北师大版数学八年级上《第一章勾股定理》单元测试含答案解析.docx
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北师大版数学八年级上《第一章勾股定理》单元测试含答案解析
勾股定理测试
时间：
100分钟总分：
100
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.在中，，，BC边上的高，则另一边BC等于
A.10B.8C.6或10D.8或10
2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，，，且AC：
：
3，那么AC的长为
A.B.C.3D.4
3.
如图，以为直径分别向外作半圆，若，，则
A.2
B.6
C.
D.
4.直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：
4，那么这个直角三角形的周长为
A.27cmB.30cmC.40cmD.48cm
5.如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为
A.
B.
C.
D.
6.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为
A.8B.9C.10D.11
7.已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为
A.4B.16C.D.4或
8.
“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为
A.3B.4C.5D.6
9.如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为
A.B.C.D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.
如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为______．
12.
在中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______．
13.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______元钱．
14.如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入填“能”或“不能”．
15.
如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为______．
16.
如图，矩形ABCD中，，，点E是BC边上一点，连接AE，把沿AE折叠，使点B落在点处当为直角三角形时，的长为______．
17.
如图，等腰中，，AD是底边上的高，若，，则______cm．
18.课本中有这样一句话：
“利用勾股定理可以作出，，线段如图所示”即：
，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；以此类推，得______．
19.
如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．
20.
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处若，，则点E的坐标是______．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
21.如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．
求梯子顶端与地面的距离OA的长．
若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．
22.
如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，，，E、F分别为垂足，若，，求AP的长．
23.如图所示，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠点B 落在E点，AE交DC 于F点，已知，求折叠后重合部分的面积．
24.
已知如图，四边形ABCD中，，，，，，求这个四边形的面积．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
25.
如图，过点的两条直线，分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知．
求点B的坐标；
若的面积为4，求直线的解析式．
26.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且．
将绕着点A顺时针旋转，得到如图，求证：
≌；
若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，如图，求证：
．
答案和解析
【答案】
1.C2.D3.A4.D5.A6.C7.D
8.C9.C10.C
11.24
12.13或
13.612
14.能
15.10
16.2或
17.4
18.
19.8
20.
21.解：
米；
米，米．
22.
解：
连接PC
四边形ABCD是正方形，
，，
，
≌，分
，分
四边形ABCD是正方形，
，
，，
四边形PFCE是矩形，分
，分
，
在中，，
，分
分
23.解：
四边形ABCD是矩形，
，，
将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
设，则，
在中，，即，
解得：
，即，
折叠后重合部分的面积．
24.解：
连接AC，如图所示：
，为直角三角形，
又，，
根据勾股定理得：
，
又，，
，，
，
为直角三角形，，
则．
25.解：
点，
点B的坐标为；
的面积为4
，即
设的解析式为，则
，解得
的解析式为
26.证明：
绕着点A顺时针旋转，得到，
，，，，
，
，
即，
在和中，，
≌；
证明：
将将绕着点A顺时针旋转，得到，连接GM，如图所示：
四边形ABCD是正方形，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，，
．
【解析】
1.
解：
根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，，，，
在和中，
根据勾股定理得：
，，
此时；
如图2所示，，，，
在和中，
根据勾股定理得：
，，此时，
则BC的长为6或10．
故选C．
分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
2.解：
四边形ABCD是平行四边形，
，，
：
：
3，
：
：
3，设，，
，
，即，解得，
，
，
．
故选D．
本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用平行四边形的性质解决问题，学会设未知数，把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型根据平行四边形的性质可知，，，由AC：
：
3，推出OA：
：
3，设，，在中利用勾股定理即可解决问题．
3.解：
，；
；
；
，
故．
故选A．
根据勾股定理，得：
，再根据圆面积公式，可以证明：
即．
注意根据圆面积公式结合勾股定理证明：
，即直角三角形中，以直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积．
4.解：
根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，
根据勾股定理得：
，
整理得：
，
解得：
，
两直角边分别为12cm，16cm，
则这个直角三角形的周长为．
故选D
根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．
此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
5.
解：
的面积，
由勾股定理得，，
则，
解得，
故选：
A．
根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
6.解：
由于a、b、c都是正方形，所以，；
，即，
在和中，
，
≌，
，；
在中，由勾股定理得：
，
即，
的面积为10，
故选C．
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明≌，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明≌．
7.解：
当3和5都是直角边时，第三边长为：
；
当5是斜边长时，第三边长为：
．
故选：
D．
此题要分两种情况：
当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
8.【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【解答】
解：
由图可知，直角三角形的斜边长为即为大正方形的边长，
根据勾股定理可知大正方形的面积为，
，即，
，
小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积．
故选C．
9.
解：
当筷子与杯底垂直时h最大，h最大．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：
此时，，
故．
故h的取值范围是．
故选C．
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
10.试题分析：
根据对称性可知：
，，又，所以∽，根据相似的性质可得出：
，，在中，由勾股定理可求得AC的值，，，将这些值代入该式求出BE的值．
设BE的长为x，则、
在中，
，
∽两对对应角相等的两三角形相似
，，
，
故选：
C．
11.
解：
作辅助线：
连接AB，
因为是直角三角形，所以，
因为，所以是直角三角形，
则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，
即．
先连接AB，求出AB的长，再判断出的形状即可解答．
巧妙构造辅助线，问题即迎刃而解综合运用勾股定理及其逆定理．
12.解：
若12为直角边，可得5为直角边，第三边为斜边，
根据勾股定理得第三边为；
若12为斜边，5和第三边都为直角边，
根据勾股定理得第三边为，
则第三边长为13或；
故答案为：
13或．
分两种情况考虑：
若12为直角边，可得出5也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；若12为斜边，可得5和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．
此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
13.
解：
由勾股定理，．
则地毯总长为，
则地毯的总面积为平方米，
所以铺完这个楼道至少需要元．
故答案为：
612．
地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．
本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
14.
解：
可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意，得，
，
因为，所以能放进去．
故答案是：
能．
在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．
本题考查了勾股定理的应用解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．
15.
解：
连接AD，
是等腰三角形，点D是BC边的中点，
，
，解得，
是线段AB的垂直平分线，
点B关于直线EF的对称点为点A，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：
10．
连接AD，由于是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16.解：
当为直角三角形时，有两种情况：
当点落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，在中，，，
，
沿AE折叠，使点B落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点A、、C共线，即沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点处，
，，
；
当点落在AD边上时，如答图2所示．
此时为正方形，
，
，
中，
．
综上所述，BE的长为2或．
故答案为：
2或．
当为直角三角形时，有两种情况：
当点落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、、C共线，即沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出x．
当点落在AD边上时，如答图2所示此时为正方形．
本题考查了折叠问题：
折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等也考查了矩形的性质以及勾股定理注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
17.【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理关键要熟知等腰三角形的三线合一可得先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．
【解答】
解：
根据等腰三角形的三线合一可得：
，在直角中，
由勾股定理得：
，
所以，．
故答案为4．
18.解：
为直角三角形，，，
；
为直角三角形，，，
；
，
．
故答案为：
．
利用勾股定理分别求出各边长，进而得出每个斜边的长的规律，进而得出答案．
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是反复利用勾股定理，依次递进，逐步求出每个斜边的长．
19.解：
连接AD交EF与点，连结AM．
是等腰三角形，点D是BC边的中点，
，
，解得，
是线段AB的垂直平分线，
．
．
当点M位于点处时，有最小值，最小值6．
的周长的最小值为．
连接AD交EF与点，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
20.解：
设，则，
由题意可得，，
，，
，
解得，，
设，
∽，
，
即，得，
即，
点E的坐标为，
故答案为．
根据题意可以得到CE、OF的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标．
本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21.已知直角三角形的斜边和一条直角边，可以运用勾股定理计算另一条直角边；
在直角三角形OCD中，已知斜边仍然是5，，再根据勾股定理求得OD的长即可．
能够运用数学知识解决实际生活中的问题，考查了勾股定理的应用．
22.要求AP的长，根据已知条件不能直接求出，结合已知，发现可以求出EF的长，也就是求出了CP的长当连接CP时，可以证明≌，然后根据全等三角形的性质可以得到，这样就求出了AP的长；
解答本题要充分利用正方形的特殊性质，利用它们得到全等三角形，然后根据全等三角形的性质把AP和CP联系起来．
23.此题考查了折叠的性质及全等三角形的判定与性质，关键是证明≌，得出，，另外要熟练掌握勾股定理在直角三角形的中的应用，难度一般先证明≌，得出，，设，在中利用勾股定理可得出x的值，进而根据三角形的面积公式可求出折叠后重合部分的面积．
24.连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积直角三角形ABC的面积直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
25.先根据勾股定理求得BO的长，再写出点B的坐标；
先根据的面积为4，求得CO的长，再根据点A、C的坐标，运用待定系数法求得直线的解析式．
本题主要考查了两条直线的交点问题，解题的关键是掌握勾股定理以及待定系数法注意：
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，反之也成立．
26.由旋转的性质得出，，，，证出，由SAS即可得出≌；
连接GM，由正方形的性质和已知条件得出，得出，得出，因此，由勾股定理得出，再由，即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
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