三角函数平面向量综合题八类型师.doc

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三角函数与平面向量综合题的九种类型

题型一：

三角函数与平面向量平行（共线）的综合

【例1】　已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量＝（2－2sinA，cosA＋sinA）与向量＝（sinA－cosA，1＋sinA）是共线向量.

（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.

【解】（Ⅰ）∵、共线，∴（2－2sinA）（1＋sinA）＝（cosA＋sinA）（cosA－sinA），

则sin2A＝，又A为锐角，所以sinA＝，则A＝.

（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos

＝2sin2B＋cos（－2B）＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B

＝sin2B－cos2B＋1＝sin（2B－）＋1.

∵B∈（0，），∴2B－∈（－，），∴2B－＝，解得B＝，ymax＝2.

【点评】　本题主要考查向量共线（平行）的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：

（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；

（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.

题型二.　三角函数与平面向量垂直的综合

此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.

【例2】已知向量＝（3sinα,cosα），＝（2sinα，5sinα－4cosα），α∈（，2π），且⊥．

（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos（＋）的值．

【分析】　第（Ⅰ）小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第（Ⅱ）小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．

【解】　（Ⅰ）∵⊥，∴·＝0．而＝（3sinα，cosα），＝（2sinα,5sinα－4cosα），

故·＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．

由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．

∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．

（Ⅱ）∵α∈（，2π），∴∈（，π）．

由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（舍去）．∴sin＝，cos＝－，

∴cos（＋）＝coscos－sinsin＝－×－×＝－

题型三.　三角函数与平面向量的模的综合

【例3】　已知向量＝（cosα,sinα），＝（cosβ,sinβ），|－|＝.（Ⅰ）求cos（α－β）的值；（Ⅱ）若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.

【分析】　利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第（Ⅰ）小题；而第（Ⅱ）小题则可变角α＝（α－β）＋β，然后就须求sin（α－β）与cosβ即可.

【解】　（Ⅰ）∵|－|＝，∴2－2·＋2＝，

将向量＝（cosα,sinα），＝（cosβ,sinβ）代入上式得

12－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＋12＝，∴cos（α－β）＝.

（Ⅱ）∵－＜β＜0＜α＜，∴0＜α－β＜π，

由cos（α－β）＝－，得sin（α－β）＝，

又sinβ＝－，∴cosβ＝，

∴sinα＝sin［（α－β）＋β］＝sin（α－β）cosβ＋cos（α－β）sinβ＝.

题型四：

结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值

【例1】（2010年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，，求的值．

【解答】因为为的最小正周期，故．因为，

又，故．

由于，所以

．

【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。



练习1：

设函数f（x）＝·.其中向量＝（m，cosx），＝（1＋sinx，1），x∈R，且f（）＝2.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值.

分析：

利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f（x）关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件f（）＝2可以求得，而第（Ⅱ）小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.

解：

（Ⅰ）f（x）＝·＝m（1＋sinx）＋cosx，

由f（）＝2，得m（1＋sin）＋cos＝2，解得m＝1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝sinx＋cosx＋1＝sin（x＋）＋1，

当sin（x＋）＝－1时，f（x）的最小值为1－.

　　题型五：

结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题

　　【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。

【解答】（I）因为函数图像过点，

所以即

因为，所以.

（II）由函数及其图像，得

所以从而

，故.

　　【评析】此类问题的一般步骤是：

先利用向量的夹角公式：

求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。

题型六：

结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算

【例3】（山东卷）在中，角的对边分别为，．

（1）求；

（2）若，且，求．

【解答】

（1），,

又，解得：

，

，是锐角，．

（2），，，

又，，，

，．

【评析】根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。



题型七：

结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算

【例4】（2007年高考陕西卷），其中向量，，，且函数的图象经过点．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合。

【解答】（Ⅰ）

由已知，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

∴当时，的最小值为，

由，得值的集合为．

　　【评析】涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。



题型八：

结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法

【例5】（2007年高考湖北卷）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　　）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

【解答】∵，∴平移后的解析式为

，选．

【评析】理清函数按向量平移的一般方法是解决此类问题之关键，平移后的函数解析式为．

题型九：

结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题

【例6】（2006年高考湖北卷）设向量，函数.

（Ⅰ）求函数的最大值与最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式成立的的取值集.

【解答】（Ⅰ）∵

∴的最大值为，最小正周期是

（Ⅱ）要使成立，当且仅当，

即,

即成立的的取值集合是．

　　【评析】结合向量的坐标运算法则，求出函数的三角函数关系式，再根据三角公式对函数的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解集。

【专题训练】

一、选择题

1．已知＝（cos40°，sin40°），＝（cos20°，sin20°），则·＝ （）

A．1 B． C． D．

2．将函数y＝2sin2x－的图象按向量（，）平移后得到图象对应的解析式是 （）

A．2cos2x B．－2cos2x C．2sin2x D．－2sin2x

3．已知△ABC中，＝，＝，若·＜0，则△ABC是 （）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形

4．设＝（,sina），＝（cosa,），且∥，则锐角a为 （）

A．30° B．45° C．60° D．75°

5．已知＝（sinθ，），＝（1，），其中θ∈（π，），则一定有 （）

A．∥ B．⊥ C．与夹角为45°D．||＝||

6．已知向量＝（6，－4），＝（0，2）,＝＋l，若C点在函数y＝sinx的图象上,实数l＝ （）

A． B． C．－ D．－

7．设0≤θ≤2π时，已知两个向量＝（cosθ，sinθ），＝（2＋sinθ，2－cosθ），则向量长度的最大值是 （）

A． B． C．3 D．2

8．若向量＝（cosa,sina），＝（cosb,sinb），则与一定满足 （）

A．与的夹角等于a－b B．⊥

C．∥ D．（＋）⊥（－）

9．已知向量＝（cos25°,sin25°），＝（sin20°,cos20°），若t是实数，且＝＋t，则||的最小值为 （）

A． B．1 C． D．

10．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：

＝＋l（＋），l∈（0,＋∞），则直线AP一定通过△ABC的 （）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

二、填空题

11．已知向量＝（sinq，2cosq），＝（,－）.若∥，则sin2q的值为____________．

12．已知在△OAB（O为原点）中，＝（2cosa，2sina），＝（5cosb，5sinb），若·＝－5，则S△AOB的值为_____________.

13．已知向量＝（1，1）向量与向量夹角为，且·＝－1.则向量＝__________．

三、解答题

14．已知向量＝（sinA,cosA），＝（,－1），·＝1，且为锐角.

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f（x）＝cos2x＋4cosAsinx（x∈R）的值域．

15．在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量＝（1，2sinA），＝（sinA，1＋cosA），满足∥，b＋c＝a.（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sin（B＋）的值．

16．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，＝（2b－c，a），＝（cosA，－cosC），且⊥．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）当y＝2sin2B＋sin（2B＋）取最大值时，求角的大小.

17．已知＝（cosx＋sinx，sinx），＝（cosx－sinx，2cosx），

（Ⅰ）求证：

向量与向量不可能平行；

（Ⅱ）若f（x）＝·，且x∈[－,]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

18．设函数，其中向量，

．

（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的．

19．已知向量．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）求的最大值．

【参考答案】

【专题训练】参考答案

一、选择题

1．B　解析：

由数量积的坐标表示知·＝cos40°sin20°＋sin40°cos20°＝sin60°＝.

2．D【解析】y＝2sin2x－→y＝2sin2（x＋）－＋，即y＝－2sin2x.

3．A【解析】因为cos∠BAC＝＝＜0，∴∠BAC为钝角.

4．B【解析】由平行的充要条件得×－sinacosa＝0，sin2a＝1，2a＝90°，a＝45°.

5．B【解析】·＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈（π，），∴|sinθ|＝－sinθ，∴·＝0，∴⊥．

6．A【解析】＝＋l＝（6，－4＋2l），代入y＝sinx得，－4＋2l＝sin＝1，解得l

＝.

7．C【解析】||＝＝≤3.

8．D【解析】＋＝（cosa＋cosb,sina＋sinb），－＝（cosa＋cosb,sina－sinb），∴（＋）·（－）＝cos2a－cos2b＋sin2a－sin2b＝0，∴（＋）⊥（－）．

9．C【解析】||2＝||2＋t2||2＋2t·＝1＋t2＋2t（sin20°cos25°＋cos20°sin25°）＝t2＋t＋1＝（t＋）2＋，||＝，∴||min＝.

10．C【解析】设BC的中点为D，则＋＝2，又由＝＋l（＋），＝2l，所以与共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过△ABC的重心．

二、填空题

11．－【解析】由∥，得－sinq＝2cosq,∴tanq＝－4，∴sin2q＝＝＝－．

12．【解析】·＝－5Þ10cosacobs＋10sinasinb＝－5Þ10cos（a－b）＝－5Þcos（a－b）＝－，∴sin∠AOB＝，又||＝2，||＝5，∴S△AOB＝×2×5×＝．

13．（－1，0）或（0，－1）【解析】设＝（x，y），由·＝－1，有x＋y＝－1①，由与夹角为，有·＝||·||cos，∴||＝1，则x2＋y2＝1②，由①②解得或∴即＝（－1，0）或＝（0，－1）．

三、解答题

14．【解】（Ⅰ）由题意得·＝sinA－cosA＝1，2sin（A－）＝1，sin（A－）＝，

由A为锐角得A－＝，A＝.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA＝，所以f（x）＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2（sinx－）2＋，

因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f（x）有最大值．

当sinx＝－1时，f（x）有最小值－3，所以所求函数f（x）的值域是[－3，]．

15．【解】（Ⅰ）由∥，得2sin2A－1－cosA＝0，即2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝或cosA＝－1.

∵A是△ABC内角，cosA＝－1舍去，∴A＝.

（Ⅱ）∵b＋c＝a，由正弦定理，sinB＋sinC＝sinA＝，

∵B＋C＝，sinB＋sin（－B）＝，

∴cosB＋sinB＝，即sin（B＋）＝．

16．【解】（Ⅰ）由⊥，得·＝0，从而（2b－c）cosA－acosC＝0，

由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0

∴2sinBcosA－sin（A＋C）＝0，2sinBcosA－sinB＝0，

∵A、B∈（0，π），∴sinB≠0，cosA＝，故A＝.

（Ⅱ）y＝2sin2B＋2sin（2B＋）＝（1－cos2B）＋sin2Bcos＋cos2Bsin

＝1＋sin2B－cos2B＝1＋sin（2B－）.

由（Ⅰ）得，0＜B＜，－＜2B－＜，

∴当2B－＝，即B＝时，y取最大值2.

17．【解】（Ⅰ）假设∥，则2cosx（cosx＋sinx）－sinx（cosx－sinx）＝0，

∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，2·＋sin2x＋＝0，

即sin2x＋cos2x＝－3，

∴（sin2x＋）＝－3，与|（sin2x＋）|≤矛盾，

故向量与向量不可能平行．

（Ⅱ）∵f（x）＝·＝（cosx＋sinx）·（cosx－sinx）＋sinx·2cosx

＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x

＝（cos2x＋sin2x）＝（sin2x＋），

∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，f（x）有最大值；

当2x＋＝－，即x＝－时，f（x）有最小值－1．

18．解：

（Ⅰ）由题意得，

，所以，的最大值为，最小正周期是.

（Ⅱ）由得，即，

于是，．

因为为整数，要使最小，则只有，此时即为所求．

19．解：

（Ⅰ）若，则，由此得：

，

所以，．

（Ⅱ）由得：

当时，取得最大值，即当时，的最大值为．