微分几何练习题库及参考答案已修改分解.docx
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微分几何练习题库及参考答案已修改分解
《微分几何》复习题与参考答案
、填空题
23*
1.极限lim[（3t1）i-tjk]=13i-8jk.
2「
2.设f（t）=（sint）itj,g（t）=（t1）iej，求lim0（f（t）g（t）^_0__.
3.已知2?
（t）dt二{—1,2,3},4?
（t）dt二{—2,1,2},3={2,1,1},b={l,-1,0}，则
46“
[孑咒r（t）dt+bJ2ar（t）dt={3,-9,5}.
4.已知,（t）=a（a为常向量），则r（t）二t：
c.
5.已知卜⑴,（a为常向量），则'（t）二^t2a-c.
6.最贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的切线和密切平面.
7.曲率恒等于零的曲线是_直线.
&挠率恒等于零的曲线是_平面曲线.
9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线
10.曲线r二'（t）在t=2处有¥=3*，则曲线在t=2处的曲率k=_3
11.若在点（Uo,Vo）处ru“V式0,则（Uo,Vo）为曲面的_正常点.
4d
12.已知f（t）=（2t）j（Int）k，g（t）二（sint）i-（cost）j，t0，贝U（fg）dt=2-6cos4.
0dt
13.曲线：
（t）—2t,t3,e「在任意点的切向量为’23『,小.
14.曲线7（t）二facosht,asinht,at?
在t=0点的切向量为「0,a,a?
.
15.
1y一一e
1
曲线7（t）-\acost,asint,bt?
在t=0点的切向量为：
0,a,b?
.
16.设曲线C:
xwlyretz^t2，当t=1时的切线方程为仃.设曲线x=dcost,y=£sint,z=et，当t=0时的切线方程为x-1=y=z-1.
18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是F=M=0_.
19.u—曲线（v—曲线）的正交轨线的微分方程是_Edu+Fdv=0（Fdu+Gdv=0）.__.
20.在欧拉公式人=k!
cos2k2sin2^中，二是的夹角.
21.曲面的三个基本形式，〔；山、高斯曲率、、平均曲率匚之间的关系是二-2H「K，0.
drj
22.已知r（u,v）=5+v,u—v,uv}，其中u=t2,v=sint，则一={2t+cost2tcs,2vt価st}.
dt
23.已知7acos「cos、acossin二asin*，其中即-t，二-12，贝U
dr（®8）『i
asincosv-2atcos’sinv,-asinsinv2atcos「cost,acos打.
dt
24.设r=r（u,v）为曲面的参数表示，如果22=0，则称参数曲面是正则的；如果r:
G>r（G）
是一一对应的，则称曲面是简单曲面.
25.如果u-曲线族和v-曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网.
26.平面7（u,v）=「u,v,0?
的第一基本形式为du2dv2，面积微元为dudv.
27.
悬链面r（u,v）-：
coshucosv,coshusinv,u］第一基本量是E=cosh2u,F=0,G=cosh2u.
30.双曲抛物面r（u,v）=ia（u-v）,b（u-v）,2uv?
的第一基本形式是
2222222222
（ab4v）du2（a-b4uv）dudv（ab4u）dv.
31.正螺面r（u,v）={ucosv,usinv,bv}的平均曲率为_0.
32.方向（d）=du:
dv是渐近方向的充要条件是kn（d）=0或Ldu22MdudvNdv2=0.
33.方向（d）二du:
dv和（®二8u:
&共轭的充要条件是
II（dr*,品=0或Ldu§uM（duSzdv§u）NdvW=0.
kE—L汗—M
34"是主曲率的充要条件是扎f_mZG-N“.
36.根据罗德里格斯定理，如果方向（d）=（du:
dv）是主方向，则
d：
=「knd‘，其中kn是沿方向（d）的法曲率.
37.旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面.
38.测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于（C）在P点的切平面二上的正投影曲线（C*）的曲率.
39.k,kg,kn之间的关系是k2=%2，kn2.
40.如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为_0
41.正交网时测地线的方程为
-Ev
ds
2Ej
du
cose
ds=
■7T
dv_
sinB
ds
■-
=cos——3=Sinn
G2G.E
42.
直线
曲线是曲面的测地线，曲线（C）上任一点在其切平面的正投影曲线是
、单项选择题
1.已知%）二A.d,0,1?
；B.
〈-1,0,1?
；C.9,1,1；D.
「1,0,-1.
2.已知r（tHr（t），
■为常数，贝Ur（t）为（C）.
A.ta；B.
1
扎a；c.「a；d.
e£.
其中a为常向量.
3.曲线（C）是一般螺线，以下命题不正确的是（D）.
A.切线与固定方向成固定角；B.副法线与固定方向成固定角；
C.主法线与固定方向垂直；D.副法线与固定方向垂直.
4.曲面在每一点处的主方向（A）
A.至少有两个；B.只有一个；C.只有两个；D.可能没有.
5.球面上的大圆不可能是球面上的（D）
A.测地线；B.曲率线；C.法截线；D.渐近线.•
6.已知?
（x,y）y,xy1，求dr（1,2）为（D）.
A.?
dx,dy,dx2dy』；B.、dxdy,dx-dy,O」；
C.?
dx-dy,dx+dy,0?
；D.\dx,dy,2dxdy?
.
7.圆柱螺线r7cost,sint,t?
的切线与z轴（C）.
A.平行；B.垂直；C.有固定夹角一；D.有固定夹角一.
43
8.设平面曲线C；=7（s）,s为自然参数，是曲线的基本向量.叙述错误的是（C）.
A.'为单位向量；B.?
-f；C.?
=-k^；D.?
=-k"：
亠八.
9.直线的曲率为（B）.
A.-1；B.0；C.1；D.2.
10.关于平面曲线的曲率C:
r='（s）不正确的是（D）.
A.k（s）=|
（s）|；B.k（s）=|舟（s）|，呼为睦（s）的旋转角；
C.k（s）=“；D.k（s）祁（s）|.
11.对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D）.
D.
12.下列论述不正确的是（D）.
A.：
叮均为单位向量；B.「T；c.四_弓；d.扎「
13.对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）.
A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；
C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.
t兀
14.x=a（t-sint）,y=a（1-cost）,z=4asin在点t的切线与z轴关系为（D）.
22
A.垂直；B.平行；C.成.的角；D.成'的角.
34
x2y2z2
15.椭球面—\厂1的参数表示为（c）.
abc
A.fx,y,「coscosrcossinr,sin1；
B.tx,y,zf=iacos'cos^bcos「sinv,sin:
；
C.lx,y,z}=（acos®cos日,bcos®sin日,csin；
D."xyZ='acoscos^,bsincoshesin2.
16.曲面T（u,v）—2u-v,u2•v2,u3-v3?
在点M（3,5,7）的切平面方程为（B）.
A.21x3y-5z20=0；B.18x3y-4z-41=0；
C.7x5y-6z-18=0；D.18x5y-3z16=0.
17.球面7（u,v）二：
Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu?
的第一基本形式为（D）.
A.R2（du2sin2udv2）；B.R2（du2cosh2udv2）；
C.R2（du2sinh2udv2）；D.R2（du2cos2udv2）.
18.正圆柱面：
（u,v）=：
Rcosv,Rsinv,u?
的第一基本形式为（C）.
A.du2dv2；B.du2-dv2；Cdu2R2dv2；D.du2-R2dv2.
佃.在第一基本形式为l（du,dv）=du2•sinh2udv2的曲面上，方程为u^vg^v二v2）的曲线段的弧长为（B）.
A.coshv2-coshv,；B.sinhv2-sinh*；
C.coshw-coshv2；D.sinhv（-sinhv2.
20.设M为正则曲面，贝UM的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）.
A.E=0；B.F=0；C.G=0；D.M=0.
21.高斯曲率为零的的曲面称为（A）.
A.极小曲面；B.球面；C.常高斯曲率曲面；D.平面.
22.曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）.
A.0；B.1；C.2；D.3.
三、判断题（正确打V,错误打x）
1.向量函数r-r（t）具有固定长度，则r（t）_r（t）.v
2.向量函数r-r（t）具有固定方向，则r（t^Jr（t）.V
3.向量函数r（t）关于t的旋转速度等于其微商的模X
4.曲线:
的曲率、挠率都为常数，则曲线:
是圆柱螺线•X
5.若曲线丨的曲率、挠率都为非零常数，则曲线-是圆柱螺线•V
6.圆柱面：
二{Rcos’Rsin，,z},z-线是渐近线.V
7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.X
&两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.V
9.等距变换一定是保角变换.V
10.保角变换一定是等距变换.X
11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.X
12.在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一.X
13.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线.V
14.在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向.V
15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量.X
16.曲面上的直线一定是测地线.V
17.微分方程A（u,v）du・B（u,v）dv=0表示曲面上曲线族.X
18.二阶微分方程A（u,v）du2B（u,v）dudvC（u,v）dv=0总表示曲面上两族曲线.X
19.坐标曲线网是正交网的充要条件是F=0，这里F是第一基本量.V
20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.V
21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.X
22.球面上的圆一定是测地线.X
23.球面上经线一定是测地线.V
24.测地曲率是曲面的内蕴量.V
四、计算题
1.求旋轮线x=a（t「sint）,y二a（1「cost）的0咗t乞2-一段的弧长.
解旋轮线：
（t）-、a（t-sint）,a（1-cost）.'的切向量为7（t）-'a-acost,asint』，则在0空t乞2_
2兀#2兀
段的弧长为：
s=r（t）dt二12a、、1-costdt=8a.
00
求曲线x=tsint,y=tcost,z"d在原点的切向量、主法向量、副法向量.
②求曲率
①求基本向量:
①7（t）=—asint,acost,b?
P（t）='-acost,「asint,Ol,
4.
有k=^,
求正螺面r（u,v）二：
ucosv,usinv,bvf的切平面和法线方程.
建-、cosv,sinv,o:
\建={-usinv,ucosv,b，切平面方程为
bsinvx-bcosuyuz-buv=0,法线方程为3°^J皿.
bsinv-bcosvu
5.求球面：
（「,R=、acos「cosr,acos「sin^asin宀上任一点处的切平面与法线方程.
解r.：
-\-asincos^,-asinsin\acos』,\-acos「sinr,acos「cos'O?
=a2cos和-coscost，-cossinn，-sin/
.球面上任意点的切平面方程为
:
x-acoscost,y-acos「sin3z-asin中.；a2cos'-cos'cost,-cossinv,-sinf二0,即cosvcos「xcos:
sinvysin「z_a=0,
法线方程为
2
（x-acos「costy-acos「sinv,z-asinJ=■acos「（-cos「cost,-cos'sinv,-sinJ,即x—acos「cosvy—acos'sinvz—asin「
cos®cos日cos申sin^sin®
6.求圆柱螺线x二acost,y=asint,z=t在点（a,0,0）处的密切平面.
解卉t）=£asinacdJ"（t）=〔ac0s,asitn,
所以曲线在原点的密切平面的方程为
x—ay—0z—0
-asintacost1=0,
-acost-asint0
即（sint）x-（cost）yaz-asint=0.
7.求旋转抛物面z=a（x2•y2）的第一基本形式.
解参数表示为：
（x,y）='x,y,a（x2寸丫,住—1,0,2axl,二=「0,1,2ay?
EJrx=14a2x2,F詁I=4a2xy,G捕£=14a2y2,
8.
I（dx,dy）=（14a2x2）dx28a2xydxdy（14a2y2）dy2.求正螺面7（u,v）=\ucosv,usinv,bv?
的第一基本形式.ru=、cosv,sinv,0爲「—usinv,ucosv,b?
E=ruru=1,F-rurv=0,G=rvrv=u2b2,I（du,dv）二du2（u2b2）dv2.
9.
计算正螺面^（u,v）-iucosv,usinv,bv?
的第一、第二基本量.
ruvinv,cosv,0<,咕=：
-ucosv,「usinv,0<,
ru-\cosv,sinv,0f,rv-〔-usinv,ucosv,bf,
ruu="O0,0r',
ETu=1,
—2b—2,N昭「0.
.b2u2
10•计算抛物面z=x2y2的高斯曲率和平均曲率.
解设抛物面的参数表示为?
（x,y）-\x,y,x2y2｝，则
2y
^-2x,-2y,1?
解直接计算知
E=1，F=0，
K2222222,
EG_F（1+4x）（1+4y）_（4xy）（4x+4y+1）
12.
求曲面z=xy2的渐近线.
化简得dy（2ydxxdy）=0，dy=0或2ydxxdy0
渐近线为y=G，x2y=C2
13.求螺旋面?
=、ucosv,usinv,bv』上的曲率线.
解:
二{cosv,sinv,0},[={—usinv,ucosv,b}
:
bsinv,-bcosv,u/让bsinv,-bcosv,u/
:
bsinv,-bcosv,u/
ruu=9,0,0?
ruv=1-sinv,cosv,01g=:
-ucosv,-usinv,0?
L=0,M,N=0
Jf+b
曲率线的微分方程为
积分得两族曲率线方程
v=ln（u.u2b2）c•和v=In（、u2b2_u）c2.
14.求马鞍面r二{u,v,u2-v2}在原点处沿任意方向的法曲率解ru={1,0口2古亍{0v,1,
E=（2=14u2,F=己亘--4uv,G=14v2
I二（14u2）du2-8uvdudv（14v2）dv2
n
「-2u,2v,1?
4u24v21
2
4u24v21
2
、14u24v2
du2
.14u24v2
dv2,
n
k==
knI
（du2_dv2）
71+4u2+4v2
2222（14u）du-8uvdudv（V4v）dv
15.求抛物面z=a（x2+y2）在（0,0）点的主曲率.解曲面方程即r={x,y,a（x2y2）},
rx={1,0,2ax},={0,1,2ay},E（0,0）=1,F（0,0）=0,G（0,0）=1,
rxx={0,0,2a},I={0,0,0},乙={0,0,2a},L（0,0）=2a,M（0,0）=0,N（0,0）=2a,2a-k0
代入主曲率公式，N=0,所以两主曲率分别为k^k^2a.
02a-kN
16.求曲面r={u,v,u2v2}在点（1,1）的主方向.
解：
=「1,0,2u扑0,1,2,E=14u2,F=4uv,G=14v2
E（1,1）=5,F（1,1）=4,G（1,1）=5;L-—22，M=0,N-=22=
P4u2+4v2+1（4u2+4v2+1
2
L（1,1）=N（1,1）,M（1,1）=0,代入主方向方程，得（dudv）（du-dv）=0,
3
即在点（1,1）主方向du:
dv=一1:
1;、u:
、v=1:
1.
17.求曲面r（u,v）工{u,v,u2•v3}上的椭圆点，双曲点和抛物点.解由r二{u,v,u2V3},得扛1,0,2u?
l=g,1,3v2?
rt=<0,0,2},rt={0,0,0},rt=S,0,6v},L=.22^=,M=0,N=t
V4u+9v+1V4u+9v+1
解因为正螺面的第一基本形式为Idu2（u2a2）dv2，螺旋线是正螺面的v-曲线u二比，
Uo~22•
Uoa
由一-得护0.由正交网的坐标曲线的测地曲率得_2；才
五、证明题
1.设曲线:
r=F（s）,证明：
⑴kt⑵（7』,0）=k2..证明⑴由伏雷内公式，得$=k-，^=-.二
两式作点积，得$-!
=-kL：
「■=-.k,k=-才t
⑵r=一:
:
?
r=:
f=k-,7=kI：
+kF=k）：
+k（-k：
+「）=-k2：
"*+k-：
+k「二（,』,^）=（』kd-k^c+kE+k』）=嵐kB,k』）=k4.
2.设曲线：
，异（s）,证明：
d,Mb=k3（k[-k）.
证明由伏雷内公式，得
（-k3+k-k2p+（2k+kl「）
）=-3k3k+2k3k+k^=k3（kl「k）
-?
ds也是一般螺线（R是曲线丨的曲率半径）.
r=7=k-，r=kI:
+k—k:
+k（_k：
+」）=_k27+k：
+k「m=-3kk：
"+（-k3+k-k2p+（2k+kI）4（舟JM）=（k"（-k2如#+k3）L（-3kk：
*+
=（k3+k^：
^L（-3kkH+（-k3+k-k2/-+（2k+k|）4
3.
证明
曲线丨：
r=;（s）是一般螺线，证明「：
;二r1二rI,d,s
两边关于s微商，得
:
:
■ds■二R二一-=R_：
i>r丄-Re
dsR
’L〔由于r是一般螺线，所以〒也是一般螺线.
4.
么淳）是一般螺线.
证明曲线r（t）二{asin（t）dt,acos（t）dt,bt}（a,b是常数）证明7（t）={asint（）a：
coS（b）
r（t）={^:
（t）cos（t）,~a:
（t）sin（t）,0},
：
（t）=a:
（t）{cos（t）,-sin（t）,0}a:
（t）2{—sin（t）,cos（t）,0}
3=$（t）|Ja2+b2,*：
r",r"）」-a2b旳）'，
b
a2b2
fir
a
3爲2「b2
ka
■__
■1'.
tb
5.曲面S上一条曲线（C）,P是曲线（C）上的正常点，k,kn,kg分别是曲线（C）在点P的曲率、法曲率与测地曲率，证明k2=kn2+kg2.
证明测地曲率kg二k-；-kl「（nJ）二k（：
"*,二X）二Qn-_ksinr.（二是主法向量［与法向量
n的夹角）
法曲率kn=k一：
n=kcosv
i2|2|2
.k=kn+kg.
6.证明曲线；-涪cost,etsint,0^的切向量与曲线的位置向量成定角.
证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为7-（tcost,Msint,0：
，该点切线的切向量为:
=；et（cost-sint）,et（sintcost）,0?
，贝U有:
故夹角为匸.
由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角.
7.证明：
若7和7•对一切t线性相关，则曲线是直线.
证明若r■和7对一切t线性相关，则存在不同时为0的f（t）,g（t）使
f（t）P（t）g（t）r（t）=0，贝U-t,：
（t）7（t^0,
又k（t）二'二，故-t有k（t）二0.于是该曲线是直线.
r'l
8.证明圆柱螺线x=acost,y=asint,z=bt的主法线和z轴垂直相交.
证明由题意有
F（t）-\-asint,acost,b',T（t）-\-acost,-asint,0?
，
由#=汽—叮卅知葩{—cost,-sint,0}.
nV
另一方面z轴的方向向量为a-\o,o,1，而a，=o，故a」
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