不等式及线性规划问题讲义及答案.docx

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不等式及线性规划问题讲义及答案

不等式及线性规划问题（讲义）

知识点睛

一、不等式的基本性质性质1：

a>b⇔b

性质2：

a>b，b>c⇒a>c

性质3：

a>b⇒a+c>b+c

性质4：

a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac

性质5：

a>b，c>d⇒a+c>b+d

性质6：

a>b>0，c>d>0⇒ac>bd

性质7：

a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥2）

性质8：

a>b>0⇒>（n∈N，n≥2）

二、一元二次不等式及其解法

一般地，对于解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0），通常步骤如下：

（1）解方程ax2+bx+c=0（a≠0）

常用方法：

直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法.

（2）解不等式考虑两种解法：

函数法：

借助函数图象求解

①画出对应函数y=ax2+bx+c的图象；

②依据图象得出不等式的解集．

代数法：

借助实数乘法法则，解不等式组.三、绝对值不等式的解法

1.解绝对值不等式的核心：

去绝对值去绝对值方法：

以|x-a|为例

（1）绝对值的几何意义：

①|x-a|表示数轴上x-a，0对应两点之间的距离

②|x-a|表示数轴上x，a对应两点之间的距离

⎧x-a，x>a

（2）绝对值法则：

|x-a|=⎪，x=a

⎪-x+a，x

（3）偶次方：

|x-a|2n=（x-a）2n（n∈N，n≥1）

1

2.解绝对值不等式常见题型

（1）单个绝对值型不等式：

如|ax+b|≤c或|ax+b|≥c

思路一：

依据绝对值的几何意义

①|ax+b|≤c转化为-c≤ax+b≤c

②|ax+b|≥c转化为ax+b≥c或ax+b≤-c

思路二：

依据绝对值的“零点”，由绝对值法则去绝对值，再解不等式

思路三：

由相应函数f（x）=|ax+b|-c，利用数形结合思想，依据图象处理．

（2）多个绝对值型不等式：

如|x-a|+|x-b|≥c

思路一：

依据绝对值的几何意义

数轴上到a、b对应两点的距离之和不小于c的点的集合；思路二：

依据绝对值的“零点”

依据绝对值的“零点”分段，由绝对值法则去绝对值，再解不等式；

思路三：

依据函数图象

由相应函数f（x）=|x-a|+|x-b|-c，利用数形结合思想，依据图象处理．

（3）常见函数图象

①f（x）=|x-1|

③f（x）=|x-1|+|x-2|

②f（x）=|x+1|

④f（x）=|x-1|-|x-2|

结论推广：

①|x-a|+|x-b|≥|a-b|；

②-|a-b|≤|x-a|-|x-b|≤|a-b|．

2

四、二元一次不等式（组）及线性规划

1.二元一次不等式与平面区域

若方程Ax+By+C=0表示直线l，则

不等式Ax+By+C>0表示直线l某一侧所有点组成的平面区域，将该侧任一点坐标（x0，y0）代入Ax+By+C，Ax0+By0+C>0恒成立．

同理，不等式Ax+By+C<0表示直线l的另一侧．

2.由二元一次不等式组判断平面区域

（1）直线定界（注意虚线与实线）；

（2）特殊点定域（如：

原点，（0，1），（1，0）等）；

（3）不等式组找公共区域.

3.线性规划相关概念

约束条件：

关于x，y的不等式（或方程）

线性约束条件：

关于x，y的一次不等式（或方程）目标函数：

要求的关于变量x，y的函数

线性目标函数：

目标函数为关于变量x，y的一次函数可行解：

满足约束条件的解（x，y）

可行域：

所有可行解组成的集合

最优解：

使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

4.求目标函数z=ax+by的最值

利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

（1）根据约束条件画出可行域；

（2）考虑目标函数的几何意义，令z=0，画出直线l0；

（3）在可行域内平行移动直线l0，从而确定最优解；

（4）将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

3

精讲精练

1.下列命题中正确的是（）

A.a>b，c>d⇒a-c>b-d

B.a>b⇒a>b

cc

C.ac

D.ac2>bc2⇒a>b

2.若0

A1>1B1a1b

ba22

C.an>bn

D.lga

>1lgb

3.当a>0>b，c

①adb+d2；

③b-c>a-d；④c3

4.设方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，且x1

（1）若a<0，则ax2+bx+c<0的解集为；

（2）若a>0，则ax2+bx+c≥0的解集为．

4

5.已知不等式x2-3x+t<0的解集为{x|1

（1）t=，m=；

（2）若函数f（x）=-x2+ax+4在区间（-∞，1]上递增，求关于x的不等式loga（-mx2+3x+2-t）<0的解集．

6.解下列不等式．

（1）|2x+1|+|2x-1|≤6

（2）|2x+1|-|x-4|>2

5

7.已知函数f（x）=|x-4|+|x-3|．

（1）

若f（x）

（2）若f（x）

（3）

若f（x）>a对一切实数x均成立，则实数a的取值范围为．

（4）若f（x）-2|x-3|≥a有解，则实数a的取值范围为

．

8.写出下列平面区域表示的二元一次不等式组．

（1）；

（2）．

（1）

（2）

6

9.

（x+2y+1）（x-y+4）≤0表示的平面区域为下图中的（）

A.B．C．D．

⎧x≥0

10.

⎨

不等式组⎪x+3y≥4所表示的平面区域的面积等于（）

⎩

⎪3x+y≤4

A.3

2

B.

2

3

C.

4

3

D.

3

4

⎧5x+3y≤15

11.

⎨

设变量x，y满足约束条件⎪x-y+1≥0，则目标函数z=3x+5y

⎩

⎪x-5y≤3

的最大值为，最小值为．

7

⎧3x+y-6≥0

12.设变量x，y满足约束条件⎪x-y-2≤0

⎪y-3≤0

，则目标函数z=2x-y

的最小值为（）

A．7B．-4C．-1D．4

⎧x+y-3≥0

13.

⎨

设变量x，y满足⎪x-y+1≥0

⎩

⎪3x-y-5≤0

，设k=y，则k的取值范围

x

是（）

，

A．[14]

23

C．[1，2]2

B．[4，2]3

D．[1，+∞）2

14.给出平面区域如图中的阴影部分所示，若使目标函数z=ax+y

（a>0）取得最大值时的最优解有无穷多个，则a的值为

．

8

15.

某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件产品销售收入分别为3000元、2000元.甲、乙产品都需要在A、B两种设备上进行加工．在每台A、B设备上加工1件甲，设备所需工时分别为1h、2h；加工1件乙，设备所需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h．问：

如何安排生产可使收入最高？

回顾与思考

9

【参考答案】

1.D

2.D

3.①②④

4.

（1）（-∞，x1）（x2，+∞）；

（2）（-∞，x1][x2，+∞）

5.

（1）t=2；m=2；

（2）（0，1）（1，3）

22

6.

（1）[-3，3]；

（2）（-∞，-7）（5

，+∞）

223

7.

（1）（1，+∞）；

（2）（-∞，1]；（3）（-∞，1）；（4）（-∞，1]

⎧x-y>0⎧y≥0

8.

（1）⎪4x+y-15<0；

（2）⎪x-3y+6≥0

9.B

10.C

⎨

⎪x+2y-2≥0

⎨

⎪x-y+2<0

11.17-11

12.C

13.C

14.35

15.每月生产甲产品200件，乙产品100件，可使收入最高.

10