鸡兔同笼应用题.docx

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鸡兔同笼应用题

鸡兔同笼应用题

典型应用题之鸡兔同笼

一,基本问题

"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--"假设法"来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.

例1有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只

解:

我们设想,每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·也就是244÷2=122（只）.在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数

122-88=34,有34只兔子.当然鸡就有54只.答:

有兔子34只,鸡54只.

上面的计算,可以归结为下面算式:

总脚数÷2-总头数=兔子数.

上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!

能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,"脚数"就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.

还说例1.

如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了88×4-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚,所以共有鸡（88×4-244）÷（4-2）=54（只）.说明我们设想的88只"兔子"中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

当然,我们也可以设想88只都是"鸡",那么共有脚2×88=176（只）,比244只脚少了

244-176=68（只）.

每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚,

68÷2=34（只）.

说明设想中的"鸡",有34只是兔子,也可以列出公式

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.

假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为"假设法".

现在,拿一个具体问题来试试上面的公式.

例2红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红,蓝铅笔各买几支

解:

以"分"作为钱的单位.我们设想,一种"鸡"有11只脚,一种"兔子"有19只脚,它们共有16个头,280只脚.

现在已经把买铅笔问题,转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式,就有

蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）

=24÷8

=3（支）.

红笔数=16-3=13（支）.

答:

买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.

对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"脚数"19与11之和是30.

我们也可以设想16只中,8只是"兔子",8只是"鸡",根据这一设想,脚数是

8×（11+19）=240.

比280少40.

40÷（19-11）=5.

就知道设想中的8只"鸡"应少5只,也就是"鸡"（蓝铅笔）数是3.

30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.

实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,"兔数"为10,"鸡数"为6,就有脚数

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷（19-11）=3,

就知道设想6只"鸡",要少3只.

要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.

下面再举四个稍有难度的例子.

例3一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时

解:

我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数）,甲每小时打30÷6=5（份）,乙每小时打30÷10=3（份）.

现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了.

根据前面的公式

"兔"数=（30-3×7）÷（5-3）

=4.5,

"鸡"数=7-4.5

=2.5,

也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.

答:

甲打字用了4小时30分.

例4今年是1998年,父母年龄（整数）和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年

解:

4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式,兄的年龄是

（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.

1998年,兄年龄是

14-4=10（岁）.

父年龄是

（25-14）×4-4=40（岁）.

因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是

（40-10）÷（3-1）=15（岁）.

这是2003年.

答:

公元2003年时,父年龄是兄年龄的3倍.

例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只

解:

因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种.利用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）

=5（只）.

因此就知道6条腿的小虫共

18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式

蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.

因此蜻蜓数是13-6=7（只）.

答:

有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.

例6某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人

解:

对2道,3道,4道题的人共有

52-7-6=39（人）.

他们共做对

181-1×7-5×6=144（道）.

由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样

兔脚数=4,鸡脚数=2.5,

总脚数=144,总头数=39.

对4道题的有

（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.

答:

做对4道题的有31人.

习题一

1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只

2.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副

3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个

4.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,其中2元与5元的张数一样多.那么2元,5元,10元各有多少张

5.一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天

6.摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路（3千米）,一段平路（4千米）,一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的;有的是由一段上坡路（3千米）,一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段

7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张

二,"两数之差"的问题

鸡兔同笼中的总头数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢

例7买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张

解一:

如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

（680-8×40）÷（8+4）=30（张）,

这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.

因此8分邮票有

40+30=70（张）.

答:

买了8分的邮票70张,4分的邮票30张.

也可以用任意假设一个数的办法.

解二:

譬如,假设有20张4分,根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分.以"分"作为计算单位,此时邮票总值是

4×20+8×60=560.

比680少,因此还要增加邮票.为了保持"差"是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是

（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）.

因此4分有20+10=30（张）,8分有60+10=70（张）.

例8一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天

工程要多少天才能完成

解:

类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有

（150-8×3）÷（10+8）=7（天）.

雨天是7+3=10天,总共

7+10=17（天）.

答:

这项工程17天完成.

请注意,如果把"雨天比晴天多3天"去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.

总脚数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢

例9鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只

解一:

假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14（只）,鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍）,于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是

（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.

鸡是

100-38=62（只）.

答:

鸡62只,兔38只.

当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是

（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.

也可以用任意假设一个数的办法.

解二:

假设有50只鸡,就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是

4×50-2×50=100,

比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只（千万注意,不是2）.因此要减少的兔数是

（100-28）÷（4+2）=12（只）.

兔只数是

50-12=38（只）.

另外,还存在下面这样的问题:

总头数换成"两数之差",总脚数也换成"两数之差".

例10古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集

其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.

解一:

如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差

13×5×4+20=280（字）.

每首字数相差

7×4-5×4=8（字）.

因此,七言绝句有

28÷（28-20）=35（首）.

五言绝句有

35+13=48（首）.

答:

五言绝句48首,七言绝句35首.

解二:

假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字）,28×10=280（字）,五言绝句的字数,反而多了

460-280=180（字）.

与题目中"少20字"相差

180+20=200（字）.

说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加

200÷8=25（首）.

五言绝句有

23+25=48（首）.

七言绝句有

10+25=35（首）.

在写出"鸡兔同笼"公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与"鸡兔同笼"公式对照一下,就会发现非常有趣的事.

例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是

（680-8×40）÷（8+4）=30（张）.

例9,假设都是兔,鸡的只数是

（100×4-28）÷（4+2）=62（只）.

10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是

（20×13+20）÷（28-20）=35（首）.

首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与"鸡兔同笼"公式比较,这三个算式只是有一处"-"成了"+".其奥妙何在呢

当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.

例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只

解:

如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是

（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）.

答:

这次搬运中破损了17只玻璃瓶.

请你想一想,这是"鸡兔同笼"同一类型的问题吗

例12有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错（包含不答）1题倒扣1分;第二次

15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分

解一:

如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是

8×6-2×（15-6）=30（分）.

两次相差

120-30=90（分）.

比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6（分）,而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少

6+10=16（分）.

（90-10）÷（6+10）=5（题）.

因此,第一次答对题数要比假设（全对）减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11（题）.

第一次得分

5×19-1×（24-9）=90.

第二次得分

8×11-2×（15-11）=80.

答:

第一次得90分,第二次得80分.

解二:

答对30题,也就是两次共答错

24+15-30=9（题）.

第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6（分）,第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16（分）.

如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件"第一次得分多10分",要少了6×9+10.因此,第二次答错题数是

（6×9+10）÷（6+10）=4（题）·

第一次答错9-4=5（题）.

第一次得分5×（24-5）-1×5=90（分）.

第二次得分8×（15-4）-2×4=80（分）.

习题二

1.买语文书30本,数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书和数学书的价格各是多少

2.甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克

3.一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次.一连运了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴天多3天,但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天

4.某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分.小华得了76分.问小华做对了几道题

5.甲,乙二人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10发,共命中14发.结算分数时,甲比乙多10分.问甲,乙各中几发

6.甲,乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地,在停留半小时后,又从乙地返回甲地,小王从乙地到甲地,在甲地停留40分钟后,又从甲地返回乙地.已知两人同时分别从甲,乙两地出发,经过4小时后,他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米,求两人的速度.

三,从"三"到"二"

"鸡"和"兔"是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法,也可以看出,要把"三种"转化成"二种"来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化的方法.

例13学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支

解:

从条件"铅笔数量是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作

（0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）.

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用"鸡兔同笼"公式可算出,钢笔支数是

（300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）.

铅笔和圆珠笔共

232-12=220（支）.

其中圆珠笔

220÷（4+1）=44（支）.

铅笔

220-44=176（支）.

答:

其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.

例14商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个

解:

因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是

（1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）.

从公式可算出,大球个数是

（120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）.

买中,小球钱数各是

（120-30×3）÷2=15（元）.

可买10个中球,15个小球.

答:

买大球30个,中球10个,小球15个.

例13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法）,把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西的平均价,就把"三"转化成"二"了.

例15是为例16作准备.

例15某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均速度是多少

解:

去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.

平均速度=所行距离÷所用时间

去时走1千米,要用20分钟;回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半小时,平均速度是每小时走4千米.

千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:

每小时走（6+3）÷2=4.5千米.

例16从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地

李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米

解:

把来回路程45×2=90（千米）算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成"一种"路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼"问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是

（90-4×21）÷（5-4）=6（小时）.

单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.

从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是

45-5×3=30（千米）.

又是一个"鸡兔同笼"问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是

（6×7-30）÷（6-3）=4（小时）.

行走路程是3×4=12（千米）.

下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）.

答:

从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.

做两次"鸡兔同笼"的解法,也可以叫"两重鸡兔同笼问题".例16是非常典型的例题.

例17某种考试已举行了24次,共出了426题.每次出的题数,有25题,或者16题,或者20题.那么,其中考25题的有多少次

解:

如果每次都考16题,16×24=384,比426少42道题.

每次考25道题,就要多25-16=9（道）.

每次考20道题,就要多20-16=4（道）.

就有

9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.

请注意,4和42都是偶数,9×考25题次数也必须是偶数,因此,考25题的次数是偶数,由9×6=54比42大,考25题的次数,只能是0,2,4这三个数.由于42不能被4整除,0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）.

答:

其中考25题有2次.

例18有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位

解:

由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.

如果有30人乘电车,

110-1.2×30=74（元）.

还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

如果有40人乘电车

110-1.2×40=62（元）.

还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往,钱还有多（62>6×10）.说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍.

现在又可以转化成"鸡兔同笼"了:

总头数50-35=15,

总脚数110-1.2×35=68.

因此,乘小巴前往的人数是

（6×15-68）÷（6-4）=11.

答:

乘小巴前往的同学有11位.

在"三"转化为"二"时,例13,例14,例16是一种类型.利用题目中数量比例关系,把两种东西合并组成一种

.例17,例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数,以及总量的限制,其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数,也就变成"二"的问题了.在小学算术的范围内,学习这两种类型已足够了.更复杂的问题,只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.

习题三

1.有100枚硬币,把其中2分硬币全换成等值的5分硬币,硬币总数变成79个,然后又把其中的1分硬币换成等值的5分硬币,硬币总数变成63个.求原有2分及5分硬币共值多少钱

2."京剧公演"共出售750张票得22200元.甲票每张60元,乙票每张30元,丙票每张18元.其中丙票张数是乙票张数的2倍.问其中甲票有多少张

3.小明参加数学竞赛,共做20题得67分.已知做一题得5分,不答得2分,做错一题倒扣3分.又知道他做错的题和没答的题一样多.问小明共做对几题

4.1分,2分和5分硬币共100枚,价值2元,如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分.问三种硬币各多少枚

注:

此题没有学过分数运算的同学可以不做.

5.甲地与乙地相距24千米.某人从甲地到乙地往返行走.上坡速度每小时4千米,走平路速度每小时5千米,下坡速度每小时6千米.去时行走了4小时50分,回来时用了5小时.问从甲地到乙地,上坡,平路,下坡各多少千米

6.某学校有12间宿舍,住着80个学生.宿舍的大小有三种:

大的住8个学生,不大不小的住7个学生,小的住5人.其中不大不小的宿舍最多,问这样的宿舍有几间

测验题

1.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松籽,平均每天采14个.问这几天当中有几天有雨

2.有一水池,只打开甲水龙头要24分钟注满水池,只打开乙水龙头要36分钟才注满水池.现在先打开甲水龙头几分钟,然后关掉甲,打开乙水龙头把水池注满.已知乙