平行四边行常考知识点同步练习二.docx
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平行四边行常考知识点同步练习二
19.2特殊的平行四边形
1．菱形具有而矩形不一定具有的特征是（）．
A．对角相等且互补B．对角线互相平分
C．一组对边平行，另一组对边相等;D．对角线互相垂直
知识点：
矩形、菱形、正方形的性质
知识点的描述：
矩形的性质：
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
菱形的性质：
菱形的四条边都相等
菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
正方形具有矩形和菱形的全部性质
解：
A只有矩形有，B和C菱形和矩形都有，D菱形具有而矩形不一定具有
答案：
D
1．下列说法正确的有（）
（1）矩形的对角线互相垂直
（2）正方形的面积是对角线的平方的一半
（3）菱形的对角线平分一组对角
（4）正方形是平行四边形也是菱形
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：
（1）不正确，菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定垂直。
正确的有
（2）（正方形是菱形）（3）（4），
答案：
C
2．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设有下列条件：
（1）AB=AD，
（2）∠DAB=90°，（3）BO=DO，AO=CO，（4）矩形ABCD，（5）菱形ABCD，（6）正方形ABCD，则下列推理中不成立的是（）．
知识点：
矩形、菱形、正方形的判定
知识点的描述：
矩形的判定一：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的判定二：
有三个角是直角的三角形是矩形
矩形的判定三：
对角线相等的平行四边形是矩形
菱形的判定一：
一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形的判定二：
四条边都相等的四边形是菱形
菱形的判定三：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形的判定：
既是矩形又是菱形的四边形是正方形
解：
A成立，一组邻边相等的矩形是正方形
B成立,一组邻边相等的平行四边形是菱形
C不成立,
D成立,一个直角的平行四边形是矩形
答案：
C
2．下列说法中：
（1）对角线互相平分互相垂直的四边形是矩形．
（2）对角线相等的四边形是矩形．
（3）对角线相等并且互相垂直的四边形是正方形．
（4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
正确的个数是（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：
（1）对角线互相平分互相垂直的四边形是菱形不一定是矩形
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形．
（2）对角线相等的四边形不一定是矩形（如图），对角线相等的平行四边形才是矩形
（3）对角线相等并且互相垂直的四边形不一定是正方形，如图
（4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
如图所示，在ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠2=∠3．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴AD=CD．
∴□ABCD为菱形．
答案：
A
3．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点D，∠AOD=120°，AB=4cm，那么矩形的对角线的长（）．
A.4cmB.2cmC.4
cmD.8cm
知识点：
矩形的性质
知识点的描述：
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
解：
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．
又∵OA=OC=
AC，OB=OD=
BD，
∴OA=OD．
∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=30°．
又∵∠DAB=90°，∴BD=2AB=2×4=8（cm）．
答案：
D
3．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF，求AE的长（）．
A.2B.3C.4D.6
解：
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°．
∵CE⊥EF，∴∠AEF+∠DEC=90°．
又∵∠AFE+∠AEF=90°，∴∠AFE=∠DEC．
∵EF=CE，∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE=DC．又∵矩形的周长为16，
∴2（AE+DE+DC）=16，即2AE+2=8．
∴AE=3．
答案：
B
4．如图所示的是我们熟悉的衣帽架，它是由三个菱形组成的，菱形的边长为20cm，
（1）当处于图
（1）所示的形状时，衣帽架总长为72cm，这时衣帽架的宽度是（）
（2）我们把衣帽架拉开，如图
（2）所示，使总长度变为96cm，则它的宽度变成了（）
A.
（1）16cm
（2）18cmB.
（1）32cm
（2）24cm
C.
（1）18cm
（2）16
cmD.
（1）16cm
（2）24cm
知识点：
菱形的性质
知识点的描述：
菱形的四条边都相等
菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
解：
（1）由图
（1）可以作出如图甲的图形．连接AC，BD，则BD=72÷3=24（cm），
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=
BD=
×24=12（cm），AC=2OA．
∵AB=20cm，
∴OA=
=16（cm）．
∴AC=2×16=32（cm）．
∴衣帽架的宽度是32cm．
（2）由图
（2）可以作出如图乙的图形，
连接AC，BD，则BD=96÷3=32（cm）．
由
（1）中方法可得OA=12cm，
∴AC=2×12=24（cm）．
∴衣帽架的宽度变成24cm．
答案：
B
4．在菱形ABCD中，∠DAB=120°，如果它的一条对角线长为12cm，求菱形ABCD的边长（）．
A.4
cmB.18cmC.12cmD.12cm或4
cm
解：
（1）若对角线AC=12cm，如图甲所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAC=
∠DAB，
AB=BC=CD=AD，AD∥BC．
∴∠DAC=∠ACB，∠DAB+∠B=180°．
∵∠DAB=120°，
∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=∠B=60°．
∴△ABC为等边三角形．
∴AB=AC=AC=12cm，即菱形ABCD的边长为12cm．
（2）若对角线BD=12cm，如图乙所示，连接AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，AD=CD=AB=BC，
∠BAO=∠DAO=
∠DAB，OA=
AC，OD=
BD．
∴∠DAB+∠ADC=180°，∠BAO=∠DCA，OD=6cm．
∵∠DAB=120°，
∴∠ADC=∠BAO=∠DAO=∠DCA=60°．
∴△ADC为等边三角形，∴AC=AD．
∴OA=
AD．设OA=x，则AD=2x．
∵AC⊥BD，∴AD2=AO2+OD2，
即（2x）2=x2+62．∴x=2
．
∴AD=2×2
=4
（cm）．
∴AD=CD=AB=BC=4
cm，即菱形的边长为4
cm．
综上所述，菱形的边长为12cm或4
cm．
答案：
D
5．如图所示，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线CE于点E，交∠BCA的外角平分线CF于点F．
（1）求证：
OE=OF．
（2）当O点运动到何处时，四边形AECF为矩形？
（）．
A.当O点运动到AC中点时B.当O点运动到EF中点时
C.当O点运动到A点时D.当O点运动到C点时
知识点：
矩形的判定
知识点的描述：
矩形的判定一：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的判定二：
有三个角是直角的三角形是矩形
矩形的判定三：
对角线相等的平行四边形是矩形
证明：
（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE．
又∵∠OCE=∠BCE，
∴∠OEC=∠OCE，∴EO=CO．
同理，FO=CO，∴OE=OF．
（2）∵CE，CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线，
∴∠OCE+∠OCF=
（∠ACB+∠ACD）=
×180°=90°，即∠ECF=90°．
而EO=OF，
∴当O点运动到AC中点时，AO=CO，
四边形AECF为平行四边形，
∴O是AC中点时，四边形AECF为矩形．
答案：
A
5．如图所示，从△ABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（）
A.直角三角形B.等腰三角形
C.∠BAC=150°D.∠BAC=90°
解：
（1）四边形ADEF是平行四边形．
∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°．
∴∠DBE=60°-∠EBA，∠ABC=60°-∠EBA．∴∠DBE=∠ABC．
∴△DBE≌△ABC，∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF，∴DE=AF．
同理，可以说明AD=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90°．
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°．
∴当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
答案：
C
6．如图所示，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，EM⊥AC于M，FN⊥AB于N，EM与FN相交于点Q，那么四边形PEQF是菱形还是矩形？
说明你的理由．（）
A.是矩形B.是菱形
知识点：
菱形的判定
知识点的描述：
菱形的判定一：
一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形的判定二：
四条边都相等的四边形是菱形
菱形的判定三：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
解：
四边形PEQF是菱形．理由如下：
∵PE⊥AB，FN⊥AB，
∴PE∥FN．
同理，PF∥EM．
∴四边形PEQF是平行四边形．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠BEP=∠CFP=90°．
又∵BP=CP，∴△BEP≌△CFP（AAS）．
∴PE=PF．
∴四边形PEQF是菱形．
答案：
B
6．如图所示，□ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD，BC，AC分别交于点E，F，O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？
为什么？
A.是B.不是
解：
四边形AFCE是菱形．
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=EC．
同理，AF=FC．
∴∠1=∠3．
又∵AE∥FC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
又∵CO⊥EF，
∴∠COF=∠COE=90°，
∴△COF≌△COE．
∴CF=CE．
∴AE=EC=CF=FA．
∴四边形AFCE是菱形．
答案：
A
7．如图所示，AB，CD交于点E，AD=AE，CE=BC，F，G，H分别是DE，BE，AC的中点．
（1）求证：
AF⊥DE．
（2）∠HFG和∠FGH的关系（）．
A.∠HFG=∠FGH．B.∠HFG和∠FGH互余
C.∠HFG和∠FGH互补D.∠HFG和∠FGH没有必然的联系
知识点：
直角三角形的性质
知识点的描述：
直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半
解：
（1）∵F为DE中点．
∴AF为△ADE的高．
∵AD=AE，∴AF⊥DE．
（2）连接CG．
∵CB=CE，G为BE中点，∴CG⊥BE．
∴∠AFC=∠AGC=90°．
∵H为AC中点，
∴FH=
AC，GH=
AC．
∴FH=GH．
∴∠HFG=∠FGH．
答案：
A
7．已知直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，求斜边上的中线长（）．
A.8cmB.6cmC.10cmD.5cm
解：
在△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．
∴AC2+BC2=AB2．
∴AB=
=10（cm）．
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=
AB=
×10=5（cm）．
答案：
D
8、如图，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）。
A.6B.8C.10D.8
知识点：
正方形的性质
知识点的描述：
正方形具有矩形和菱形的全部性质
解：
联结NB，可以证明无论N在什么位置，DN=BN
所以联结BM,即为DN+MN的最小值
在Rt△MCB中求得BM=10
答案：
C
8、如图，正方形ABCD的边长为3
，AC、BD相交于O。
M是BC上的任意一点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F，求ME+MF的长（）
A.3B.3
C.6D.2
解：
联结OM
S△OBC=
S正方形ABCD=
（3
）2=
Rt△OCB中,OB=OC,BC=3
∴OB=OC=3
∵S△OBC=S△OBM+S△OMC
∴
=
×OB×ME+
×OC×MF
∴
=
×ME+
×MF
∴ME+MF=3
答案：
A
9．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，E为BC中点，AE⊥BC，垂足为E，求菱形ABCD的面积（）
A.16B.12C.8
D.12
知识点：
菱形的面积
知识点的描述：
菱形的面积有两种计算方法：
（1）两条对角线乘积的一半，
（2）底乘以高
解：
连接AC，BD，设AC和BD相交于点O．
∵AE⊥BC，且AE平分BC，
∴△ABC和△ADC都是正三角形．
∴AB=AC=4．
∵△ABO为直角三角形，∴BD=4
．
∴菱形ABCD的面积为8
．
注：
本题当然也可以采用第二种方法。
答案：
C
9．如图所示，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积（）．
A.130cm2B.125cm2C.120cm2D.115cm2
解：
∵四边形ABCD为菱形，∴∠AED=90°．
∵DE=
BD=
×10=5（cm），
∴AE=
=12（cm）．
∴AC=2AE=2×12=24（cm）．
∴S菱形ABCD=
BD·AC=
×10×24=120（cm2）．
答案：
C
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．四边形DECF（）
A.一定是平行四边形B.有可能是菱形C.有可能是矩形D.有可能是正方形
知识点：
直角三角形的性质
知识点的描述：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
解：
∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE为△ACB的中位线，
∴DE∥BC．
∵CE为Rt△ACB的斜边中线，
∴CE=
AB=AE．
∴∠A=∠ACE．
又∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ACE．
∴DF∥CE．
∴四边形DECF为平行四边形．
答案：
A
10．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，△EDF是（）．
A.等腰三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.等腰直角三角形
解：
连接CD．则CD⊥AB
∵在Rt△ABC中，AD=BD，
∴CD=
AB=AD．
∵AC=BC，∴∠A=45°．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形PECF为矩形．
∴CF=PE=AE．
又∵CD=AD，
∴∠ACD=∠BCD=45°．
∴△AED≌△CFD（SAS）．
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF
∴∠EDF=90°
∴△EDF是等腰直角三角形
答案：
D
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