第5章多元函数微分学练习题解读.docx
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第5章多元函数微分学练习题解读
第5章多元函数微分学练习题
习题5.1
、判断题（对的划“/，错的划“X”）
三、选择题
四、计算题
1.已知f（x,y）
-xy2xy，试求f（2,-1）和f（u-2v,uv）.
1
y-x2
xyz
3.求下列极限:
⑴罟.
1
⑵lim（1-2xy）xy
x>0
y）o
xy-3
⑶lim
；?
.xy1-2
五、证明题
1.证明Hmo
y—o
22
xy
222
xy（X-y）
不存在.
习题5.2
、判断题（对的划“/，错的划“X”）
。
2Z击z
1.设z=f（x,y），则一定有成立.（）
c^cycy£x
:
z
2.'表示.z与_:
x的商.（）
ex
、填空题
2
1.设z=2xy在点（2,-1）处偏增量UxZ二.
z=；‘1+X2+V2r—
2•曲线」『’在m°（i,i,J3）处的切线与x轴的倾角是
iV=1.
三、选择题
1.
若z=y，贝UZy
Xz!
=
y=e
A.
e；B.e
A
;
C.1;D.0
2.
若z=1n（Jx
-v'y），
贝yx——+y—=
excy
A.
低+Jy；
B.
Jx
厂1
-vy；c.-；
四、计算题
D.
1•求下列函数的Zxx,zyy和zxy:
⑵z=sin（xy）.
⑴z=xy2xy.
2•设f（x,y,z^xy2yz2zx2，求fxx（0,0,1）,fyz（0,-1,0）和fzzx（2,0,1）.
_3_3
3.设z=xexy,求丫和匚|
cyexcy
.2.2-2
:
-U:
-u：
u
222.x；:
y；z
五、证明题
x
1•验证u二zarctan满足
y
习题5.3
一、判断题（对的划“/，错的划“X”）
1•若多元函数在一点处偏导存在，则它在该点处可微.（）
2•若多元函数在一点处连续，则它在该点处可微.（）
二、填空题
1.设z二xy,x=2,y=1，:
x二0.01,y=-0.01,则：
z二,dz二
2.u=2xy-2yz-2zx在（1,1,2）处的全微分du=.
三、选择题
1.若z=yX，则dz二（）
A.xyx」dxyxlnxdy;B.yxlnxdxxyX^dy；
C.xyx4dxyxlnydy;D.yxlnydxxyxJdy.
2.函数z=A.连续，偏导数存在；B.连续，偏导数不存在；
C.连续且可微；D.不连续，偏导数不存在.
四、计算题
1.求下列函数的全微分:
⑵u=cos（xyz）.
⑴z=ln3.
xy
应用题
1•设有一无盖圆柱形容器，容器的底和壁的厚度均为求该容器外壳体积的近似值（精确到0.1cm）•
0.1cm，内高为20cm，内半径为4cm,
2•计算下列各式的近似值（结果保留两位小数）
⑴.1.0231.973•
⑵sin31tan44.
3.设有一直角三角形，测得两直角边的长分别为值计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.
7-0.1cm和24_0.1cm，试求由上述二
、判断题（对的划“V”
习题5.4
，错的划“X”）
z-f
1.设z二f（x,u）,u=u（x,y），则一'exex
xzz
2.方程In所确定的隐函数z对x的偏导数Zx
yyy
、填空题
三、选择题
L、r\
2.求由方程x3y3z3=2xyz-1所确定的隐函数
czcz
z=f（x,y）的偏导数和.
excy
3.设z=f（x2-y2,exy），且f具有一阶连续偏导数，求z的一阶偏导数.
五、应用题
1.设有一圆柱体，它的底半径以0.1cm/s的速率增大，而高度以0.2cm/s的速率在减少,试求当底半径为100cm，高为120cm时.
⑴圆柱体体积的变化率；
⑵圆柱体表面积的变化率.
习题5.5
、判断题（对的划“/，错的划“X”）
1•可微的多元函数在点F0处沿梯度正反方向的方向导数都最大.（）
2•可微的多元函数在点F0处沿梯度（不为零）垂直方向的方向导数等于零.（）
二、填空题
1•函数z二xe2y在点P（1,0）处沿P到Q（2,-1）的方向导数是.
2•设z=3x2+2y2，则|gradz|（_!
2）|=.
三、选择题
1•若z=3x2y-xy38在A（1,2）处沿A到B（3,0）方向的方向导数壬二（
cl
1•求函数u=xy2•yz3・3在点A（2,-1,1）处的梯度及其在点A处沿向量|=（1,2,2）的方
向导数.
1.设某金属板上的电压分布为V=50-2x2-4y2,求在点（1,-2）处:
⑴沿哪个方向电压升高得最快？
⑵沿哪个方向电压下降得最快？
⑶上升或下降的速率各为多少？
2•设一金属球体内各点处的温度离球心的距离成反比，证明球体内任意（异于球心的）点处沿着指向球心的方向上升得最快.
习题5.6
、判断题（对的划“/，错的划“X”）
1.曲线
x=t,
2x+1
《y=t2,在点（1,1,1）处的切线方程是
1
2.曲线
z=t3.
」y=X，在点（2,4,3）处的法平面方程是z=2x—1.
x2y2z-7=0.
、填空题
22
1.函数z=（x-1）（y1）的极
2.对角线长为
三、选择题
2
1.球面x-y
（填“大”或“小”）值是
2.3的长方体的最大体积是.
2z^6在（1,,-1,2）处的切平面方程和法线方程分别是
2.函数z
A.-5,
四、计算题
3
二x
-31;
X-1
y1
z-2
1
--1
-2
X-1
y1
z-2
1
--1
-2
x1
y-1
z2
1
-1
-2
x1
y-1
z2
1
_-1
_2
A.2x-2y4z-12=0,
B.2x2y-4z12=0,
D.2x2y-4z12=0,
C.2x-2y4z-12=0,
322
-y3x3y-9x的极大值和极小值分别是
B.31,-5；C.5,-31；D.31,5.
222
1.求椭球面x2y-z=1上平行于平面x-3y•z•9=0的切平面方程
2.求函数f（x,y）=3x2y•y3「3x2-3y2•2的极值和极值点.
3.求函数f（x,y）在闭区域｛（x,y）|x+4『＜1｝上的最值.
五、应用题
1•在半径为r的球内接一长方体，问长、宽、高各为多少时，其体积最大?
复习题五
、判断题（对的划“/，错的划“x”）
1.若limf（x,yHA，则limf（x,y）=A.
x_0y）0
2
•可微的多元函数一定是连续函数.
『±3
X=t,
12.曲线*y=t2,在t=1时的切线方程是，法平面方程
2
z=t+t.
是.
13.旋转抛物面z=2x2・2y2-1在点（1,2,9）处的切平面方程是
法线方程是.
三、选择题
19.设z=uarctan（uv）,u
x
、rry
v二xey，求z关于x,y的偏导数.
y=e2t，求全导数養
20.设z=xe,x=cost,
21.设u=f（x,xy,xyz），其中f具有连续的偏导数，求—、一U和二-
excycz
22.设x轴正向到方向丨的转角为，求函数z=x2-xyy2在点（1,1）沿方向丨的方向导数,并确定转角:
，使得方向导数有最大值.
23.求z二x-y-3xy的极值和极值点.
24.求抛物线y=x2到直线x-y-2=0间的最短距离.
25．在两直角边分别是a、b的直角三角形中内接一个矩形，求矩形的最大面积．
2.求下列函数的定义域，并作出定义域所表示的图形：
⑴z=lg（xy）.⑵Z=.1-X2-y2.
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