浙江中考数学特殊平行四边形含答案.docx

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浙江中考数学特殊平行四边形含答案

特殊平行四边形

考点一　矩形

1．有一个角是________的__________叫做矩形．

2．矩形的________个角都是直角．

3．矩形既是________对称图形，又是________对称图形，它至少有________条对称轴．

4．有________个角是直角的四边形是矩形．

5．对角线相等的__________是矩形．

考点二　菱形

6．一组________相等的________叫做菱形．

7．菱形的________条边都相等．

8．菱形的________互相垂直，并且每条对角线平分____________．

9．菱形既是________对称图形，又是________对称图形，它至少有________条对称轴．

10．四条边相等的四边形是________．

11．对角线__________的平行四边形是菱形．

考点三　矩形和菱形共有的性质

12．矩形和菱形画出两条对角线后，都会出现4个________三角形和4个________三角形．

13．矩形和菱形常常转化为________三角形或________三角形来解决．

考点四　正方形

14．有一组________相等，并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形．

15．正方形的对角线__________________，每条对角线平分一组________．正方形既是________对称图形，又是________对称图形，有________条对称轴．

16．有一组邻边相等的________是正方形．

17．有一个角是直角的________是正方形．

1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）

A．对角线相等

B．对角相等

C．对边相等

D．对角线互相平分

2．若矩形的对角线长为4，一条边长为2，则此矩形的面积为（　　）

A．8

B．4

C．2

D．8

3．如图25－1，在菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，点F是AB的中点，点E在AC上，则ED＋EF的最小值是（　　）

A．2B.

C．1.6D．1.5

（图25－1）

4．如图25－2，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形一组对边的距离等于（　　）

（图25－2）

A．1.2B．2.4

C．3.6D．4.8

5．（2020福建）设A，B，C，D是反比例函数y＝

（k≠0）图象上的任意四点，现有以下结论：

①四边形ABCD可以是平行四边形；

②四边形ABCD可以是菱形；

③四边形ABCD不可能是矩形；

④四边形ABCD不可能是正方形．

其中正确的是____．（写出所有正确结论的序号）

◆达标一　特殊平行四边形基本题

例1　下列命题中正确的是（　）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形

C．有一个角是直角的四边形是矩形

D．内角都相等的四边形是矩形

变式1　在四边形ABCD中，AC＝BD.如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　）

A．AB＝BC

B．AC与BD互相平分

C．AC⊥BD

D．AB⊥BD

例2　在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　）

A．AB＝BCB．AC⊥BD

C．AC＝BDD．∠ABD＝∠CBD

变式2　如图25－3，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件中能够判定四边形ABCD为菱形的是（　）

（图25－3）

A．AB＝BCB．AC＝BC

C．∠B＝60°D．∠ACB＝60°

例3　（2020日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题：

如图25－4，四边形ABCD为平行四边形，现从下列四个条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　）

（图25－4）

A．①②B．②③C．①③D．②④

变式3　如图25－5，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使平行四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是___．（只需添加一个即可）

（图25－5）

◆达标二　矩形创新题

例4　（2019杭州）如图25－6，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在边AD上，点F，G在边BC上），使得点B，点C落在边AD上同一点P处，点A的对应点为点A′，点D的对应点为点D′，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__．

（图25－6）

变式4　（2018金华）小靓用如图25－7

（1）的七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，如图25－7

（2）所示．则

的值是____．

（1）　　

（2）

（图25－7）

◆达标三　菱形创新题

例5　（2019宁波）如图25－8，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．求证：

BG＝DE.

（图25－8）

变式5　（2018宁波）如图25－9，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME.若∠EMD＝90°，则cosB的值为____．

（图25－9）

◆达标四　正方形创新题

例6　将图25－10中的正方形分割成四个等腰三角形，分割后不出现45°的角．

（图25－10）（图D25－2）

（图25－11）（图D25－3）

1．如图25－12，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为（　　）

A．（5，4）B．（8，4）C．（5，3）D．（8，3）

（图25－12）

2．如图25－13，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（－2，4），则BD的长是（　　）

（图25－13）

A.

B．5C．3

D．4

3．已知菱形的边长为2cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为____cm2.

4．将两个完全相同的长方形ABCD与长方形EFGD按如图25－14放置，点D在线段AG上，若AG＝m，CE＝n，则长方形ABCD的面积是___．（用m，n表示）

（图25－14）

5．如图25－15，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠BED的度数是___．

（图25－15）

6．如图25－16，正方形ABCD的边长为1，点P为对角线AC上任意一点，作PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分别是E，F.则PE＋PF＝____．

（图25－16）

7．如图25－17，在菱形ABCD中，E是边AB上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：

①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF，其中正确的有____．（填序号）

（图25－17）

8．（2018青岛）如图25－18，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连结GH，则GH的长为____．

（图25－18）

9．（2018台州）如图25－19，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，则△BCG的周长为____．

（图25－19）

10．（2020哈尔滨）如图25－20，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连结AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为___．

（图25－20）

1．正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）

A．对角相等

B．对角线互相平分

C．对角线相等

D．对角线互相垂直

2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，则点A到BD的距离是（　　）

A．4B．4.6C．4.8D．5

3．如图Z25－1，在菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1的度数为（　　）

（图Z25－1）

A．30°B．25°C．20°D．15°

4．已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为____cm2.

5．如图Z25－2，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB＝4，菱形ABCD的面积为24，则AC的长为____．

（图Z25－2）

6．如图Z25－3，O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝___．

（图Z25－3）

7．如图Z25－4，已知点A（3，0），P为y轴正半轴上一点，以线段PA为边在第一象限内作正方形APBC，当OB＝5时，点P的坐标为_．

（图Z25－4）

8．如图Z25－5，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：

（1）∠PBA＝∠PCQ＝30°；

（2）PA＝PQ.

（图Z25－5）

9．如图Z25－6，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　）

A.

B.

C.

D.

（图Z25－6）

10．如图Z25－7，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点G，E分别在边AB，CD上，点F，H在对角线AC上．若四边形EFGH是菱形，则AG的长是（　）

（图Z25－7）

A．5B．6C．2

D．3

11．如图Z25－8，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE＋CF的最小值为（　）

A．2

B．4

C．6D．8

（图Z25－8）（图ZD25－3）

12．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图Z25－9所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝3，则该矩形的面积为____．

（图Z25－9）

13．如图Z25－10，P为正方形ABCD的边BC的延长线上一动点，以DP为一边作正方形DPEM，以E为一顶点作正方形EFGH，且FG在BC的延长线上．

（1）若正方形ABCD，DPEM的面积分别为a，b，则正方形EFGH的面积为____（直接写结果）．

（2）过点P作BC的垂线交∠PDC的平分线于点Q，连结QE，试探求在点P运动过程中，∠DQE的大小是否发生变化，并说明理由．

（图Z25－10）

答案

1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　A　）

A．对角线相等

B．对角相等

C．对边相等

D．对角线互相平分

2．若矩形的对角线长为4，一条边长为2，则此矩形的面积为（　B　）

A．8

B．4

C．2

D．8

3．如图25－1，在菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，点F是AB的中点，点E在AC上，则ED＋EF的最小值是（　B　）

A．2B.

C．1.6D．1.5

（图25－1）

4．如图25－2，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形一组对边的距离等于（　D　）

（图25－2）

A．1.2B．2.4

C．3.6D．4.8

5．（2020福建）设A，B，C，D是反比例函数y＝

（k≠0）图象上的任意四点，现有以下结论：

①四边形ABCD可以是平行四边形；

②四边形ABCD可以是菱形；

③四边形ABCD不可能是矩形；

④四边形ABCD不可能是正方形．

其中正确的是__①④__．（写出所有正确结论的序号）

◆达标一　特殊平行四边形基本题

例1　下列命题中正确的是（　D）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形

C．有一个角是直角的四边形是矩形

D．内角都相等的四边形是矩形

变式1　在四边形ABCD中，AC＝BD.如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　B）

A．AB＝BC

B．AC与BD互相平分

C．AC⊥BD

D．AB⊥BD

例2　在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　C）

A．AB＝BCB．AC⊥BD

C．AC＝BDD．∠ABD＝∠CBD

变式2　如图25－3，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件中能够判定四边形ABCD为菱形的是（　A）

（图25－3）

A．AB＝BCB．AC＝BC

C．∠B＝60°D．∠ACB＝60°

例3　（2020日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题：

如图25－4，四边形ABCD为平行四边形，现从下列四个条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　B）

（图25－4）

A．①②B．②③C．①③D．②④

变式3　如图25－5，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使平行四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是__AC＝BD__．（只需添加一个即可）

（图25－5）

◆达标二　矩形创新题

例4　（2019杭州）如图25－6，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在边AD上，点F，G在边BC上），使得点B，点C落在边AD上同一点P处，点A的对应点为点A′，点D的对应点为点D′，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__6

＋10__．

（图25－6）

【解析】　∵∠FPG＝90°，∠D′PG＝∠C＝90°，

∴F，P，D′三点共线，∴∠D′PH＝∠EPF＝∠A′EP.

∵∠D′＝∠A′＝90°，∴△D′PH∽△A′EP.

∵S△D′PH∶S△A′EP＝1∶4，∴D′H∶A′P＝1∶2.

设D′H＝x，则A′P＝AB＝DC＝D′P＝2x.

∵S△D′PH＝1，∴

x·2x＝1，

解得x＝1（负值舍去），

∴D′H＝DH＝1，D′P＝A′P＝AB＝2，A′E＝AE＝2D′P＝4，

∴由勾股定理可得PH＝

，EP＝2

，

S矩形ABCD＝AB·（AE＋EP＋PH＋DH）＝10＋6

.

变式4　（2018金华）小靓用如图25－7

（1）的七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，如图25－7

（2）所示．则

的值是__

__．

（1）　　

（2）

（图25－7）

【解析】　提示：

设七巧板的边长为x，

则AB＝

x＋

x，BC＝

x＋x＋

x＝2x，

＝

＝

.

◆达标三　菱形创新题

例5　（2019宁波）如图25－8，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．求证：

BG＝DE.

（图25－8）

解：

不难证明△BGF≌△DEH（AAS），

∴BG＝DE.

变式5　（2018宁波）如图25－9，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME.若∠EMD＝90°，则cosB的值为__

__．

（图25－9）

解：

如图D25－1，延长DM交CB的延长线于点H.

（图D25－1）

易证△ADM≌△BHM，∴AD＝HB＝2.

∵EM⊥DH，∴EH＝ED.设BE＝x，

∵AE2＝AB2－BE2＝DE2－AD2，

∴22－x2＝（2＋x）2－22，

∴x＝

－1（舍负），∴cosB＝

＝

.

◆达标四　正方形创新题

例6　将图25－10中的正方形分割成四个等腰三角形，分割后不出现45°的角．

（图25－10）（图D25－2）

解：

分割方法如图D25－2所示．

变式6　将图25－11中的正方形分割成四个等腰三角形，分割后不出现全等三角形．

（图25－11）（图D25－3）

解：

分割方法如图D25－3所示．

1．如图25－12，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为（　B　）

A．（5，4）B．（8，4）C．（5，3）D．（8，3）

（图25－12）

2．如图25－13，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（－2，4），则BD的长是（　B　）

（图25－13）

A.

B．5C．3

D．4

3．已知菱形的边长为2cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为__2

__cm2.

4．将两个完全相同的长方形ABCD与长方形EFGD按如图25－14放置，点D在线段AG上，若AG＝m，CE＝n，则长方形ABCD的面积是__

__．（用m，n表示）

（图25－14）

5．如图25－15，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠BED的度数是__45°__．

（图25－15）

6．如图25－16，正方形ABCD的边长为1，点P为对角线AC上任意一点，作PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分别是E，F.则PE＋PF＝__1__．

（图25－16）

7．如图25－17，在菱形ABCD中，E是边AB上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：

①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF，其中正确的有__①②④__．（填序号）

（图25－17）

8．（2018青岛）如图25－18，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连结GH，则GH的长为__

__．

（图25－18）

9．（2018台州）如图25－19，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，则△BCG的周长为__

＋3__．

（图25－19）

10．（2020哈尔滨）如图25－20，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连结AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为__2

__．

（图25－20）

1．正方形具有而矩形不具有的性质是（　D　）

A．对角相等

B．对角线互相平分

C．对角线相等

D．对角线互相垂直

2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，则点A到BD的距离是（　C　）

A．4B．4.6C．4.8D．5

3．如图Z25－1，在菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1的度数为（　B　）

（图Z25－1）

A．30°B．25°C．20°D．15°

4．已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为__18

__cm2.

5．如图Z25－2，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB＝4，菱形ABCD的面积为24，则AC的长为__6__．

（图Z25－2）

6．如图Z25－3，O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝__2

__．

（图Z25－3）

7．如图Z25－4，已知点A（3，0），P为y轴正半轴上一点，以线段PA为边在第一象限内作正方形APBC，当OB＝5时，点P的坐标为__

__．

（图Z25－4）

8．如图Z25－5，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：

（1）∠PBA＝∠PCQ＝30°；

（2）PA＝PQ.

（图Z25－5）

解：

略

9．如图Z25－6，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　B　）

A.

B.

C.

D.

（图Z25－6）

提示：

方法1：

如图ZD25－1，过点F作MN⊥AD，BH⊥CF，易证DF＝FH＝HC，由DC＝2，可知DF＝

，NF＝

，ND＝

，设AE＝EF＝x，在△ENF中，由勾股定理得

2＋

2＝x2，解得x＝

.

（图ZD25－1）　　（图ZD25－2）

方法2：

如图ZD25－2，延长EF交CD于点M，连结BM，由HL得Rt△BFM≌Rt△BCM，

∴MF＝MC＝MD＝1.设AE＝EF＝x，

在△EMD中，根据勾股定理即可得到结论．

10．如图Z25－7，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点G，E分别在边AB，CD上，点F，H在对角线AC上．若四边形EFGH是菱形，则AG的长是（　A）

（图Z25－7）

A．5B．6C．2

D．3

11．如图Z25－8，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE＋CF的最小值为（　A）

A．2

B．4

C．6D．8

（图Z25－8）（图ZD25－3）

提示：

如图ZD25－3，作▱AEFG，连结AC，CG，则AE＋CF＝GF＋CF≥CG＝

＝2

.

12．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图Z25－9所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝3，则该矩形的面积为__12__．

（图Z25－9）

提示：

设正方形的边长为x，则

（3＋x）2＋（2＋x）2＝（2＋3）2，解得x＝1（舍负），故S矩形＝3×4＝12.

13．如图Z25－10，P为正方形ABCD的边BC的延长线上一动点，以DP为一边作正方形DPEM，以E为一顶点作正方形EFGH，且FG在BC的延长线上．

（1）若正方形ABCD，DPEM的面积分别为a，b，则正方形EFGH的面积为__b－a__（直接写结果）．

（2）过点P作BC的垂线交∠PDC的平分线于点Q，连结QE，试探求在点P运动过程中，∠DQE的大小是否发生变化，并说明理由．

（图Z25－10）

解：

∠DQE的大小不会发生变化，理由如下，

∵DC⊥BC，PQ⊥BC，EF⊥BC，

∴DC∥QP，QP∥EF，∴∠CDQ＝∠PQD.

∵DQ平分∠CDP，∴∠CDQ＝∠QDP＝∠PQD，∴PD＝PQ.

在正方形DPEM中，DP＝PE，∴PQ＝PE，

∴∠PQE＝∠PEQ.∵PQ∥EF，

∴∠PQE＝∠FEQ，∴∠PQE＝

∠PEF.

∵∠DQE＝∠DQP＋∠PQE＝

（∠CDP＋∠PEF）．

∵∠CDP＋∠CPD＝90°，∠CPD＋∠EPF＝90°，

∴∠CDP＝∠EPF，∴∠CDP＋∠PEF＝90°.

∵∠DQE＝

（∠CDP＋∠PEF），

∴∠DQE＝