a＋2.

综上，g（a）＝

（2）设s，t为方程f（x）＝0的解，且－1≤t≤1，

则

因为0≤b－2a≤1，

所以≤s≤（－1≤t≤1）．

当0≤t≤1时，≤st≤，

设g（t）＝，则g′（t）＝，当t∈[0,1]时，g′（t）≤0，设h（t）＝，则h′（t）＝，

当t∈[0，－2）时，h′（t）＞0，当t∈（－2,1]时，h′（t）＜0.

所以－≤≤0，－≤≤9－4，

所以－≤b≤9－4.

当－1≤t＜0时，≤st≤，

因为当t∈[－1,0）时，g′（t）＞0，h′（t）＞0，

所以－2≤＜0和－3≤＜0，

所以－3≤b＜0.

故b的取值范围是[－3,9－4]．

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

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  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

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3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。