111 随机事件的概率 学生版.docx

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111随机事件的概率学生版

§11.1　随机事件的概率

最新考纲

考情考向分析

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．

2.了解两个互斥事件的概率加法公式.

以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查．本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.

1．概率和频率

（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝

为事件A出现的频率．

（2）对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P（A）．

2．事件的关系与运算

定义

符号表示

包含关系

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）

B⊇A（或A⊆B）

相等关系

若B⊇A且A⊇B

A＝B

并事件（和事件）

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）

A∪B（或A＋B）

交事件（积事件）

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）

A∩B（或AB）

互斥事件

若A∩B为不可能事件（A∩B＝∅），则称事件A与事件B互斥

A∩B＝∅

对立事件

若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件

A∩B＝∅，

P（A）＋P（B）＝1

3.概率的几个基本性质

（1）概率的取值范围：

0≤P（A）≤1.

（2）必然事件的概率P（E）＝1.

（3）不可能事件的概率P（F）＝0.

（4）概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．

（5）对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＝1－P（B）．

知识拓展

互斥事件与对立事件的区别与联系

互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

题型一　事件关系的判断

例1．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：

①至少有1个白球与至少有1个黄球；

②至少有1个黄球与都是黄球；

③恰有1个白球与恰有1个黄球；

④恰有1个白球与都是黄球．

其中互斥而不对立的事件共有（　　）

A．0组B．1组C．2组D．3组

解析　①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，故两个事件不是互斥事件；②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，故两个事件不互斥；③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”都是指有1个白球和1个黄球，故两个事件是同一事件；④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，

2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是

，那么概率是

的事件是（　　）

A．至多有一张移动卡

B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡

D．至少有一张移动卡

3．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为____________．

①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P（C∪E）＝1；⑤P（B）＝P（C）．

思维升华

（1）准确把握互斥事件与对立事件的概念

①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．

②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．

（2）判断互斥、对立事件的方法

判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

题型二　随机事件的频率与概率

典例（2017·全国Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：

℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温

[10,15）

[15,20）

[20,25）

[25,30）

[30,35）

[35,40]

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：

元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

跟踪训练（2016·全国Ⅱ）某险种的基本保费为a（单位：

元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数

0

1

2

3

4

≥5

保费

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

出险次数

0

1

2

3

4

≥5

频数

60

50

30

30

20

10

（1）记A为事件：

“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P（A）的估计值；

（2）记B为事件：

“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P（B）的估计值；

（3）求续保人本年度的平均保费的估计值．

题型三　互斥、对立事件的概率

命题点1　互斥事件的概率

典例经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：

排队人数

0

1

2

3

4

5人及5人以上

概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04

求：

（1）至多2人排队等候的概率；

（2）至少3人排队等候的概率．

命题点2　对立事件的概率

典例一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：

（1）取出1球是红球或黑球的概率；

（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率．

思维升华求复杂事件的概率的两种方法

求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法

（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．

（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．

跟踪训练某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：

派出人数

≤2

3

4

5

≥6

概率

0.1

0.46

0.3

0.1

0.04

（1）求有4人或5人外出家访的概率；

（2）求至少有3人外出家访的概率．

用正难则反思想求对立事件的概率

典例（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量

1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件及以上

顾客数（人）

x

30

25

y

10

结算时间（分钟/人）

1

1.5

2

2.5

3

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）

1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为（　　）

A．互斥但非对立事件B．对立事件

C．和事件是不可能事件D．以上都不对

2．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（　　）

A.

B.

C.

D.

3．（2016·天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是

，甲获胜的概率是

，则甲不输的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

4．（2017·湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模）同学聚会上，某同学从《爱你一万年》、《十年》、《父亲》、《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

5．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．

在上述事件中，是对立事件的为（　　）

A．①B．②

C．③D．④

6．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点”，若

表示B的对立事件，则一次试验中，事件A＋

发生的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

7．（2017·武汉模拟）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：

先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：

907　966　191　925　271　932　812　458　569　683

431　257　393　027　556　488　730　113　537　989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．

8．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2－a，P（B）＝4a－5，则实数a的取值范围是________________．

9．（2017·池州模拟）小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A，a，B，b中的一个，另一位是数字4,5,6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是________．

10．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：

排队人数

0

1

2

3

4

≥5

概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04

则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．

11．（2017·武汉调研）某鲜花店将一个月（30天）某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量落入各组区间的频率视为概率.

日销售量（枝）

[0,50）

[50,100）

[100，150）

[150，200）

[200，250]

销售天数

3天

5天

13天

6天

3天

（1）求这30天中日销售量低于100枝的概率；

（2）若此花店在日销售量低于100枝的时候选择2天做促销活动，求这2天恰好是在销售量低于50枝时的概率．

12．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

（1）P（A），P（B），P（C）；

（2）1张奖券的中奖概率；

（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

13．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．

现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．

14．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，取到红球的概率是

，取到黑球或黄球的概率是

，取到黄球或绿球的概率也是

，试求取到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？

15．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问了50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制出的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40,50），[50,60），…，[80,90），[90,100]．

频率分布直方图中a的值为________；该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为________；从评分在[40,60）的受访职工中，随机抽取2人，此2人的评分都在[40,50）的概率为________．

16．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：

kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：

X

1

2

3

4

Y

51

48

45

42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；

Y

51

48

45

42

频数

4

（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．