完整版正弦定理余弦定理应用实例练习含答案.docx
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完整版正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
课时作业3应用举例
时间：
45分钟满分：
100分
课堂训练
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是（）
A．103海里B．106海里
C．52海里D．56海里
【答案】D
【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°，
则∠C＝45°，
由正弦定理得：
BC＝AB·sinA10×sin60°
BC＝sinC＝sin45°
＝56.
2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）
A．502m
C．252m
【答案】A
解析】因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝30°，根
AC＝AB，即50＝AB
sin∠ABC＝sin∠ACB，即sin30＝°sin45
502m，选A.
3．从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°，A，B间距离是35m，则此电视塔的高度是m.
【答案】521
【解析】如图所示，塔高为OC，则∠OAC＝60°，∠AOB＝180°
－30°＝150，°∠CBO＝45°，AB＝35，
设电视塔高度为
理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝（33h）2＋h2－2×33h×h×（－23）解得h＝521.
4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线
BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，
再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．
解析】在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，
∴∠BAC＝15
∴AC＝60cos15＝°60cos（45－3°0°）
＝60（cos45cos°30＋°sin45si°n30）＝°15（6＋2），
∴A到BC的距离为d＝ACsin45＝°15（3＋1）≈40.98海里＞38海
里，所以继续向南航行，没有触礁危险．
课后作业
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）
A．北偏东10°B．北偏西10°
C．南偏东10°D．南偏西10°
答案】B
解析】如图所示，∠ECA＝40°，∠FCB＝60°，∠ACB＝180°
－40°－60°＝80°，
180°－80°
∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝＝50°，∴∠ABG＝180－°∠
CBH－∠CBA＝180°－120°－50°＝10°.故选B.
2．某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形
空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这
答案】C
111
解析】S△＝2×20×30×sin150°＝2×20×30×2
＝150（m2），
∴购买这种草皮需要150a元，故选C.
3．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长
的长度（单位：
m）是（）
A．5B．10
C．102D．103
【答案】C
【解析】如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°.在△ABB′
中，利用正弦定理可求得BB′的长度．
在△ABB′中，∠B′＝30°，
∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m.
由正弦定理，得
2
10×2
ABsin45°2
BB′＝sin30°＝1＝102（m）．
2
∴坡底延长102m时，斜坡的倾斜角将变为30°.
4．一船以226km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为（）
答案】
解析】如图，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，
AB＝226×32＝336，
由正弦定理
336＝SB，sin120＝°sin45，°
∴SB＝66（km）．
5．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干
也倾斜，与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是（）
B．106米
D．202米
A.2036米
C.1036米
【答案】A
解析】设树干底部为O，折断点为P，树尖着地处为M，如
图，△OPM中，∠P＝180－°∠M－∠O＝180°－45°－75°＝60°，由正弦
POMOMOsinM20×sin45°206定理得sinM＝sinP，∴PO＝sinP＝sin60°＝3
6．甲船在B岛的正南A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（）
如图，设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知：
PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120，
1
即s2＝（10－4x）2＋（6x）2－2（10－4x）×6x×（－2）
＝28x2－20x＋100.
当x＝－2a＝14时
25150
，s2最小，此时x＝14h＝7min.
7．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h，该船实际航程为（）
∴∠A＝60°，|O→C|＝22＋42－2×2×4cos60＝°23.
经过3h，该船的航程为23×3＝6（km）．
8．如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为（）
答案】
解析】
如图，作CE⊥平面ABD于点E，则∠CDE是太阳光
线与地面所成的角，即∠CDE＝40°，延长DE交直线AB于点F，连
接CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S△ABD最大，
只需DF最大．
CF·sin140°－α
∴DF＝sin40°
∵CF为定值，∴当α＝50°时，DF最大．
二、填空题（每小题10分，共20分）
9．如图在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向
上走a米到B，又测得山顶P的仰角为γ，则山高为
解析】在△PAB中，已知∠BAP＝α－β，∠APB＝γ－α，AB＝a，
asinγ－β
由正弦定理可得PA＝
sinγ－α
asinαsinγ－β在Rt△PAQ中，PQ＝PAsinα＝
sinγ－α
10．一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105°爬行20cm，
又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x＝.
【答案】2306
解析】如图△ABC中，∠A＝45°＋15°＝60°，∠B＝45°＋30
＝75°，∠ACB＝45°，由正弦定理知
x20
＝sinA，
＝，∴x＝
sin∠ACB＝，∴x＝
三、解答题（每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
11．A、B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是
＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可．
解析】在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
ABAD
由sin15＝°sin45，°
800×2AB·sin45°2
6－2
4
得AD＝
sin15
＝800（3＋1）（m）．
∴CD＝AD＝800（3＋1）≈2186（m）．
答：
山高CD为2186m.
12．如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O
点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？
并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角．
【分析】根据题意画出示意图如图所示．在△MON中，利用余弦定理得到速度v关于时间t的函数关系式，然后利用二次函数求最值．
解析】如图所示，设快艇从M处以v千米/小时的速度出发，
沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇．在△MON中，MO＝500，ON
＝100t，MN＝vt，
设∠MON＝α，由题意得
由余弦定理，得
MN2＝OM2＋ON2－2OM·ON·cosα，
4
即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×5.
111
v2＝5002×t2－2×500×80×t＋1002＝（500×t－80）2＋3600.
18025
当t＝500，即t＝4时，v2min＝3600.
即快艇至少必须以60千米/小时的速度行驶，
此时MN＝60×4＝375，MQ是M到ON的距离，且MQ＝300.
设∠MNO＝β，则sinβ＝375＝5.所以可得α＋β＝90°，
即MN与OM所成的角为90°.
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