高中数学第一章三角函数122同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修40608299.docx
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高中数学第一章三角函数122同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修40608299
1．2.2 同角三角函数的基本关系
预习课本P18～20，思考并完成以下问题
（1）同角三角函数的基本关系式有哪两种？
（2）已知sinα，cosα和tanα其中的一个值，如何求其余两个值？
同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
sin2α＋cos2α＝1.
（2）商数关系：
tan_α＝.
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
[点睛] 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：
一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．（ ）
（2）对任意角α，＝tan2α都成立．（ ）
（3）若cosα＝0，则sinα＝1.（ ）
答案：
（1）√
（2）× （3）×
2．已知α∈，sinα＝，则cosα＝（ ）
A． B．－
C．－D．
答案：
A
3．已知cosα＝，且α是第四象限角，则sinα＝（ ）
A．±B．±
C．－D．－
答案：
C
4．已知sinα＝，α∈，则tanα＝________.
答案：
－
利用同角基本关系式求值
[典例]
（1）已知sinα＝，并且α是第二象限角，求cosα和tanα.
（2）已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值．
[解]
（1）cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又α是第二象限角，所以cosα<0，cosα＝－，tanα＝＝－.
（2）由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.
所以2sinαcosα－cos2α＝＝＝＝－1.
1．求三角函数值的方法
（1）已知sinθ（或cosθ）求tanθ常用以下方式求解
（2）已知tanθ求sinθ（或cosθ）常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间（象限）讨论．
2．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的方法
（1）关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．
（2）若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
[活学活用]
（1）已知cosα＝－，求sinα和tanα.
（2）已知tanα＝2，试求的值．
解：
（1）sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，
因为cosα＝－<0，所以α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sinα＝，tanα＝＝－；
当α是第三象限角时，sinα＝－，tanα＝＝.
（2）由tanα＝2可得sinα＝2cosα，
故＝＝＝.
三角函数式的化简
[典例]
（1）化简：
.
（2）若角α是第二象限角，化简：
tanα.
[解]
（1）原式＝
＝
＝＝1.
（2）原式＝tanα＝tanα＝×，因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，
所以原式＝×＝×＝－1.
三角函数式的化简技巧
（1）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
[活学活用]
化简：
（1）·；
（2）.
解：
（1）原式＝·
＝·
＝·＝±1.
（2）原式＝
＝
＝＝1.
证明简单的三角恒等式
[典例] 求证：
＝.
[证明] 法一：
左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边，
∴原等式成立．
法二：
右边＝
＝
＝＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
法三：
左边＝＝，
右边＝＝
＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
法四：
∵－
＝
＝
＝
＝
＝
＝0，
∴＝.
法五：
∵（tanα－sinα）（tanα＋sinα）
＝tan2α－sin2α
＝tan2α－tan2α·cos2α
＝tan2α（1－cos2α）
＝tan2α·sin2α，
∴＝.
证明三角恒等式常用的方法
（1）从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．
（2）左右归一法：
即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．
（3）综合法：
即由一个已知成立的等式（如公式等）恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．
（4）比较法：
即证左边－右边＝0或证＝1.
[活学活用]
求证：
2（1－sinα）（1＋cosα）＝（1－sinα＋cosα）2.
证明：
法一：
左边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα
＝1＋sin2α＋cos2α－2sinαcosα＋2（cosα－sinα）
＝1＋2（cosα－sinα）＋（cosα－sinα）2
＝（1－sinα＋cosα）2＝右边．
法二：
∵左边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα，
右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα，
∴左边＝右边.
sinα±cosα型求值
[典例] 已知sinθ＋cosθ＝（0<θ<π），求sinθcosθ和sinθ－cosθ的值．
[解] 因为sinθ＋cosθ＝（0<θ<π），
所以（sinθ＋cosθ）2＝，
即sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝，
所以sinθcosθ＝－.
由上知，θ为第二象限的角，
所以sinθ－cosθ>0，
所以sinθ－cosθ
＝
＝＝.
已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：
①（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ；
②（sinθ－cosθ）2＝1－2sinθcosθ；
③（sinθ＋cosθ）2＋（sinθ－cosθ）2＝2；
④（sinθ－cosθ）2＝（sinθ＋cosθ）2－4sinθcosθ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．
[活学活用]
1．已知0<θ<π，且sinθ－cosθ＝，求sinθ＋cosθ，tanθ的值．
解：
∵sinθ－cosθ＝，∴（sinθ－cosθ）2＝.
解得sinθcosθ＝.
∵0<θ<π，且sinθ·cosθ＝>0，
∴sinθ>0，cosθ>0.
∴sinθ＋cosθ＝＝
＝＝.
由得
∴tanθ＝＝.
2．若0<θ<π，sinθcosθ＝－，求sinθ－cosθ.
解：
∵0<θ<π，sinθcosθ＝－<0，
∴sinθ>0，cosθ<0.∴sinθ－cosθ>0.
∴sinθ－cosθ＝＝＝＝＝.
层级一 学业水平达标
1．（福建高考）若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于（ ）
A． B．－
C．D．－
解析：
选D 因为sinα＝－，且α为第四象限角，
所以cosα＝，所以tanα＝－，故选D.
2．若α为第三象限角，则＋的值为（ ）
A．3B．－3
C．1D．－1
解析：
选B ∵α为第三象限角，
∴原式＝＋＝－3.
3．下列四个结论中可能成立的是（ ）
A．sinα＝且cosα＝
B．sinα＝0且cosα＝－1
C．tanα＝1且cosα＝－1
D．α是第二象限角时，tanα＝－
解析：
选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sinα＝0且cosα＝－1，故B成立，而A、C、D都不成立．
4．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为（ ）
A．－B．－
C．D．
解析：
选A sin4α－cos4α＝（sin2α＋cos2α）（sin2α－cos2α）＝sin2α－（1－sin2α）＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.
5．若α是三角形的最大内角，且sinα－cosα＝，则三角形是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
解析：
选B 将sinα－cosα＝两边平方，得1－2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝.又α是三角形的内角，∴sinα>0，cosα>0，∴α为锐角．
6．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.
解析：
由已知得θ是第三象限角，
所以cosθ＝－＝－＝－.
答案：
－
7．化简：
＝________.
解析：
原式＝
＝＝|cos40°－sin40°|
＝cos40°－sin40°.
答案：
cos40°－sin40°
8．已知tanα＝－，则＝________.
解析：
＝
＝＝＝＝＝－.
答案：
－
9．化简：
（1）；
（2）.
解：
（1）原式＝
＝
＝
＝＝1.
（2）原式＝＝＝cosθ.
10．已知sinα＋cosα＝，求tanα＋及sinα－cosα的值．
解：
将sinα＋cosα＝两边平方，得sinαcosα＝－.
∴tanα＋＝＝－3，
（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1＋＝，
∴sinα－cosα＝±.
层级二 应试能力达标
1．已知tanα＝，且α∈，则sinα的值是（ ）
A．－ B．
C．D．－
解析：
选A ∵α∈，∴sinα<0.
由tanα＝＝，sin2α＋cos2α＝1，
得sinα＝－.
2．化简（1－cosα）的结果是（ ）
A．sinαB．cosα
C．1＋sinαD．1＋cosα
解析：
选A （1－cosα）＝·（1－cosα）＝·（1－cosα）＝＝＝sinα.
3．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sinθcosθ的值为（ ）
A．B．－
C．D．－
解析：
选A 由sin4θ＋cos4θ＝，得
（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝.
∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，
∴sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθcosθ＝.
4．已知＝2，则sinθcosθ的值是（ ）
A．B．±
C．D．－
解析：
选C 由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，
即3cosθ＝sinθ，tanθ＝3，
∴sinθcosθ＝＝＝＝.
5．已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα＝________.
解析：
因为π<α<，所以cosα<0，sinα<0.利用三角函数线，知cosα答案：
－
6．若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα（n∈Z）的值为________．
解析：
∵sinα＋cosα＝1，
∴（sinα＋cosα）2＝1，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sinαcosα＝0，∴sinα＝0或cosα＝0，
当sinα＝0时，cosα＝1，此时有sinnα＋cosnα＝1；
当cosα＝0时，sinα＝1，也有sinnα＋cosnα＝1，
∴sinnα＋cosnα＝1.
答案：
1
7．已知＝，α∈.
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
解：
（1）由＝，得3tan2α－2tanα－1＝0，
即（3tanα＋1）（tanα－1）＝0，
解得tanα＝－或tanα＝1.
因为α∈，所以tanα<0，所以tanα＝－.
（2）由
（1），得tanα＝－，所以＝＝＝.
8．求证：
－＝.
证明：
左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边．
所以原等式成立．
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幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
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3、大自然的语言丰富多彩：
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4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！
当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！
当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！
当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！
当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！
你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。
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