平行线性质的解答题.docx

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平行线性质的解答题

2016年12月10日平行线性质的解答题

一．填空题（共9小题）

1．如图，AB∥CD∥EF，∠B=70°，∠E=140°，则∠BCD=　　°．

2．如图，四边形ABCD中，∠A=100°，∠C=70°，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数为　　°．

3．如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA的度数为40°，则∠GFB的度数为　　．

4．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1=60°，则∠2=　　．

5．如图，∠C=59°，∠E=50°，AB∥CD，则∠EAB=　　°．

6．如图①：

MA1∥NA2，图②MA1∥NA3，如图③MA1∥NA4，如图④，MA1∥NA5，…，则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3++…+∠An﹣1=　　°（用含n的代数式表示）．

7．手工课上，老师将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若折痕EF与一条边BC的夹角∠EFB=30°，则∠EGF=　　．

8．如图，AB∥CD∥EF，则x、y、z三者之间的数量关系是　　．

9．如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE=30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED=n°，则∠BCE的度数为　　°（用含n的代数式表示）．

二．解答题（共21小题）

10．已知：

如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE=50°，求：

∠BHF的度数．

11．已知△ABC中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．

（1）如图1，连接CE，

①若CE∥AB，求∠BEC的度数；

②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．

（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．

12．已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．求证：

∠EGF=90°．

13．完成下面的证明（在括号中注明理由）．

已知：

如图，BE∥CD，∠A=∠1，

求证：

∠C=∠E．

证明：

∵BE∥CD（已知），

∴∠2=　　（　　）

又∵∠A=∠1（已知），

∴AC∥　　（　　），

∴∠2=　　（　　），

∴∠C=∠E（等量代换）

14．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．

（1）如图

（1），当动点P落在第①部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是　　

（1）如图

（2），当动点P落在第②部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是　　

（3）如图（3），当动点P落在第③部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是　　

（4）选择以上一种结论加以证明．

15．在下面四个图形中，已知AB∥CD，

（1）填空：

各图中锐角∠P与∠A、∠C分别满足什么关系？

①　　②　　③　　④　　

（2）请你说明第四个关系如何是如何得到的？

16．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45

（1）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图②，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；

（2）将图①中的三角尺OMN绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　　秒时，边MN恰好与边CD平行；在第　　秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）

17．如图，已知DE∥BC，BE是∠ABC的平分线，∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠DEB、∠CEB的度数．

18．如图，已知：

l1∥l2，l3、l4分别于l1、l2交于B，F和A，E，点D是直线l3上一动点，DC∥AB交l4于点C．

（1）当点D在l1、l2两线之间运动时，试找出∠BAD、∠DEF、∠ADE之间的等量关系，并说明理由；

（2）当点D在l1、l2两线上方运动时，试探究∠BAD、∠DEF、∠ADE之间的等量关系（点D和B、F不重合），画出图形，直接写出出结论．

19．探究：

如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和点D，直线l3有一点P

（1）若点P在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生，并说明理由．

（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

并说明理由．

20．已知：

如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数；

（2）若∠BEF+∠CFE=a，求∠BOC的度数．（用含a的代数式表示）

21．

（1）如图

（1），已知任意三角形ABC，过点C作DE∥AB，求证：

∠DCA=∠A；

（2）如图

（1），求证：

三角形ABC的三个内角（即∠A、∠B、∠ACB）之和等于180°；

（3）如图

（2），求证：

∠AGF=∠AEF+∠F；

（4）如图（3），AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=150°，求∠F．

22．已知：

如图，AD∥BE，∠1=∠2，求证：

∠A=∠E．

23．如图，已知：

∠1=∠2，∠D=50°，求∠B的度数．

24．如图，直线a∥b，射线DF与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1=25°，求∠2的度数．

25．问题情境：

如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：

过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　　度；

（2）问题迁移：

如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？

请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

26．在括号内填写理由．

如图，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D．求证：

∠E=∠DFE．

证明：

∵∠B+∠BCD=180°（　　），

∴AB∥CD（　　）

∴∠B=∠DCE（　　）

又∵∠B=∠D（　　），

∴∠DCE=∠D（　　）

∴AD∥BE（　　）

∴∠E=∠DFE（　　）

27．如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：

∠A=∠F．

28．已知：

如图，∠ADE=∠B，∠DEC=115°．求∠C的度数．

29．如图，已知∠1=∠C，∠2=∠3，BE是否平分∠ABC？

请说明理由．

30．如图，已知EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD（请填空）

解：

∵EF∥AD

∴∠2=　　（　　

又∵∠1=∠2

∴∠1=∠3（　　）

∴AB∥　　（　　）

∴∠BAC+　　=180°（　　）

∵∠BAC=70°（　　）

∴∠AGD=　　（　　）

2016年12月10日平行线性质的解答题

参考答案与试题解析

一．填空题（共9小题）

1．（2016春•尚志市期末）如图，AB∥CD∥EF，∠B=70°，∠E=140°，则∠BCD=　30　°．

【分析】根据平行线的性质得到∠BCD=∠B=70°，∠ECD=180°﹣∠E=40°，由角的和差即可得到结论．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠BCD=∠B=70°，

∵CD∥EF，

∴∠ECD=180°﹣∠E=40°，

∴∠BCD=∠BCD﹣∠ECD=30°，

故答案为：

30．

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

2．（2016春•玄武区期末）如图，四边形ABCD中，∠A=100°，∠C=70°，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数为　95　°．

【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=80°，∠FNB=70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．

【解答】解：

∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，

∴∠BMF=80°，∠FNB=70°，

∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，

∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，

∴∠F=∠B=180°﹣50°﹣35°=95°，

故答案为：

95．

【点评】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键．

3．（2016春•渝北区期末）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA的度数为40°，则∠GFB的度数为　70°　．

【分析】根据平角得到由求出∠DCF，根据两直线平行同位角相等即可求出∠GFB．

【解答】解：

∵∠ECA=40°，

∴∠ECD=180°﹣∠ECA=140°，

∵CD平分∠ECF，

∴∠DCF=

∠ECF=

×140°=70°，

∵CD∥GF，

∴∠GFB=∠DCF=70°．

故答案为：

70°．

【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、邻补角的性质等知识．解题的关键是利用两直线平行同位角相等解决问题，属于中考常考题型．

4．（2016春•南沙区期末）如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1=60°，则∠2=　120°　．

【分析】先根据图形折叠的性质求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．

【解答】解：

如图，

∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，

∴∠3=∠1=60°，

∴∠2=∠3+∠1=120°．

故答案为：

120°．

【点评】本题考查的是平行线的性质：

两直线平行，内错角相等；翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

5．（2016春•隆化县期末）如图，∠C=59°，∠E=50°，AB∥CD，则∠EAB=　109　°．

【分析】延长BA交CE于点F，由平行线的性质求出∠EFA的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．

【解答】解：

延长BA交CE于点F，

∵AB∥CD，∠C=59°，

∴∠EFA=∠C=59°．

∵∠E=50°，

∴∠EAB=∠E+∠EFA=50°+59°=109°．

故答案为：

109．

【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．

6．（2016春•曹县期末）如图①：

MA1∥NA2，图②MA1∥NA3，如图③MA1∥NA4，如图④，MA1∥NA5，…，则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3++…+∠An﹣1=　（n﹣2）•180°　°（用含n的代数式表示）．

【分析】过A2作A2B∥MA1，结合平行线的性质可得出结论；同理得出图③、④，从而找到规律，利用规律解题即可．

【解答】解：

∵MA1与NAn平行，

∴在图①可得∠A1+∠A2=180°，

在②中可过A2作A2B∥MA1，如图

∵MA1∥NA3，

∴A2B∥NA3，

∴∠MA1A2+∠BA2A1=∠BA2A3+∠NA3A2=180°，

∴A1+∠A2+∠A3=360°，

同理可得∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，

∴∠A1+∠A2+∠A3++…+∠An﹣1=（n﹣2）•180°．

故答案为：

（n﹣2）•180°；

【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．

7．（2016春•大石桥市期末）手工课上，老师将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若折痕EF与一条边BC的夹角∠EFB=30°，则∠EGF=　120°　．

【分析】首先根据平行线的性质可得∠DEF=∠EFB=30°，∠DEG+∠EGF=180°，再根据折叠可得∠DEG=2∠DEF，进而可得∠DEG=30°×2=60°，然后可算出∠EGF的度数．

【解答】解：

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB=30°，∠DEG+∠EGF=180°，

∴∠DEG=30°×2=60°，

∴∠EGF=180°﹣60°=120°．

故答案为：

120°

【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及图形的折叠，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．

8．（2016春•北京期末）如图，AB∥CD∥EF，则x、y、z三者之间的数量关系是　x+y﹣z=180°　．

【分析】根据平行线的性质可得∠CEF=180°﹣y，x=z+∠CEF，利用等量代换可得x=z+180°﹣y，再变形即可．

【解答】解：

∵CD∥EF，

∴∠C+∠CEF=180°，

∴∠CEF=180°﹣y，

∵AB∥CD，

∴x=z+∠CEF，

∴x=z+180°﹣y，

∴x+y﹣z=180°，

故答案为：

x+y﹣z=180°．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握平行线性质定理：

定理1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：

两直线平行，同位角相等．

定理2：

两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：

两直线平行，同旁内角互补．

定理3：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：

两直线平行，内错角相等．

9．（2016春•宜兴市期末）如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE=30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED=n°，则∠BCE的度数为　

n+30　°（用含n的代数式表示）．

【分析】根据BE=2AE=2A′E，∠A=∠A′=90°，得出△ABE、△A′BE皆为30°、60°、90°的三角形，然后求得∠AED′的度数，再根据∠AED=n°，即可求得∠DED′的度数，继而求得∠BCE的度数．

【解答】解：

根据题意得：

∵BE=2AE=2A′E，∠A=∠A′=90°，

∴△ABE、△A′BE都为30°、60°、90°的三角形，

∴∠1=∠AEB=60°，

∴∠AED′=180°﹣∠1﹣∠AEB=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠DED′=∠AED+∠AED′=n°+60°=（n+60）°，

∴∠2=

∠DED′=（

n+30）°，

∵A′D′∥BC，

∴∠BCE=∠2=（

n+30）°．

故答案为：

（

n+30）．

【点评】此题考查了平行线的性质，用到的知识点是翻折变换的性质、矩形的性质以及含30°角的直角三角形的性质；注意数形结合思想的应用．

二．解答题（共21小题）

10．（2016春•沧州期末）已知：

如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE=50°，求：

∠BHF的度数．

【分析】由AB∥CD得到∠AGE=∠CFG，又FH平分∠EFD，∠AGE=50°，由此可以先后求出∠GFD，∠HFD，∠BHF．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠CFG=∠AGE=50°，

∴∠GFD=130°；

又FH平分∠EFD，

∴∠HFD=

∠EFD=65°；

∴∠BHF=180°﹣∠HFD=115°．

【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质；由两直线平行的关系可以得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．

11．（2016春•曹县期末）已知△ABC中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．

（1）如图1，连接CE，

①若CE∥AB，求∠BEC的度数；

②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．

（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．

【分析】

（1）①根据三角形的内角和得到∠ABC=80°，由角平分线的定义得到∠ABE=

ABC=40°，根据平行线的性质即可得到结论；

②根据邻补角的定义得到∠ACD=180°﹣∠ACB=140°，根据角平分线的定义得到∠CBE=

ABC=40°，∠ECD=

ACD=70°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；

（2）①当CE⊥BC时，②如图2，当CE⊥AB于F时，③如图3，当CE⊥AC时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．

【解答】解：

（1）①∵∠A=60°，∠ACB=40°，

∴∠ABC=80°，

∵BM平分∠ABC，

∴∠ABE=

ABC=40°，

∵CE∥AB，

∴∠BEC=∠ABE=40°；

②∵∠A=60°，∠ACB=40°，

∴∠ABC=80°，∠ACD=180°﹣∠ACB=140°，

∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴∠CBE=

ABC=40°，∠ECD=

ACD=70°，

∴∠BEC=∠ECD﹣∠CBE=30°；

（2）①如图1，当CE⊥BC时，

∵∠CBE=40°，

∴∠BEC=50°；

②如图2，当CE⊥AB于F时，

∵∠ABE=40°，

∴∠BEC=90°+40°=130°，

③如图3，当CE⊥AC时，

∵∠CBE=40°，∠ACB=40°，

∴∠BEC=180°﹣40°﹣40°﹣90°=10°．

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形是解题的关键．

12．（2016春•宁城县期末）已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．求证：

∠EGF=90°．

【分析】根据平行线的性质可得：

∠1=∠3，∠2=∠4，∠BEF+∠EFD=180°；再根据EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，可得∠3+∠4=90°，即可得∠EGF=90°．

【解答】证明：

∵HG∥AB（已知），

∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），

又∵HG∥CD（已知），

∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），

∵AB∥CD（已知），

∴∠BEF+∠EFD=180°（两直线平行，同旁内角互补），

又∵EG平分∠BEF（已知），

∴∠1=

∠BEF（角平分线的定义），

又∵FG平分∠EFD（已知），

∴∠2=

∠EFD（角平分线的定义），

∴∠1+∠2=

（∠BEF+∠EFD），

∴∠1+∠2=90°，

∴∠3+∠4=90°（等量代换）

即∠EGF=90°．

【点评】本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，找到相应关系的角是解决问题的关键．

13．（2016春•邹城市期末）完成下面的证明（在括号中注明理由）．

已知：

如图，BE∥CD，∠A=∠1，

求证：

∠C=∠E．

证明：

∵BE∥CD（已知），

∴∠2=　∠C　（　两直线平行，同位角相等　）

又∵∠A=∠1（已知），

∴AC∥　DE　（　内错角相等，两直线平行　），

∴∠2=　∠E　（　两直线平行，内错角相等　），

∴∠C=∠E（等量代换）

【分析】先根据两直线平行，得出同位角相等，再根据内错角相等，得出两直线平行，进而得出内错角相等，最后根据等量代换得出结论．

【解答】证明：

∵BE∥CD（已知）

∴∠2=∠C（两直线平行，同位角相等）

又∵∠A=∠1（已知）

∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）

∴∠2=∠E（两直线平行，内错角相等）

∴∠C=∠E（等量代换）

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意区分平行线的性质与平行线的判定的区别，条件与结论不能随意颠倒位置．

14．（2016春•孝南区期末）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．

（1）如图

（1），当动点P落在第①部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是　∠PAC+∠APB+∠PBD=360°　

（1）如图

（2），当动点P落在第②部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是　∠PAC+∠PBD=∠APB　

（3）如图（3），当动点P落在第③部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是　∠PAC=∠APB+∠PBD　

（4）选择以上一种结论加以证明．

【分析】

（1）过点P作PE∥AC，根据平行线的性质即可得出结论；

（2）过点P作PE∥AC，根据AC∥PE可得出∠APE=∠CAP，再由PE∥BD可得出∠EPB=∠PBD，故可得出结论；

（3）延长BA，由三角形外角的性质可得出∠PBD=∠PBA+∠ABD，∠PAC=∠PAF+∠CAF，再由平行线的性质得出∠ABD=∠CAF，进而可得出结论；

（4）证明

（1）即可．

【解答】解：

（1）如图

（1），过点P作PE∥AC，则∠PAC+∠APE=180°．

∵AC∥BD，

∴PE∥BD，

∴∠BPE+∠PBD=180°，

∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°．

故答案为：

∠PAC+∠APB+∠PBD=360°；

（2）如图

（2），过点P作PE∥AC，则∠APE=∠CAP，

∵AC∥BD，PE∥AC，

∴PE∥BD，

∴∠EPB=∠PBD，

∴∠PAC+∠PBD=∠APB．

故答案为：

∠PAC+∠PBD=∠APB；

（3）如图（3），延长BA，则∠PBD=∠PBA+∠ABD，∠PAC=∠PAF+∠CAF，

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CAF，

∴∠PAC﹣∠PBD=∠PAF﹣∠PBA，

而∠PBA+∠APB=∠PAF，

∴∠APB=∠PAC﹣∠PBD，

∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

故答案为：

∠PAC=∠APB+∠PBD；

（4）例如

（1），过点P作PE∥AC，则∠PAC+∠APE=180°．

∵AC∥BD，

∴PE∥BD，

∴∠BPE+∠PBD=180°，

∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°．

【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线，利用平行线的性质求解是解答此题的关键．

15．（2016春•平南县期末）在下面四个图形中，已知AB∥CD，

（1）填空：

各图中锐角∠P与∠A、∠C分别满足什么关系？

①　∠APC=360°﹣（∠A+∠C）　②　∠APC=∠A+∠C　③　∠P=∠C﹣∠A　④　∠P=∠A﹣∠C　

（2）请你说明第四个关系如何是如何得到的？

【分析】

（1）在图

（1）

（2）中可过P作平行线，根据平行线的性质可求得∠A与∠P、∠C的关系；在（3）中根据平行线的性质和三角形内角和定理可求得∠A与∠P、∠C的关系；在（4）中延长BA交PC于点E，利用平行线的性质和三角形外角的性质可求得∠A与∠P、∠C的关系；

（2）过点P作PE∥AB，得到PE∥CD，由平行线的性质得到∠C=∠EPC，∠EPA=∠A，而∠EPA=∠P+∠EPC，由此推出结论．

【解答】解：

（1）①过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠1+∠A=∠2+∠C=180°，

∴∠APC=360°﹣（∠A+∠C），

②过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠1