04直线与平面平行判定定理和性质定理教案教学设计导学案.docx
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04直线与平面平行判定定理和性质定理教案教学设计导学案
个性化教学辅导教案
学生姓名
年级
高二
学科
数学
上课时间
2017年月日
教师姓名
课题
人教A版必修2第二单元线面平行的判定和性质
教学目标
1．掌握线线平行、线面平行、面面平行的判定定理以及性质定理；
2．灵活应用相关知识解决实际问题．
教学过程
教师活动
学生活动
1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（ ）
A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对
答案：
C
2．能保证直线a与平面α平行的条件是（ ）
A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b
答案：
D
3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（ ）
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交D．异面或相交
答案：
B
4．如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A．MN∥PDB．MN∥PA
C．MN∥ADD．以上均有可能
答案：
B
5．正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．
答案：
平行
6．下列命题中正确的命题序号为________
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．
答案：
③④
7．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
答案：
平行四边形
8．过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
答案：
平行
9．如图所示，已知三棱柱A1B1C1ABC，E，E1分别是AC，A1C1的中点．
求证：
平面AB1E1∥平面BEC1.
证明：
由于AE∥E1C1，
因此四边形AE1C1E是平行四边形，则AE1∥EC1，
因为AE1⊄平面BEC1，EC1⊂平面BEC1，
所以AE1∥平面BEC1.
同理，B1E1∥平面BEC1.
又AE1∩B1E1＝E1，
由两平面平行的判定定理得，平面AB1E1∥平面BEC1.
10．如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
（1）BE∥平面DMF；
（2）平面BDE∥平面MNG.
证明：
（1）连接AE，
则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，
MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.
1．如图，已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和矩形ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：
PQ∥平面CBE.
[解] 证明：
作PM∥AB交BE于点M，
作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，
则PM∥QN，
＝
，
＝
.
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM∥QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：
（1）E，F，B，D四点共面；
（2）平面MAN∥平面EFDB.
[解] 证明：
（1）连接B1D1.
∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面．
（2）易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
又∵MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.
连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.
∴MF∥AD，MF＝AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE.
又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB.
3．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．
证明：
直线MN∥平面OCD.
[解] 证明：
如图，取OB的中点E，连接ME，NE，则ME∥AB.
又∵AB∥CD，
∴ME∥CD.
又∵ME⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，
∴ME∥平面OCD.
又∵NE∥OC，且NE⊄平面OCD，OC⊂平面OCD，∴NE∥平面OCD.
又∵ME∩NE＝E，且ME，NE⊂平面MNE，
∴平面MNE∥平面OCD.
∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面OCD.
4．如图所示，已知三棱锥ABCD被一平面所截，截面为▱EFGH，求证：
CD∥平面EFGH.
[解] 证明：
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，
∴EF∥CD.
又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
5．如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点．求证：
MN∥平面α.
[解] 证明：
过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，
连接MP，PN，BE，ED，AC.
∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，
平面AEDC∩β＝AC.
∵α∥β，∴AC∥DE.
又∵P，N分别为AE，CD的中点，
∴PN∥DE.∵PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α.
又∵M，P分别为AB，AE的中点，
∴MP∥BE.又∵MP⊄α，BE⊂α，
∴MP∥α.∵MP，PN⊂平面MPN，且MP∩PN＝P，
∴平面MPN∥α.
又∵MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.
6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中．
（1）求证：
平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：
A1E＝EF＝FC.
[解]
（1）证明：
因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，
AD∥B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.
又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，
AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
（2）如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，
即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.
一、直线与平面平行的判定
表示
定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行
⇒a∥α
二、平面与平面平行的判定
表示
位置
图形
文字
符号
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
⇒α∥β
三、线面平行的性质定理
表示
位置
图形
文字
符号
线面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则
过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
⇒a∥b
四、面面平行的性质定理
表示
位置
图形
文字
符号
面面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
⇒a∥b
【例1】如图，已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和矩形ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：
PQ∥平面CBE.
[解] 证明：
作PM∥AB交BE于点M，
作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，
则PM∥QN，
＝
，
＝
.
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM∥QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
【例2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：
（1）E，F，B，D四点共面；
（2）平面MAN∥平面EFDB.
[解] 证明：
（1）连接B1D1.
∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面．
（2）易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
又∵MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.
连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.
∴MF∥AD，MF＝AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE.
又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB.
【例3】如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．
证明：
直线MN∥平面OCD.
[解] 证明：
如图，取OB的中点E，连接ME，NE，则ME∥AB.
又∵AB∥CD，
∴ME∥CD.
又∵ME⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，
∴ME∥平面OCD.
又∵NE∥OC，且NE⊄平面OCD，OC⊂平面OCD，∴NE∥平面OCD.
又∵ME∩NE＝E，且ME，NE⊂平面MNE，
∴平面MNE∥平面OCD.
∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面OCD.
【例4】如图所示，已知三棱锥ABCD被一平面所截，截面为▱EFGH，求证：
CD∥平面EFGH.
[解] 证明：
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，
∴EF∥CD.
又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
【例5】如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点．求证：
MN∥平面α.
[解] 证明：
过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，
连接MP，PN，BE，ED，AC.
∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，
平面AEDC∩β＝AC.
∵α∥β，∴AC∥DE.
又∵P，N分别为AE，CD的中点，
∴PN∥DE.∵PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α.
又∵M，P分别为AB，AE的中点，
∴MP∥BE.又∵MP⊄α，BE⊂α，
∴MP∥α.∵MP，PN⊂平面MPN，且MP∩PN＝P，
∴平面MPN∥α.
又∵MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.
【例6】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中．
（1）求证：
平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：
A1E＝EF＝FC.
[解]
（1）证明：
因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，
AD∥B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.
又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，
AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
（2）如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，
即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.
1．如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：
BD∥平面FGH.
证明：
如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.
在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，
所以点O为CD的中点．
又因为点H为BC的中点，所以OH∥BD.
又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
2．如图所示，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．
求证：
平面AFH∥平面PCE.
证明：
因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC.
因为PC⊂平面PCE，FH⊄平面PCE，所以FH∥平面PCE.
又由已知得AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，而CE⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．
求证：
（1）直线EG∥平面BDD1B1；
（2）平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：
（1）如图，连接SB.
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，
EG⊄平面BDD1B1.
∴直线EG∥平面BDD1B1.
（2）连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，
且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
4．在长方体ABCDA′B′C′D′中，点P∈BB′（不与B，B′重合）．PA∩BA′＝M，PC∩BC′＝N，求证：
MN∥平面ABCD.
证明：
如图所示，
连接AC，A′C′，
∵ABCDA′B′C′D′是长方体，
∴AC∥A′C′.
又AC⊄平面BA′C′，
A′C′⊂平面BA′C′，
∴AC∥平面BA′C′.
又∵平面PAC过AC与平面BA′C′交于MN，
∴MN∥AC.
∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD.
5．如图所示，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA，PC，PD，取PD中点F，若有AF∥平面PEC，试确定E点的位置．
解：
取PC的中点G，连接GE，GF.如图．
由条件知GF∥CD，EA∥CD，
∴GF∥EA，则G，E，A，F四点共面．
∵AF∥平面PEC，平面GEAF∩平面PEC＝GE，
∴AF∥GE.∴四边形GEAF为平行四边形．
∵GF＝
CD，∴EA＝
CD＝
BA，∴E为AB的中点.
6．如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
（1）求证：
PQ∥平面DCC1D1；
（2）求PQ的长；
（3）求证：
EF∥平面BB1D1D.
解：
（1）证明：
如图所示．
连接AC，CD1，
∵P，Q分别是AD1，AC的中点，
∴PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1，
CD1⊂平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1.
（2）由
（1）易知PQ＝
D1C＝
a.
（3）证明：
取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
∴平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.
一、直线与平面平行的判定
表示
定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行
⇒a∥α
二、平面与平面平行的判定
表示
位置
图形
文字
符号
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
⇒α∥β
三、线面平行的性质定理
表示
位置
图形
文字
符号
线面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则
过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
⇒a∥b
四、面面平行的性质定理
表示
位置
图形
文字
符号
面面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
⇒a∥b
需注意几点：
1．对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义—判定定理—性质定理—应用”的顺序．其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用．
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为
在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
【经典例题剖析】
[典例1] （12分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：
当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
[解题流程]
[规范解答] [名师批注]
∴PQ∥DC.（3分）
又DC∥AB，
∴PQ∥AB且PQ＝AB，
∴四边形ABQP为平行四边形，
∴QB∥PA.（5分）
又PA⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，
∴BQ∥平面PAO.（7分）
连接BD，则O∈BD，
又∵O为DB的中点，P为D1D的中点，
∴PO∥D1B.（8分）
又∵PO⊂平面PAO，D1B⊄平面PAO，
∴D1B∥平面PAO.（10分）
又∵D1B∩BQ＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO.（12分）
【变式1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？
证明你的结论．
解：
在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
证明如下：
如图，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1C∥A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所以BG⊂平面A1BE.
因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B.因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG.而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.
[典例2] （12分）如图所示，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：
四边形BED1F是平行四边形．
[解题流程]
【变式2】已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：
AP∥GH.
证明：
连接AC，设AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．又M是PC的中点，
∴MO∥PA.又MO⊂平面BDM，
PA⊄平面BDM，
∴PA∥平面BDM.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，
∴AP∥GH.
1．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（ ）
A．b⊂平面αB．b∥α或b⊂α
C．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α
答案：
D
2．下列说法正确的是（ ）
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α
D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于α内的无数条直线
答案：
D
3．在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
答案：
D
4．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是（ ）
A．m∥l，l∥α⇒m∥α
B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β
C．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β
D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β
答案：
D
5．下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）
A．①③B．①④
C．②③D．②④
答案：
B
6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是（ ）
A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
C．若m⊂α，n⊂β，α∥β，且m，n共面，则m∥n
D．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β
答案：
C
7．已知a，b是两条异面直线，平面α过a且与b平行，平面β过b且与a平行，则平面α与平面β的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．异面D．平行或相交
答案：
A
8．在正方体A
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