罗尔中值定理的内容及证明方法.doc

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罗尔中值定理的内容及证明方法

（一）定理的证明

证明：

因为函数在闭区间上连续，所以存在最大值与最小值，分别用和表示，现在分两种情况讨论：

1.若，则函数在闭区间上必为常数，结论显然成立。

2.若，则因为使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点，由条件在开区间内可导得，在处可导，故由费马定理推知：

。

（二）罗尔中值定理类问题的证明

罗尔中值定理在微分学解题中有着广泛的应用，下面我们就对罗尔中值定理的应用作深入的研究，归纳出证题技巧。

1.形如“在内至少存在一点，使”的命题的证法。

（1）当时，一般这种情况下，我们只需验证满足罗尔定理的条件，根据罗尔定理来证明命题。

在证明过程中，我们要注意区间的选取，有时候所需验证的条件并不是显而易见的。

例1设在闭区间上连续，开区间内可导，。

证明：

，使

分析：

由于所需验证的罗尔中值定理的条件并不是显而易见的，而且这个问题涉及到定积分，所以我们考虑运用积分中值定理的知识，尝试在中找到一个区间，在中运用罗尔中值定理去证明。

证：

因为

显然在闭区间上连续，在开区间内可导

根据罗尔定理，，使

（2）当时，若所证明的等式中不出现端点值，则将结论化为：

的形式，构造辅助函数，我们就可以运用

（1）中的方法证明命题。

我们在构造辅助函数时，可用观察法、积分法、递推法，常数法等等。

例2设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，证明：

在内至少存在一点，使

证：

要证明

只需证

故令，则在闭区间上连续，在开区间内可导，且

故，，使得

即：

2.应用罗尔定理来讨论方程的根：

解决这类问题首先要构造一个函数，使该函数的导数是结论中的函数。

例3证明方程在内至少有一实根。

分析：

若令，则，的符号不易判别，所以不适合运用介值定理，因此我们采用罗尔中值定理来证明。

证：

令，则在上连续，在内可导，且。

由罗尔中值定理可知：

，使。

即

所以方程在内至少有一实根

例4若可导，试证明在的两个零点之间，一定有的零点。

分析：

要证存在零点，我们需要构造一个辅助函数，使得，将问题转换为的零点存在问题。

证：

令,设，为的两个零点，即，。

则有。

假设，有在上连续，在内可导。

由罗尔中值定理可得，，使,即，又因为，故。

所以，在的两个零点之间，一定有的零点。

（三）广义的罗尔中值定理

罗尔中值定理是微分中值定理中最基本的定理，也是证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。

下面我们对广义的罗尔定理进行讨论。

广义的罗尔定理有多种形式，它们的特点就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后得到广义的罗尔中值表达式。

广义的罗尔定理有多种形式。

形式1：

若函数在内可导，且，则在内至少存在一点，使。

证：

若，则结论显然成立。

若，不妨设，使，由，知：

对，，，当，时，有，则。

又在上连续，故必存在最小值，即，使。

又当，时，都有，则也是在上的最小值。

故由费马定理知，

例5设函数在区间上可导，且有，证明，使。

证：

令，因为，所以。

又因为,所以。

而，，所以，故在可导。

由广义的罗尔中值定理，，使，即。

形式2：

若函数在内可导，且，则在内至少存在一点，使。

证明方法与形式1类似。

例6求证函数在内至少存在一点，使得。

证：

显然函数在开区间内可导，且有，。

则由形式2可知，在内至少存在一点，使。

而，故。

形式3：

若函数在内可导，且（为有限数或），则在内至少存在一点，使。

证：

若为有限数，当,显然结论成立。

若，必，使。

不妨设，，使得。

而，由局部保号性，必，使，，使。

因为在可导，所以在，连续。

由介值定理，，，使。

在利用罗尔中值定理，，使得。

若，由，，知，使得，使，则有，使,则有。

再由在连续，，，有,在利用罗尔中值定理，有。

例7求证函数在内至少存在一点，使。

证：

显然函数在内可导，且有，。

则由形式3可知，在内至少存在一点，使。

而，故有。

形式4：

若函数在内可导，且，则在内至少存在一点，使。

证：

令，由题设知：

，，且存在。

由形式3可知，，使，而，故，。

例8求证函数在内至少存在一点，使。

证：

显然函数在内可导，且有，。

则由形式4可知，在内至少存在一点，使。

而，故有，。