勾股定理教学案例设计.docx
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勾股定理教学案例设计
XX中学教学案例与设计首页
编写时间：
2014年3月10日总第课时教者：
课题
勾股定理
（1）
教
学
目
标
知识
目标
1．探索直角三角形三边关系，学习数学定理的论证过程。
2．运用勾股定理解决简单的问题。
能力
目标
让学生经历观察、猜想、推理、论证等过程，探索勾股定理，体会数形结合
的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
情感
目标
1．通过了解勾股定理的历史，激发学生学习数学的兴趣。
2．培养学生严谨的数学学习态度，体验数学的探索性和创造性，感受数学之美，探究之趣。
教学重点
勾股定理的应用
教学难点
勾股定理的探索及论证
教学方法
讲练结合
课时数
教学手段与教具
三角板挂图
教学过程设计
一、创设情境，导入新课
观察24届国际数学家大会的会徽，观察它们的联系，提出问题，数学家大会为什么用它做会徽呢？
它有什么特殊的含义吗？
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。
相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。
（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？
（“观察”图案）
（2）你能找出图中正方形A、B、C面积之间的关系吗？
（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?
（提示：
SA+SB=SC；等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）
2、新知探究
1．等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的
备注：
每课时设计要写出必要的小结、课后记载、板书设计等内容。
XX中学教学案例与设计续页
平方和等于斜边的平方”呢？
（观察图案）
如图，每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，有一个直角边分别是4、3的直角三角形。
仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形。
2．想一想，怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积？
由上面例子我们可以猜想：
SA+SB=SC，即a2+b2=c2
3．勾股定理的证明
出示不同的证明方法对得到的结论进行论证
勾股定理：
如果直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
4．勾股定理历史和使用写法
三、应用新知，解决问题
和学生共同完成练习
四、回顾小结，整体感知
通过本节课的学习你们有哪些收获？
五、布置作业，巩固加深
1.必做题：
习题17.1第1,2题。
2.选做题：
（1）制作一幅精美的勾股树
（2）了解勾股定理的多种证法
课
后
反
思
备注：
每课时设计要写出必要的小结、课后记载、板书设计等内容。
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编写时间：
2014年3月10日总第课时教者：
课题
17.1勾股定理
（2）
教
学
目
标
知识
目标
1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
能力
目标
经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。
情感
目标
培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。
教学重点
勾股定理的简单计算。
教学难点
勾股定理的灵活运用
教学方法
讲练结合
课时数
教学手段与教具
三角板挂图
教学过程设计
一、课堂引入
复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。
学习勾股定理重在应用。
二、例题分析
例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°
（1）已知a=b=5,求c。
（2）已知a=1,c=2,求b。
（3）已知c=17,b=8,求a。
（4）已知a：
b=1：
2,c=5,求a。
（5）已知b=15，∠A=30°，求a，c。
分析：
刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。
⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。
⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。
通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
三、巩固练习
1．已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
分析：
已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。
让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
备注：
每课时设计要写出必要的小结、课后记载、板书设计等内容。
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2．（补充）已知：
等边△ABC的边长是6cm。
（1）求等边△ABC的高。
（2）求S△ABC。
分析：
勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
法。
欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，
但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=
AB=3cm，则此题可解。
四、本课小结
说说本节课有什么收获
五、布置作业
习题17.1第3题
课
后
反
思
备注：
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2014年3月10日总第课时教者：
课题
17.1勾股定理（3）
教
学
目
标
知识
目标
能够灵活运用勾股定理进行简单的计算
能力
目标
经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性，掌握情理
数学意识．
情感
目标
培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。
教学重点
勾股定理的简单计算。
教学难点
勾股定理的实际运用
教学方法
讲练结合
课时数
教学手段与教具
三角板挂图
教学过程设计
一、课堂引入
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。
勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？
试一试。
二、例题分析
例1（教材P25页探究1）
分析：
（1）在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。
（2）让学生深入探讨图中有几个直角三角形？
图中标字母的线段哪条最长？
（3）指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？
（4）转化为勾股定理的计算，采用多种方法。
（5）注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。
（学生独立解答，教师巡视）
例2（教材P25页探究2）
备注：
每课时设计要写出必要的小结、课后记载、板书设计等内容。
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分析：
（1）在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。
（2）在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。
则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。
⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。
（教师板书解题过程）
三、巩固练习
1．填空题：
在Rt△ABC，∠C=90°，
（1）如果a=7，c=25，则b=。
（2）如果∠A=30°，a=4，则b=。
（3）如果∠A=45°，a=3，则c=。
（4）如果c=10，a-b=2，则b=。
（5）如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。
（6）如果b=8，a：
c=3：
5，则c=。
2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
四、本课小结
指名学生说说本节课的收获。
五、布置作业
习题17.1第5题
课
后
反
思
备注：
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2014年3月10日总第课时教者：
课题
17.1勾股定理（4）
教
学
目
标
知识
目标
探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股逆定理解决综合问题
能力
目标
经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性，掌握情理
数学意识．
情感
目标
培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。
教学重点
勾股定理的简单计算。
教学难点
勾股定理的综合运用
教学方法
讲练结合
课时数
教学手段与教具
三角板挂图
教学过程设计
一、课堂引入
复习勾股定理的内容。
本节课探究勾股定理的综合应用。
二、例题分析
例1．已知：
在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=
，求线段AB的长。
分析：
本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。
目前“双垂图”需要掌握的知识点有：
3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
要求学生能够自己画图，并正确标图。
引导学生分析：
欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。
或欲求AB，可由
，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。
（教师板书解题过程）
三、巩固练习
1．已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
备注：
每课时设计要写出必要的小结、课后记载、板书设计等内容。
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分析：
如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。
解：
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=
=
。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE=
=
。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
AB·BE-
CD·DE=
2．在数轴上画出表示
的点。
四、本课小结
不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。
五、布置作业
习题17.1第6题
课
后
反
思
备注：
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2014年3月10日总第课时教者：
课题
17.2勾股定理的逆定理
（1）
教
学
目
标
知识
目标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系
能力
目标
探究勾股定理的逆定理的证明方法
情感
目标
培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理逆定理的应用价值。
教学重点
掌握勾股定理的逆定理及证明。
教学难点
勾股定理的逆定理的证明。
教学方法
讲练结合
课时数
教学手段与教具
三角板挂图
教学过程设计
一、课堂引入
创设情境：
（1）怎样判定一个三角形是等腰三角形？
（2）怎样判定一个三角形是直角三角形？
和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
二、例题分析
例1．说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两条直线平行。
（2）如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（4）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：
（1）每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
（2）理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
（解略）。
例2（P32探究）证明：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
分析：
（1）注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。
备注：
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（2）如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。
（3）利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。
（4）先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。
（5）先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。
充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。
（教师板书证明过程）。
三、巩固练习
1．已知：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）
求证：
∠C=90°。
分析：
（1）运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：
①先判断那条边最大。
②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。
③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
（2）要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。
根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
（3）由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。
四、本课小结
通过学习本节课，你学到了哪些知识？
五、布置作业
习题17.2第2题
课
后
反
思
备注：
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课题
17.2勾股定理的逆定理
（2）
教
学
目
标
知识
目标
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
能力
目标
进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
情感
目标
培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理逆定理的应用价值。
教学重点
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学难点
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学方法
讲练结合
课时数
教学手段与教具
三角板挂图
教学过程设计
一、课堂引入
创设情境：
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。
二、例题分析
例1（P33例2）
分析：
（1）了解方位角，及方位名词；
（2）依题意画出图形；
（3）依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；
（4）因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；
（5）∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结：
让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
分析：
（1）若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
（2）设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
（3）根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。
（教师板书解题过程）
备注：
每课时设计要写出必要的小结、课后记载、板书设计等内容。
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三、巩固练习
1．若三角形的三边是⑴1、
、2；⑵
；⑶32，42，52⑷9，40，41；⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（）
A、2个B、３个 Ｃ、４个 Ｄ、５个
2．已知：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？
并指出那一个角是直角？
（1）a=9，b=41，c=40；
（2）a=15，b=16，c=6；
（3）a=2，b=
，c=4；（4）a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。
3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
则这块土地的面积是多少。
四、本课小结
本节课你有哪些收获？
五、布置作业
习题17.2第5题
课
后
反
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2014年3月10日总第课时教者：
课题
17.2勾股定理的逆定理（3）
教
学
目
标
知识
目标
1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
能力
目标
进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
情感
目标
培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理逆定理的应用价值。
教学重点
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学难点
利用勾股定理及逆定理解综合题。
教学方法
讲练结合
课时数
教学手段与教具
三角板挂图
教学过程设计
一、课堂引入
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。
二、例题分析
例1（补充）已知：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断△ABC的形状。
分析：
（1）移项，配成三个完全平方；
（2）三个非负数的和为0，则都为0
（3）已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。
（学生独立解答，教师巡视指导，帮助有困难的学生）
例2（补充）已知：
如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：
四边形ABCD的面积。
分析：
（1）作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
（2）DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；
（3）在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；
（4）利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。
（教师板书解题过程）
备注：
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三、巩固练习
1．已知：
如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。
求证：
△ABC是直角三角形。
分析：
∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2AD·BD+BD2
=（AD+BD）2=AB2
2．已知：
如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，
求S△ABC。
四、本课小结
本节课你学到了哪些知识？
还有哪些疑问？
五、布置作业
习题17.2第6题
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