等腰直角三角形的中线.docx

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等腰直角三角形的中线

等腰直角三角形的中线

等腰直角三角形的中线

1．（2014•齐齐哈尔一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（　　）

A

①②③

B

①③

C

①③④

D

②③④

2．（2013•泸州）如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：

（1）图形中全等的三角形只有两对；

（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；

（3）CD+CE=

OA；

考点：

等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

专题：

推理填空题．

分析：

解答此题的关键是在于判断△DFE是否等腰直角三角形；做常规辅助线，连接CF，由SAS定理可得△CFE≌△ADF，从而可证∠DFE=90°可得DF=EF，可得①△DFE是等腰直角三角形正确；可得DE=

DF，当DF⊥AC时，DF最小，DE取最小值4

，故②错误；再由补割法可证③是正确的；△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知④是正确的．故①③④正确．

解答：

解：

①连接CF．

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，

∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF，

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，

∵∠AFD+∠CFD=90°

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形，

故本选项正确；

②∵△DEF是等腰直角三角形，

∴当DE最小时，DF也最小，

即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=

BC=4，

∴DE=

DF=4

，

故本选项错误；

③∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF=S△ADF，

∴S四边形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=

S△ABC

故本选项正确；

④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，

S△CED=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，

故本选项正确；

综上所述正确的有①③④．

故选C．

点评：

此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．利用“割补法”是求不规则图形的面积的常用方法．

．（2013•泸州）如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：

（1）图形中全等的三角形只有两对；

（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；

（3）CD+CE=

OA；

（4）AD2+BE2=2OP•OC．其中正确的结论有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

考点：

等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有

专题：

压轴题．

分析：

结论

（1）错误．因为图中全等的三角形有3对；

结论

（2）正确．由全等三角形的性质可以判断；

结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．

结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．

解答：

解：

结论

（1）错误．理由如下：

图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．

由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．

∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．

在△AOD与△COE中，

∴△AOD≌△COE（ASA）．

同理可证：

△COD≌△BOE．

结论

（2）正确．理由如下：

∵△AOD≌△COE，

∴S△AOD=S△COE，

∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=

S△ABC，

即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．

结论（3）正确，理由如下：

∵△AOD≌△COE，

∴CE=AD，

∴CD+CE=CD+AD=AC=

OA．

结论（4）正确，理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．

在Rt△CDE中，由勾股定理得：

CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．

∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，

又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．

∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，

∴△OEP∽△OCE，

∴

，即OP•OC=OE2．

∴DE2=2OE2=2OP•OC，

∴AD2+BE2=2OP•OC．

综上所述，正确的结论有3个，

故选C．

15．（2012•桂林）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．

（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：

△AED≌△CFD；

（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；

（3）在

（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．

考点：

等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

专题：

压轴题；动点型．

分析：

（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件；

（2）利用S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9即可得到y与x之间的函数关系式；

（3）依题意有：

AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到S△ADF=S△BDE从而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可确定两个变量之间的函数关系式．

解答：

（1）证明：

∵∠BAC=90°AB=AC=6，D为BC中点

∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°

∴AD=BD=DC（2分）

∵AE=CF∴△AED≌△CFD（SAS）

（2）解：

依题意有：

FC=AE=x，

∵△AED≌△CFD

∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9

∴

∴

；

（3）解：

依题意有：

AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°

∴∠DAF=∠DBE=135°

∴△ADF≌△BDE

∴S△ADF=S△BDE

∴S△EDF=S△EAF+S△ADB

=

∴

．

点评：

本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．

17．同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：

将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．

（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为　4　，周长为　

　．

（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为　4　，周长为　8　．

（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为　4　．

（4）在如图3的情况下，AC交MN于D，MK交BC于E，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．

考点：

等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

专题：

几何综合题．

分析：

（1）根据AC=BC=4，∠ACB=90°，得出AB的值，再根据M是AB的中点，得出AM=MC，求出重叠部分的面积，再根据AM，MC，AC的值即可求出周长；

（2）易得重叠部分是正方形，边长为

AC，面积为

AC2，周长为2AC．

（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G．求得Rt△MHD≌Rt△MGE，则阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积．

（4）先过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，根据∠DMH=∠GMH，MH=MG，得出Rt△DHM≌Rt△GME，从而得出HD=GE，CE=AD，最后根据AD和DF的值，算出

，即可得出答案．

解答：

解：

（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，

∴AB=

=

=4

，

∵M是AB的中点，

∴AM=2

，

∵∠ACM=45°，

∴AM=MC，

∴重叠部分的面积是

=4，

∴周长为：

AM+MC+AC=2

+2

+4=

；

（2）∵叠部分是正方形，

∴边长为

×4=2，面积为2×2=4，

周长为2×4=8．

（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，

∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a，

∴MH=

BC，

MG=

AC，

∴MH=MG，

又∵∠NMK=∠HMG=90°，

∴∠NMH+∠HMK=90°，∠GME+∠HMK=90°，

∴∠HMD=∠GME，

在△MHD和△MGE中，

∵

，

∴△MHD≌△MGE（ASA），

∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积，

∵正方形CGMH的面积是MG•MH=2×2=4；

∴阴影部分的面积是4；

（4）过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，

∴四边形MGCH是矩形，

∴MH=CG，

∵∠A=45°，

∴∠AMH=45°，

∴AH=MH，

∴AH=CG，

在Rt△DHM和Rt△EGM中，

，

∴Rt△DHM≌Rt△EGM．

∴GE=DH，

∴AH﹣DH=CG﹣GE，

∴CE=AD，

∵AD=1，

∴DH=1，CE=1，CD=4﹣1=3，

∴DM=

∴四边形DMEC的周长为：

CE+CD+DM+ME

=1+3+

+

=4

．

故答案为：

4，

，4，8，4．

点评：

此题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．