届高考数学 大一轮复习 人教版第一章 集合与常用逻辑用语 第1节 集 合.docx

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届高考数学大一轮复习人教版第一章集合与常用逻辑用语第1节集合

第1节　集　合

最新考纲　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；

3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

知识梳理

1.元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

（1）子集：

若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.

（2）真子集：

若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.

（3）相等：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

（4）空集的性质：

∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形表示

集合表示

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x∉A}

4.集合的运算性质

（1）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.

（2）A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.

（3）A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U，∁U（∁UA）＝A.

[常用结论与微点提醒]

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.

2.子集的传递性：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.

4.∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}.（　　）

（2）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　）

（3）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立.（　　）

（4）含有n个元素的集合有2n个真子集.（　　）

解析　

（1）错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞），{（x，y）|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.

（2）错误.当x＝1时，不满足互异性.

（3）正确.（A∩B）⊆A⊆（A∪B）.

（4）错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

2.（必修1P7练习2改编）若集合A＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则下列结论正确的是（　　）

A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A

解析　因为a＝2

不是自然数，而集合A是不大于

的自然数构成的集合，所以a∉A.

答案　D

3.（2017·全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则（　　）

A.A∩B＝

B.A∩B＝∅

C.A∪B＝

D.A∪B＝R

解析　因为B＝{x|3－2x>0}＝

，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝

，A∪B＝{x|x<2}.

答案　A

4.（2018·河北“五个一”名校联盟质检）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，7}，B＝{x|x＝log2（a＋1），a∈A}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　）

A.{1，3}B.{5，6}C.{4，5，6}D.{4，5，6，7}

解析　A＝{1，3，7}，B＝{x|x＝log2（a＋1），a∈A}＝{1，2，3}，又U＝{1，2，3，4，5，6，7}，∴∁UA＝{2，4，5，6}，∁UB＝{4，5，6，7}，∴（∁UA）∩（∁UB）＝{4，5，6}.

答案　C

5.（2017·全国Ⅲ卷改编）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________.

解析　集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.

答案　2

考点一　集合的基本概念

【例1】

（1）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A.1B.3C.5D.9

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A.

B.

C.0D.0或

解析　

（1）当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；

当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；

当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.

根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.

（2）若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.

当a＝0时，x＝

，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝

，

所以a的取值为0或

.

答案　

（1）C　

（2）D

规律方法　1.第

（1）题易忽视集合中元素的互异性误选D.第

（2）题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形.

2.用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.

【训练1】

（1）若x∈A，则

∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A.1B.3C.7D.31

（2）设集合A＝{x|（x－a）2<1}，且2∈A，3∉A,则实数a的取值范围为________.

解析　

（1）具有伙伴关系的元素组是－1，

，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

，

.

（2）由题意得

解得

所以1

答案　

（1）B　

（2）（1，2]

考点二　集合间的基本关系

【例2】

（1）已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A.ABB.BA

C.A⊆BD.B＝A

（2）（2018·郑州调研）已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1

解析　

（1）易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.

因此BA.

（2）A＝{x|x2－5x－14≤0}＝[－2，7].

当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图.

则

解得2

综上，m的取值范围为（－∞，4].

答案　

（1）B　

（2）（－∞，4]

规律方法　1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.

【训练2】

（1）（2018·西安一模改编）已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合M与集合N的关系是（　　）

A.M＝NB.NM

C.M⊆ND.M∩N＝∅

（2）若将本例

（2）的集合A改为A＝{x|x<－2或x>7}，其它条件不变，则m的取值范围是________.

解析　

（1）因为M＝{－1，0，1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，所以N＝

{－1，0}，于是NM.

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，

则

或

解之得m≥6.

综上可知，实数m的取值范围是（－∞，2]∪[6，＋∞）.

答案　

（1）B　

（2）（－∞，2]∪[6，＋∞）

考点三　集合的基本运算

【例3】

（1）（2018·安徽江南十校联考）设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝

，则A∩B＝（　　）

A.{1，2}B.{－1，2}

C.{－2，－1，2}D.{－2，－1，0，2}

（2）（2018·河南百校联盟联考）若集合A＝{x|y＝lg（3x－x2）}，B＝

，则A∩（∁RB）等于（　　）

A.（0，2]B.（2，3）C.（3，5）D.（－2，－1）

解析　

（1）易知A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝

，所以A∩B＝{－2，－1，2}.

（2）由3x－x2>0，得0

∴B＝

＝（2，5），

则∁RB＝（－∞，2]∪[5，＋∞），故A∩（∁RB）＝（0，2].

答案　

（1）C　

（2）A

规律方法　1.看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.

2.注意数形结合思想的应用.

（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

（2）集合中元素具有连续性时，常借助数轴的直观性进行集合运算，运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.

【训练3】

（1）（2017·全国Ⅱ卷）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1}，则B＝（　　）

A.{1，－3}B.{1，0}

C.{1，3}D.{1，5}

（2）设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（　　）

A.[2，3]B.（－2，3]

C.[1，2）D.（－∞，－2）∪[1，＋∞）

解析　

（1）1是方程x2－4x＋m＝0的解，x＝1代入方程得m＝3，∴x2－4x＋3＝0的解为x＝1或x＝3，∴B＝{1，3}.

（2）易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.

∴∁RQ＝{x|－2

又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪（∁RQ）＝{x|－2

答案　

（1）C　

（2）B

基础巩固题组

（建议用时：

20分钟）

一、选择题

1.（2016·全国Ⅱ卷）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝（　　）

A.{－2，－1，0，1，2，3}B.{－2，－1，0，1，2}

C.{1，2，3}D.{1，2}

解析　由于B＝{x|x2<9}＝{x|－3

又A＝{1，2，3}，因此A∩B＝{1，2}.

答案　D

2.（2017·天津卷）设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（　　）

A.{2}B.{1，2，4}

C.{1，2，4，6}D.{x∈R|－1≤x≤5}

解析　（A∪B）∩C＝{1，2，4，6}∩[－1，5]＝{1，2，4}，选B.

答案　B

3.（2018·广东省际名校联考）已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{y|y＝ex，x

A.（－1，3）B.（－1，0）C.（0，2）D.（2，3）

解析　因为A＝{x|－1

答案　A

4.（2017·全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则（　　）

A.A∩B＝{x|x<0}B.A∪B＝R

C.A∪B＝{x|x>1}D.A∩B＝∅

解析　A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}.

答案　A

5.（2018·广州质检）已知集合A＝{x|2x2－7x＋3<0}，B＝{x∈Z|lgx<1}，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　∵A＝{x|2x2－7x＋3<0}＝

，B＝{x∈Z|lgx<1}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴阴影部分表示的集合是A∩B＝{1，2}，有2个元素.

答案　B

6.（2018·江西百校联盟联考）已知集合A＝{x|－5＋21x－4x2<0}，B＝{x∈Z|

－3

A.3B.4C.5D.6

解析　A＝

，则∁RA＝

，

∵（∁RA）∩B＝

＝{1，2，3，4，5}.

答案　C

7.（2016·全国Ⅲ卷改编）设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>0}，则（∁RS）∩T＝（　　）

A.[2，3]B.（－∞，－2）∪[3，＋∞）

C.（2，3）D.（0，＋∞）

解析　易知S＝（－∞，2]∪[3，＋∞），∴∁RS＝（2，3），

因此（∁RS）∩T＝（2，3）.

答案　C

8.设集合A＝{（x，y）|x＋y＝1}，B＝{（x，y）|x－y＝3}，则满足M⊆（A∩B）的集合M的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　由

得

∴A∩B＝{（2，－1）}.

由M⊆（A∩B），知M＝∅或M＝{（2，－1）}.

答案　C

二、填空题

9.（2017·江苏卷）已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________.

解析　由A∩B＝{1}知，1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1.

答案　1

10.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.

解析　由x（x＋1）>0，得x<－1或x>0，

∴B＝（－∞，－1）∪（0，＋∞），

∴A－B＝[－1，0）.

答案　[－1，0）

11.（2018·成都检测）已知集合A＝{x|x2－2018x－2019≤0}，B＝{x|x

解析　由x2－2018x－2019≤0，得A＝[－1，2019]，

又B＝{x|x

所以m＋1>2019，则m>2018.

答案　（2018，＋∞）

12.（2017·山东卷改编）设函数y＝

的定义域为A，函数y＝ln（1－x）的定义域为B，全集U＝R，则∁U（A∩B）＝________.

解析　∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2，2].

∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝（－∞，1），

因此A∩B＝[－2，1），

于是∁U（A∩B）＝（－∞，－2）∪[1，＋∞）.

答案　（－∞，－2）∪[1，＋∞）

能力提升题组

（建议用时：

10分钟）

13.（2018·日照调研）

集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A.{x|x≥1}　　　　B.{x|1≤x<2}

C.{x|0

解析　易知A＝（－1，2），B＝（－∞，1），∴∁UB＝[1，＋∞），A∩（∁UB）＝[1，2）.因此阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|1≤x<2}.

答案　B

14.（2018·长沙模拟）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（　　）

A.1B.2C.3D.1或2

解析　当a＝1时，x2－3x＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅.

当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅.

当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.

因此实数a＝2.

答案　B

15.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：

第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店

（1）第一天售出但第二天未售出的商品有________种；

（2）这三天售出的商品最少有________种.

解析　

（1）如图1所示，第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16（种）；

（2）如图2所示，这三天售出的商品最少有19＋13－3＝29（种）.

答案　

（1）16　

（2）29

16.（2018·淮北模拟改编）已知集合U＝R，集合M＝{x|x＋2a≥0}，N＝{x|log2（x－1）<1}，若集合M∩（∁UN）＝{x|x＝1或x≥3}，那么a的取值为________.

解析　由log2（x－1）<1，得1

∴∁UN＝{x|x≤1或x≥3}.

又M＝{x|x＋2a≥0}＝[－2a，＋∞），

M∩（∁UN）＝{x|x＝1或x≥3}，

∴－2a＝1，解得a＝－

.

答案　－