9.用反证法证明：
等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：
△ABC，AB=AC.
求证：
∠B，∠C必定是锐角．
三、提高训练
10.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．
（1）想想看，你能得到什么结论？
（2）若过点O作一直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F．则图
（2）中有几个等腰三角形？
线段EF和EB、FC之间有怎样的关系？
（3）若∠ABC≠∠ACB，其他条件不变，图（3）中是否还有等腰三角形？
（2）中第二问的关系是否还存在？
写出你的理由．
1.1、等腰三角形（4）
等边三角形的判定课后分类练习
一、本课知识结构图
1.等边三角形的判定方法
2.含300角的直角三角形的性质
定理：
几何语言：
二、基础训练
类型一:
含300角的直角三角形的边的特点
1.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=,AC=
2.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是
3.如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是
4.如图，直角三角形ABC中∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD= ．
类型二：
利用含300角的直角三角形的性质作辅助线构造直角三角形求边长
5.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=
6.如图、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的长．
类型三：
等边三角形的判定
7.如图，点E是等边△ABC内一点，∠1=∠2，BE=CD，判定△ADE的形状，并说明理由
8.如图，点D，E在线段BC上，BD=CE，∠B=∠C，∠ADB=120°，
求证：
△ADE为等边三角形．
9.如图，点P、M、N分别在等边三角形ABC的各边上，且MP⊥AB，NM⊥BC，PN⊥AC.
（1）求证：
△PMN是等边三角形.
（2）若AB＝9，求CM的长度．
三、提高训练
10.如图点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN和CM相交于点F，BM和CN相交于点E,连接EF
（1）求证:
AN=BM
（2）判断△ACM的形状，并说明理由。
1.2、直角三角形
（1）
直角三角形的性质和判定课后分类练习
一、本课知识结构图
1.直角三角形
2.互逆命题
二、基础训练
类型一:
直角三角形的性质（勾股定理）
1.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-6，0），（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为．
2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′=．
3.如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
类型二:
直角三角形的性质（两锐角互余）
4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，试说明：
AE=AF.
类型三：
二次使用勾股定理
5.如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部6m处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？
类型四:
直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）
6.已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
7.一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，木板的面积为 ．
8.如图，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是
类型五:
直角三角形的判定（直角三角形的两锐角互余）
9.如图，已知∠AOD＝30°，C是射线OD上的一个动点，在点C的运动过程中，若△AOC恰好是直角三角形，则此时∠DCA所有可能的度数是
类型六：
命题与逆命题
10.写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）如果a是偶数，b是偶数，那么a＋b是偶数．
三、提高训练
11.如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
→
→
1.2、直角三角形
（2）
直角三角形全等的判定课后分类练习
一、本课知识结构图
直角三角形的判定方法
二、基础训练
类型一：
HL定理判定直角三角形全等
1.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，
还需要加条件 ．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝时，△ABC和△PQA全等．
类型二：
直角三角形全等的判定方法
3.要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（填序号）
①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；
④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有（）
A．3对B．4对C．5对D．6对
5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F.求证：
AB=BF.
类型三：
全等的性质
6.如图，点D，A，E在直线
上，AB=AC，BD⊥
于点D，CE⊥
于点E，且BD=AE，若BD=3，CE=5，则DE=．
7.如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，
垂足分别为点E，F.若AE=1，CF=3，则AB的长度为．
8.如图：
在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．
求证：
AF平分∠BAC．
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AD，点D是AC的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
三、提高训练
10.如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，BF=DE，BD交AC于点M.
（1）求证：
AE=CF，MB=MD；
（2）当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
1.3、线段的垂直平分线
（1）
线段的垂直平分线的性质和判定课后分类练习
一、本课知识结构图
1.线段垂直平分线的性质定理．
几何语言：
2.线段垂直平分线的判定定理．
几何语言：
二、基础训练
类型一：
利用线段垂直平分线的性质求角度
1.如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E.
求证：
（1）∠EAD=∠EDA；
（2）DF∥AC.
类型二：
利用线段垂直平分线的性质添加辅助线
2.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线
、
相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC= °．
3．如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，连接AC、BD、DC，
若∠A=35°，∠ABD=44°，则∠DCA的度数为
类型三：
利用线段垂直平分线的性质求边长或周长
3、如图，AB是CD的垂直平分线，若AC=2.3cm，BD=1.6cm，则四边形ACBD的周长是
4、如图所示，已知DE为△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于点E，且AC=5，BC=8，求△AEC的周长．
5、如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．则△AEG的周长为 ．
类型四：
利用判定定理证明点在线段的垂直平分线上
6、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D.
求证：
点D在AB的垂直平分线上．
7.平面直角坐标系中，已知A（-1，3），B（-1，-1）．下列四个点中，在线段AB的垂直平分线上的点是（）
A．（0，2）B．（-3，1）C．（1，2）D．（1，0）
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：
点E在AF的垂直平分线上．
三、提高训练
9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为 ．
10、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC-BC=2，求AB与BC的长.
1.3、线段的垂直平分线
（2）
三角形的垂直平分线课后分类练习
一、本课知识结构图
1.三角形三边的垂直平分线
2.尺规作等腰三角形，作已知直线的垂线
二、基础训练
类型一：
利用线段垂直平分线的性质求角度或线段的长度
1.如图，在△ABC中，∠B=32°，∠C=48°，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，BC=6cm，请计算出∠DAE的度数和△ADE的周长．
2.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于
BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为
类型二：
利用线段垂直平分线的判定定理进行证明
3.已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内的一点，且OB=OC。
求证：
AO⊥BC.
类型三：
利用三角形的垂直平分线的性质求角度或线段的长度
4.如图，P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=20°,∠PCB=30°，
求∠PAB的度数
5.如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为5cm，则AO+BO+CO=．
6.如图，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AC和BC，分别交AB于点M、N,DM与EN相交于点F.
（1）若△CMN的周长为15cm,求AB的长
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数
类型四：
尺规作垂直平分线
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
（1）用直尺和圆规，作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接BD，求证：
BD平分∠CBA.
类型五：
三角形的垂直平分线的实际应用
8.为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村，B村，C村的村委会所在地的距离都相等（A，B，C不在同一直线上，地理位置如图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：
写作法，保留作图痕迹．
三、提高训练
9.如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：
如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC的中点于点D；在图③中，OA=OB=OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案．
1.4、角平分线
（1）
角平分线的性质和判定课后分类练习
一、本课知识结构图
角平分线
二、基础训练
类型一：
利用角平分线段的性质定理求角度或线段的长
1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，下列结论错误的是（ ）
A．BD+DE=BCB．DE平分∠ADBC．AD平分∠EDCD．AC+DE＞AD
2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是角平分线，DE⊥AB，E为垂足，若△ADE的周长等于10cm，则AB的长是
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E,点F在AC上，BD=DF
（1）求证：
CF=EB
（2）AB=AF+2EB
类型二：
利用角平分线段的性质定理添加辅助线求距离或面积
4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
5.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.
（1）求证：
AM⊥DM；
（2）若BC=8，求点M到AD的距离．
6.如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交
AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于 ．
7.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线AE交于点E，过E作EP⊥AB于点P，EQ⊥AC的延长线于点Q.求证：
BP=CQ.
类型三：
利用角平分线段的判定定理进行证明
8.如图，已知点P到BE，BD，AC的距离相等，则下列说法不正确的是（ ）
A．P在∠B的角平分线上B．P在∠ACE的角平分线上
C．P在∠DAC的角平分线上D．P到A，B，C三点的距离相等
9.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD．
求证：
AD平分∠BAC．
三、提高训练
10.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：
AB=AC+CD。
（2）已知CD=
cm，求AB的长；
1.3、角平分线
（2）
三角形的角平分线课后分类练习
一、本课知识结构图
三角形的角平分线
二、基础训练
类型一:
利用角平分线的性质定理求线段的长度或角度
1.如图，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD PE PF．
2．△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:
DC=4:
3,则D到AB的距离为.
3.如图，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边AB，BC，AC的距离OD=OE=OF，若∠A=70°，则∠BOC=．
4.已知：
如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.
求证：
（1）OC=OD；
（2）OP是CD的垂直平分线.
类型二：
三角形的角平分线与面积
5.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=
6.边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边的距离相等，则这个距离是
7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：
点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．
类型三：
角平分线的判定定理
7.已知：
如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，
且BO=CO．求证：
O在∠BAC的角平分线上．
类型四：
尺规作角平分线
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8）和点B（6，8）．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
①点P到A，B两点的距离相等；
②点P到∠xOy两边的距离相等；
（2）在
（1）作出点P后，写出点P的坐标．
类型五：
三角形的角平分线与实际应用
9.如图，有三条铁路a，b，c相互交叉，现在建一个货物中转站，
要求到三条铁路的距离相等，可供选择的地址有处．并画出图形
10.电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
三、提高练习
11.好学的小红在学习完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决
如图，在△ABC中，∠BAC=50°，点I是两角B、C平分线的交点．
（1）∠BIC=______°．
（2）若点D是两条外角平分线的交点，∠BDC=______°．
（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，
试探索：
∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．
（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于多少度时，CE∥AB．
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