北师大版七年级数学下册16完全平方公式自主学习同步练习题2附答案.docx

北师大版七年级数学下册16完全平方公式自主学习同步练习题2附答案.docx

《北师大版七年级数学下册16完全平方公式自主学习同步练习题2附答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版七年级数学下册16完全平方公式自主学习同步练习题2附答案.docx（23页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

北师大版七年级数学下册16完全平方公式自主学习同步练习题2附答案

2021年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式自主学习同步练习题2（附答案）

1．下列运算正确的是（　　）

A．a2•a5＝a10B．（a﹣2）2＝a2﹣4

C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2）4＝a8

2．若x2﹣3x+1＝0，则

的值是（　　）

A．8B．7C．

D．

3．下列计算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6B．（x+y）2＝x2+y2

C．（a5÷a2）2＝a6D．（﹣3xy）2＝9xy2

4．下列运算正确的是（　　）

A．a﹣（b+c）＝a﹣b+cB．2a2•3a3＝6a5

C．a2+a2＝2a4D．（x﹣y）2＝x2﹣y2

5．若|x+y﹣5|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2的值为（　　）

A．19B．31C．27D．23

6．如图，有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片4张和长宽为a、b的长方形卡片4张，现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大的正方形边长为（　　）

A．a+3bB．2a+bC．a+2bD．4ab

7．如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为（　　）

A．a2+4ab+4b2B．4a2+8ab+4b2

C．4a2+4ab+b2D．a2+2ab+b2

8．如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（　　）

A．a+1B．a2+1C．a2+2a+1D．a+2

+1

9．若要使4x2+mx+

成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为（　　）

A．

B．

C．

D．

10．下列各式中，是完全平方式的是（　　）

A．x2+10x+100B．x2﹣10x+100C．x2﹣10x﹣25D．x2+10x+25

11．x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（　　）

A．22B．﹣22C．±22D．0

12．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x，y（其中x＞y）分别表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（　　）

A．x+y＝8B．x﹣y＝3C．x2﹣y2＝16D．4xy+9＝64

13．已知：

x+

＝3，则x2+

＝　　．

14．计算（3﹣a）2＝　　．

15．若|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2＝　　．

16．已知a+

＝

，则a2+

＝　　．

17．当n取正整数时，（1+x）n的展开式中每一项的系数可以表示成如下形式：

（1）观察上面数表的规律，若（1+x）6＝1+6x+15x2+ax3+15x4+6x5+x6，则a＝　　；

（2）（1+x）7的展开式中每一项的系数和为　　．

18．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为　　．

19．如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a，b的正确的等式　　．

20．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是　　．

21．已知：

关于x的二次三项式x2﹣8x+k是完全平方式，则常数k等于　　．

22．如果x2+2mx+4是完全平方式，则m的值是　　．

23．若x2+2（m﹣1）x+36是完全平方式，则m＝　　．

24．若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为　　．

25．已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．

26．阅读理解：

已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．

解：

∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．

∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．

参考上述过程解答：

（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝　　，（x+y）2＝　　；

（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．

27．观察例题，然后回答：

例：

x+

＝3，则x2+

＝　　．

解：

由x+

＝3，得（x+

）2＝9，即x2+

+2＝9

所以：

x2+

＝9﹣2＝7

通过你的观察你来计算：

当x+

＝6时，求下列各式的值：

①x2+

＝　　；

②（x﹣

）2＝　　．

28．

（1）已知关于x、y的多项式x2+kxy﹣y2+xy+3不含xy项，且满足2a+4b﹣k﹣3＝0，ab﹣2k＝0，求代数式a2+4b2的值；

（2）已知（2x2﹣2019）2+（2020﹣2x2）2＝4，求代数式（4x2﹣4039）2的值．

29．已知a+b＝5，ab＝﹣2．求下列代数式的值：

（1）a2+b2；

（2）2a2﹣3ab+2b2．

30．如图，图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．

（1）图②中的大正方形的边长等于　　，图②中的小正方形的边长等于　　；

（2）图②中的大正方形的面积等于　　，图②中的小正方形的面积等于　　；图①中每个小长方形的面积是　　；

（3）观察图②，你能写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式间的等量关系吗？

　　．

31．如图1，用4个相同边长是x，y的长方形和中间一个小正方形密铺而形成的大正方形．

（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x﹣y值为　　；则x+y的值为　　；

（2）若小长方形两边长为9﹣m和m﹣4，则大正方形的边长为　　；若满足（9﹣m）（m﹣4）＝4，则（9﹣m）2+（m﹣4）2的值为　　；

（3）如图2，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a，b，c三边的数量关系，并说明理由．

32．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：

方法1：

　　；方法2：

　　；

（2）观察图2，请你写出代数式：

（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系　　；

（3）根据

（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：

a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；

②已知（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，求（2020﹣a）（a﹣2019）的值；

③已知（a﹣2019）2+（a﹣2021）2＝8，则求（a﹣2020）2的值．

33．先阅读下面的内容，再解决问题

例题：

若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值

解：

∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0

∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0

∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0

∴m+n＝0，n﹣3＝0

∴m＝﹣3，n＝3

问题：

（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求y2的值；

（2）试探究关于x、y的代数式5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由

34．湘一“追逐梦想”数学兴趣小组编了一个“诗•远方”的计算程序，规定：

输入数据x，y时，若输出的是代数式称为“诗S”，若输出的是等式称为“远方M”．回答下列问题：

（1）当输入正整数x，y时，得到“远方M”和“诗S”，若“远方M”为2y＝x2﹣1，求证“诗S”：

2（x+y+1）是完全平方式．（温馨提示：

对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A＝B2的条件，则称A是完全平方式，比如（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是完全平方式．）

（2）当输入x，y时，求“远方M”：

x（x﹣1）+xy+y＝51的x，y的正整数解．

（3）若正数x，y互为倒数，求“诗S”：

S＝

的最小值．

35．将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方．则添加单项式的方法共有多少种？

请写出所有的式子及演示过程．

36．观察下面各式规律：

12+（1×2）2+22＝（1×2+1）222+（2×3）2+32＝（2×3+1）232+（3×4）2+42＝（3×4+1）2…

（1）请写出第2015行式子．

（2）请写出第n行式子，并证明你的结论．

（3）求证：

n（n+2）2（n+4）+4是整数的完全平方式．

37．把（x+3）（x+7）+4写成一个多项式的平方的形式．

参考答案

1．【解答】解：

A、a2•a5＝a7，故选项计算错误；

B、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故选项计算错误；

C、a6÷a2＝a4，故选项计算错误；

D、（﹣a2）4＝a8，故选项计算正确；

故选：

D．

2．【解答】解：

由x2﹣3x+1＝0，得x2+1＝3x，由题知，x不等于0，两边同除x得：

＝3…①，

又知

＝x2+2x•

+（

）2﹣2x•

＝（x+

）2﹣2＝（

）2﹣2…②

将①代入②得，

原式＝32﹣2＝7．

故选：

B．

3．【解答】解：

A、a2•a3＝a5，故选项错误；

B、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故选项错误；

C、（a5÷a2）2＝a6，故选项正确；

D、（﹣3xy）2＝9x2y2，故选项错误；

故选：

C．

4．【解答】解：

A、a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故本选项不符合题意；

B、2a2•3a3＝6a5，故本选项符合题意；

C、a2+a2＝2a4，故本选项不符合题意；

D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；

故选：

B．

5．【解答】解：

根据题意得，x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0，

∴x+y＝5，xy＝3，

∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，

∴x2+y2＝25﹣2×3＝25﹣6＝19．

故选：

A．

6．【解答】解：

设拼成后大正方形的边长为x，则a2+4ab+4b2＝x2，

则（a+2b）2＝x2，

∴x＝a+2b，

故选：

C．

7．【解答】解：

由题意，得a2+4ab+4b2

故选：

A．

8．【解答】解：

∵自然数a是一个完全平方数，

∴a的算术平方根是

，

∴比a的算术平方根大1的数是

+1，

∴这个平方数为：

（

+1）2＝a+2

+1．

故选：

D．

9．【解答】解：

∵（2x﹣

）2＝4x2﹣

x+

，或[2x﹣（﹣

）]2＝4x2+

x+

，

∴m＝﹣

或

．

故选：

A．

10．【解答】解：

当常数项为100时，一次项系数应该为±20，所以A、B错误；

在完全平方式中，常数项不可能为负数，所以C错误；

D符合完全平方公式，x2+10x+25＝（x+5）2，正确．

故选：

D．

11．【解答】解：

∵（x±11）2＝x2±22x+121，

∴在x2+ax+121中，a＝±22．

故选：

C．

12．【解答】解：

A、因为正方形图案的边长8，同时还可用（x+y）来表示，故此选项正确；

B、中间小正方形的边长为3，同时根据长方形长宽也可表示为x﹣y，故此选项正确；

C、根据A、B可知x+y＝8，x﹣y＝3，则x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝24，故此选项错误；

D、因为正方形图案面积从整体看是64，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），即4xy+4＝64，故此选项正确；

故选：

C．

13．【解答】解：

∵x+

＝3，

∴（x+

）2＝x2+2+

＝9，

∴x2+

＝7，

故答案为：

7．

14．【解答】解：

（3﹣a）2＝9﹣6a+a2．

故答案为：

9﹣6a+a2．

15．【解答】解：

∵|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，

∴x+y﹣4＝0，xy﹣3＝0，即x+y＝4，xy＝3，

则x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．

故答案为：

10．

16．【解答】解：

∵a+

＝

，

∴a2+

＝（a+

）2﹣2＝5﹣2＝3，

故答案为：

3．

17．【解答】解：

（1）由题意可得，

（1+x）6＝1+6x+15x2+ax3+15x4+6x5+x6，则a＝20；

（2）∵当n＝1时，多项式（1+x）1展开式的各项系数之和为：

1+1＝2＝21，

当n＝2时，多项式（1+x）2展开式的各项系数之和为：

1+2+1＝4＝22，

当n＝3时，多项式（1+x）3展开式的各项系数之和为：

1+3+3+1＝8＝23，

当n＝4时，多项式（1+x）4展开式的各项系数之和为：

1+4+6+4+1＝16＝24，

…

∴多项式（1+x）7展开式的各项系数之和＝27．

故答案为：

20，27．

18．【解答】解：

根据题意可得，四边形ABCD的面积

＝（a2+b2）﹣

﹣

b（a+b）

＝

（a2+b2﹣ab）

＝

（a2+b2+2ab﹣3ab）

＝

[（a+b）2﹣3ab]；

代入a+b＝10，ab＝20，可得：

四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．

故答案为：

20．

19．【解答】解：

由面积相等，得

（a+b）2＝a2+2ab+b2，

故答案为：

（a+b）2＝a2+2ab+b2．

20．【解答】解：

中间一项为加上或减去3x和2y积的2倍．

故k＝±12．

21．【解答】解：

∵二次三项式x2﹣8x+k是完全平方式，

∴k＝16．

故答案为：

16．

22．【解答】解：

∵x2+2mx+4是完全平方式，

∴2m＝±4，

解得：

m＝±2，

故答案为：

±2

23．【解答】解：

∵x2+2（m﹣1）x+36是完全平方式，

∴m﹣1＝±6，

解得：

m＝7或﹣5，

故答案为：

7或﹣5

24．【解答】解：

∵4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，

∴k＝±12，

故答案为：

±12

25．【解答】解：

∵a+b＝3，

∴a2+2ab+b2＝9，

∵ab＝2，

∴a2+b2＝9﹣2×2＝5；

∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5﹣2×2＝1．

26．【解答】解：

（1）∵x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，

∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，

∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝5﹣4＝1，

故答案为：

5，1；

（2）∵m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，

∴（m﹣p）2+n2＝（m﹣p+n）2﹣2（m﹣p）n＝100+24＝124．

27．【解答】解：

①x2+

＝（x+

）2﹣2，

把x+

＝6代入上式得：

原式＝36﹣2，＝34；

②（x﹣

）2＝（x+

）2﹣4，

把x+

＝6代入上式得：

原式＝62﹣4＝32．

故答案为：

34，32．

28．【解答】解：

（1）根据题意，k＝﹣1，2a+4b＝2，a+2b＝1，

又∵ab﹣2k＝0，

∴ab＝2k＝﹣2，

a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab＝1+8＝9．

（2）设2x2﹣2019＝m，2x2﹣2020＝n．

∴原式（2x2﹣2019）2+（2020﹣2x2）2＝4，即为m2+n2＝4，

求代数式（4x2﹣4039）2的值即为求（m+n）2．

又∵m﹣n＝1，

∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝4﹣2mn＝1．

∴2mn＝3．

因此，（m+n）2＝m2+n2+2mn＝4+3＝7．

29．【解答】解：

（1）∵a+b＝5，ab＝﹣2，

∴（a+b）2＝25，

则a2+b2+2×（﹣2）＝25，

故a2+b2＝29；

（2）2a2﹣3ab+2b2

＝2（a2+b2）﹣3ab

＝2×29﹣3×（﹣2）

＝64．

30．解：

（1）图②中的大正方形的边长等于m+n，图②中的小正方形的边长等于m﹣n；

故答案为：

m+n，m﹣n；

（2）图②中的大正方形的面积等于（m+n）2，图②中的小正方形的面积等于（m﹣n）2；图①中每个小长方形的面积是mn；

故答案为：

（m+n）2，（m﹣n）2，mn；

（3）由图②可得，（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式间的等量关系为：

（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn．

故答案为：

（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn．

31．【解答】解：

（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，

∴（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，

又∵x＞y＞0，

∴x+y＝6，x﹣y＝2，

故答案为：

2，6；

（2）大正方形的边长为x+y＝9﹣m+m﹣4＝5，

∵（9﹣m）（m﹣4）＝4，

∴（9﹣m）2+（m﹣4）2＝[（9﹣m）+（m﹣4）]2﹣2（9﹣m）（m﹣4）＝52﹣8＝17，

故答案为：

5，17；

（3）a，b，c三边的数量关系为a2+b2＝c2．理由如下：

由拼图可得，小正方形的边长为a﹣b，

由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，

（a﹣b）2+

ab×4＝c2，

即a2+b2＝c2．

32．【解答】解：

（1）方法1：

图2是边长为（a+b）的正方形，

∴S正方形＝（a+b）2；

方法2：

图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，

∴S正方形＝a2+b2+2ab．

故答案为：

（a+b）2；a2+b2+2ab；

（2）由

（1）可得：

（a+b）2＝a2+2ab+b2．

故答案为：

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（3）①∵a+b＝5，

∴（a+b）2＝25，

∴a2+b2+2ab＝25，

又∵a2+b2＝13，

∴ab＝6；

②设2020﹣a＝x，a﹣2019＝y，则x+y＝1，

∵（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，

∴x2+y2＝5，

∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，

∴xy＝

＝

＝﹣2，

即（2020﹣a）（a﹣2019）＝xy＝﹣2；

③设a﹣2019＝x，a﹣2021＝y，则x﹣y＝2，

∵（a﹣2019）2+（a﹣2021）2＝8，

∴x2+y2＝8，

∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，

∴xy＝

，

∵x﹣y＝2，即y＝x﹣2，

∴（a﹣2020）2＝（a﹣2000）（a﹣2000）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝3．

33．【解答】解：

（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，

∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0，

∴x﹣y＝0，y+2＝0，

x＝y＝﹣2．

∴y2＝（﹣2）2＝4；

（2）∵5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028

＝（4x2+9y2﹣12xy）+（x2﹣6x++9）+2019

＝（2x﹣3y）2+（x﹣3）2+2019．

∵（2x﹣3y）2≥0，（x﹣3）2≥0，

∴（2x﹣3y）2+（x﹣3）2+2019≥2019．

∴当2x﹣3y＝0，x﹣3＝0时，即当x＝3，y＝2时，代数式5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028有最小值2019．

34．【解答】解：

2y＝x2﹣1代入2（x+y+1），得

2（x+y+1）＝2x+2y+2＝2x+x2﹣1+2＝x2+2x+1＝（x+1）2

为完全平方式．

（2）∵x（x﹣1）+xy+y＝51

∴x2﹣x﹣2+xy+y＝49

（x+1）（x﹣2）+y（x+1）＝49

（x+1）（x+y﹣2）＝49

∵x，y都是正整数，

∴

或

解得

或

（舍去）

∴x，y的正整数解为6和3；

（3）∵正数x，y互为倒数，

∴xy＝1

S＝

＝

＝1﹣

当x+2y取最小值时，S有最小值，

∵x+2y≥2

＝2

即x＝

，y＝

S＝1﹣

＝1+2

﹣3＝2

﹣2．

答：

“诗S”：

S＝

的最小值为2

﹣2．

35．【解答】解：

添加的方法有5种，其演示的过程分别是（1分）

添加4x，得4x2+1+4x＝（2x+1）2；（2分）

添加﹣4x，得4x2+1﹣4x＝（2x﹣1）2；（3分）

添加4x4，得4x2+1+4x4＝（2x2+1）2；（4分）

添加﹣4x2，得4x2+1﹣4x2＝12；（5分）

添加﹣1，得4x2+1﹣1＝（2x）2．（6分）

36．【解答】解：

（1）根据题意得：

第2015个式子为20152+（2015×2016）2+20162＝（2015×2016+1）2；

（2）以此类推，第n行式子为n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．

证明：

左边＝n2+（n2+n）2+（n+1）2＝n4+2n3+3n2+2n+1

右边＝（n2+n+1）2＝n4+2n3+3n2+2n+1

所以n2+[n•（n+1）]2+（n+1）2＝[n•（n+1）+1]2；

（3）证明：

n（n+2）2（n+4）+4

＝（n+2﹣2）（n+2）2（n+2+2）+4

＝[（n+2）2﹣4]（n+2）2+4

＝（n+2）4﹣4（n+2）2+4

＝[（n+2）2﹣2]2，

故n（n+2）2（n+4）+4是整数的完全平方式．

37．【解答】解：

原式＝x2+10x+25＝（x+5）2